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3. Ponemos a punto nuestras armas y herramientas

Diccionario

Agudo

Ángulo menor de 90 grados

Definición

Ángulo que mide menos de 90 grados.

Ejemplo

 El ángulo agudo tiene un valor de 60º.

Artillería

Cañón de guerra y soldados.

Definición

Conjunto de armas de guerra.

Ejemplo

 La academia de artillería tiene armas pesadas.

Catetos

Lados del triángulo.

Definición

Los dos lados de un triángulo que forman el ángulo recto.

Ejemplo

 Los catetos del triángulo son a y c.

Escala

Mapa que indica una escala de 1:25.000

Definición

Relaciona la medida real de una cosa con la medida en una representación.

Ejemplo

El mapa tiene una escala de 1:25.000.

Flexómetro

Cinta métrica de 5 metros

Definición

Instrumento que sirve para medir longitudes.

Ejemplo

 Mide el ancho del muro con el flexómetro.

GPS

 Aparato que indica la posición de cualquier objeto sobre la Tierra.

Definición

Sistema de Posicionamiento Global. Informa sobre la posición de cualquier objeto sobre la Tierra.

Ejemplo

 Enciende el GPS y configura la ruta.

Hipotenusa

Hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Definición

Es el lado más largo en un triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto.

Ejemplo

 El letra c indica cuál es la hipotenusa del triángulo.

Triángulo equilátero

Triángulo con tres lados iguales.

Definición

Triángulo que tiene los tres lados iguales.

Ejemplo

 Colorea el triángulo equilátero de color verde.

Triángulo rectángulo

Triángulo con un ángulo de 90 grados.

Definición

Triángulo rectángulo es cualquier triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.

Ejemplo

 Dibuja un triángulo rectángulo.

Teodolito

Ingeniero utilizando teodolito.

Definición

Instrumento mecánico-óptico que se utiliza para medir ángulos verticales y horizontales.

Ejemplo

 La ingeniera utilizó el teodolito para medir los ángulos.

Transportador

Instrumento que mide ángulos.

Definición

Instrumento que mide ángulos en grados.

Ejemplo

 Utiliza el transportador de ángulos y comprueba que el ángulo mide 90º

Hasta el momento hemos recordado algunas de las herramientas que ya teníamos y que habíamos olvidado. Pero ¿cómo podemos usarlas para asaltar el castillo y recuperar la bandera? 

Para ello, vamos a dedicar esta parte del reto a recuperar la confianza en el manejo de esas herramientas que hemos recordado hasta convertirlas en nuestras armas más eficaces. Este entrenamiento lo realizaremos en grupos. ¡En equipo lo haremos mucho mejor que por separado!

Lectura facilitada

Hasta el momento has recordado algunas herramientas matemáticas.

¿Cómo puedes usar estas herramientas para asaltar el castillo y 

para recuperar la bandera?

En esta parte del reto vas a manejar estas herramientas. 

Las herramientas van a ser tu arma más eficaz.

Trabajarás en grupo con tus compañeras y compañeros 

de clase. 

1. Reloj, no marques las horas

La imagen muestra un reloj analógicoEn el apartado anterior hemos trabajado con distintos tipos de triángulos. Como recordarás, una forma de clasificarlos es según sus ángulos. Pero, ¿cómo podemos averiguar la medida del ángulo que forman las manecillas sin la ayuda de ninguna herramienta, como, por ejemplo, un transportador?

Os proponemos la siguiente actividad. Haced grupos y elegid una persona como portavoz.

Dibujad un reloj y sus manecillas en una cartulina