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4.4. Armas nuevas para conseguir la bandera

Diccionario

Ecuaciones

Ecuación lineal formada por dos términos. En el primer término hay dos incógnitas que son a y b.

Definición

Igualdad matemática entre dos expresiones. Tiene valores conocidos y otros desconocidos representados por letras.

Ejemplo

La ecuación tiene dos incógnitas X e Y.

1. ¿Cómo mido ahora esto?

La imagen muestra un castillo en una cima

Son muchas las situaciones en las que no podemos hacer una medida porque es imposible realizarla, entonces ¿cómo puedo calcular la longitud de algo que no se puede medir? No puedo coger un metro y medir la altura de la pirámide de Keops o del Everest porque eso es imposible. 

Cuando nos ocurren estas cosas, como calcular distancias inabordables o la imposibilidad de utilizar métodos de medida directos (altura de una montaña, rumbo de un barco para llegar a puerto…) tenemos que acudir a nuestros PODERES MATEMÁTICOS. Una de las cosas que vamos a tener que hacer es RESOLVER triángulos, es decir, obtener a partir de unos datos (ángulos o lados de un triángulo) los restantes ángulos y lados. Por ejemplo, si tuviésemos 2 ángulos y un lado, nos faltaría 2 lados y un ángulo por conocer.

Antes de ver cómo se resuelven los triángulos, tenemos que ver nuestras dos ARMAS nuevas y saber cómo funcionan. Se llaman el teorema del seno y el teorema del coseno. Una cuestión muy importante es que estos dos teoremas se aplican a CUALQUIER TIPO de triángulo, no solo a los triángulos rectángulos.

Lectura facilitada

Hay situaciones en las que no puedes medir con un metro 

porque es imposible medir. 

¿Cómo puedes calcular la longitud de algo que no se puede medir? 

Por ejemplo, no puedes medir con un metro

la altura de la montaña más alta. 

Es imposible.

Cuando no puedes medir distancias o alturas 

porque son imposibles tienes que recurrir 

a los poderes matemáticos.

Vas a resolver triángulos. 

Con el valor del ángulo o del lado de un triángulo 

vas a poder calcular los demás ángulos y lados. 

Por ejemplo, si tienes el valor de dos ángulos y un lado,

te faltarían 2 lados y un ángulo por resolver. 

Las dos armas matemáticos nuevas son: 

  • Teorema del seno. 
  • Teorema del coseno. 

El teorema del seno y el teorema del coseno 

los puedes aplicar a cualquier tipo de triángulo. 

2. Teorema del seno

La imagen muestra un triángulo para teorema del seno

 El teorema del seno establece que los lados de cualquier triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos y no solo eso, sino que además la razón de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita D:

\frac {a}{sen\ \alpha}\ =\ \frac{b}{sen\ \beta}\ =\ \frac{c}{sen\ \gamma}\ =\ \small{D}




Fíjate que lo que quieren decir esos tres signos igual, es que podemos coger cualquier miembro e igualarlos según nos convenga. Por ejemplo: 

\frac {a}{sen\ \alpha}\ =\ \frac{c}{sen\ \gamma}

Observaciones:

  1. Si el triángulo es rectángulo, este teorema se convierte en la definición del seno.

  2. Este teorema nos interesará aplicarlo cuando nos den dos ángulos y un lado o dos lados y un ángulo opuesto a alguno de ellos, pero no nos interesará cuando nos den tres lados o dos lados y el ángulo que no es opuesto a ninguno de ellos, es decir el ángulo comprendido.

Lectura facilitada

La imagen muestra un triángulo para teorema del seno

El teorema del seno es la relación entre 

los lados y los ángulos de cualquier triángulo. 

El teorema del seno establece que la relación de la longitud de un lado del triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y es igual para todos los ángulos del triángulo. 

La imagen muestra un triángulo circunscrito

La razón de proporcionalidad 

es el diámetro de la circunferencia circunscrita D.

\frac {a}{sen\ \alpha}\ =\ \frac{b}{sen\ \beta}\ =\ \frac{c}{sen\ \gamma}\ =\ \small{D}

En este triángulo: 

  • a, b, c son los lados.
  • \(\alpha,\ \beta, \ \gamma \) son los ángulos. 

Puedes elegir cualquier fracción e igualarla (ponerle un igual) 

con otra de las fracciones. 

\frac {a}{sen\ \alpha}\ =\ \frac{c}{sen\ \gamma}

Observaciones:

  1. El teorema del seno se convierte en la definición del seno 
    cuando el triángulo es rectángulo.
  2. Este teorema te interesará aplicarlo en una de estas opciones: 
    • Cuando tengas los datos de dos ángulos y un lado.
    • Cuando tengas los datos de dos lados y un ángulo opuesto. 

Demostración

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PCB es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son congruentes, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene:

sen \,A= sen \,P=\frac {BC}{BP}=\frac {a}{2R}

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos: 

\frac {a}{sen \,A}=2R

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Quod erat demonstrandum, QED (CQD)

3. Teorema del coseno

Triángulo para teorema del coseno

El teorema del coseno se puede enunciar de la siguiente manera:

El cuadrado del lado opuesto a un ángulo de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno de estos por la proyección del otro sobre él.

a^2\ =\ b^2\ +\ c^2\ -\ 2bc\cdot cos\left( \alpha \right) \\ b^2\ =\ a^2\ +\ c^2\ -\ 2ac\cdot cos\left( \beta \right) \\ c^2\ =\ a^2\ +\ b^2\ -\ 2ab\cdot cos\left( \gamma \right)

Lectura facilitada

Triángulo para teorema del coseno

En un triángulo rectángulo,

el cuadrado de cada lado es igual 

a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de los dos lados por el coseno del ángulo que forman.

Las fórmulas para aplicar el teorema del coseno son: 

a^2\ =\ b^2\ +\ c^2\ -\ 2bc\cdot cos\left( \alpha \right) \\ b^2\ =\ a^2\ +\ c^2\ -\ 2ac\cdot cos\left( \beta \right) \\ c^2\ =\ a^2\ +\ b^2\ -\ 2ab\cdot cos\left( \gamma \right)

En este triángulo: 

  • a, b, c son los lados.
  • \( \alpha, \ \beta,\ \gamma \) son los ángulos. 

Son datos que se sustituyen en las fórmulas 

por los valores que tengas.

En estas fórmulas el primer miembro

es el cuadrado de uno de los lados.

En el segundo miembro aparece una resta 

y se introduce el coseno del ángulo opuesto 

al primer miembro.

Observa el triángulo que aparece en la imagen.

Por ejemplo: 

  • Si el primer miembro es \(a^2\) su ángulo opuesto es \( \alpha \).
  • Si el primer miembro es \(b^2 \) su ángulo opuesto es \( \beta\).
  • Si el primer miembro es \(c^2 \) su ángulo opuesto es  \( \gamma\).

Observaciones:

  1. Obtienes el teorema de Pitágoras cuando el triángulo es rectángulo. 
  2. Aplica este teorema cuando los datos que tengas del triángulo
    sean una de estas dos opciones: 
    • Los tres lados. 
    • Dos lados y el ángulo comprendido entre los dos lados.

Estas son tus dos nuevas y muy poderosas armas.

Ayuda para recordar

Fíjate que el segundo miembro es como el desarrollo del cuadrado de una diferencia pero introduciendo el factor coseno del ángulo opuesto al lado del primer miembro

Podemos utilizar cualquiera de las tres ecuaciones según nos convenga y como hemos dicho antes, sirven para cualquier tipo de triángulo.

Observaciones:

  1. Cuando el triángulo es rectángulo, se obtiene el teorema de Pitágoras, así que este se puede considerar un caso particular del teorema del coseno.
  2. Nos interesará aplicar este teorema, cuando los datos que tenga del triángulo sean o los tres lados, o dos lados y su ángulo comprendido entre ellos.

Estas son nuestras dos nuevas y muy poderosas armas.

Ecuación lineal formada por dos términos. En el primer término hay dos incógnitas que son a y b.

Definición

Igualdad matemática entre dos expresiones. Tiene valores conocidos y otros desconocidos representados por letras.

Ejemplo

La ecuación tiene dos incógnitas X e Y.

Demostración

Consideremos un círculo con centro en B y radio BC, como en la figura. Si AC es tangente a la circunferencia, nuevamente se tiene el teorema de Pitágoras ya que \(\gamma\) tendría un valor de 90º. Cuando AC no es tangente, existe otro punto K de corte con el círculo. La potencia del punto A con respecto a dicho círculo es: 

AP\cdot AL=AC\cdot AK=AC(AC+CK)

Por otro lado, \(AL = c+a \) y \( AP = c-a\) de modo que: 

AP\cdot AL=(c+a)(c-a)=c^{2}-a^{2}

Además, \(CK= -2a cos(\gamma)\) por lo que: 

AC(AC+CK)=b(b-2a\,cos(\gamma ))

Igualando las expresiones obtenidas se llega finalmente a:

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\;b\,\cos(\gamma ) \text{  CQD}

Demostración de por qué $CK= -2a \cdot cos(\gamma)$ 

Prolongamos el segmento CB hasta cortar nuevamente la circunferencia en un punto D, de modo que CD es un diámetro del círculo, puesto que pasa por el centro del mismo.

Al ser un diámetro, el ángulo inscrito CKD es necesariamente recto puesto que abren el diámetro de la circunferencia, por lo que el triángulo CKD es rectángulo. El ángulo DCK mide $\theta=180°-\gamma$ ya que $ACD+DCK=180º$ y por definición:

\[{\cos(\theta )={\frac {CK}{CD}}={\frac {CK}{2a}}}\]

y por tanto:

\[{CK=2a\cos(\theta )=2a\cos(180^{\circ }-\gamma )=-2a\cos(\gamma )}\]

ya que $cos(180º-x)=-cos(x)$ para cualquier valor de $x$.

¿Cómo te has sentido tras la explicación?

Esta teoría ha sido muy interesante. 

Seguro que alguna vez te has preguntado: ¿Cómo sabemos cuánto mide una montaña? Aquí has tenido la respuesta. Utilizando el teorema del seno y el teorema del coseno. 

Todo lo que aprendes es aplicable a tu vida diaria. 

¡Tus poderes se hacen más fuertes!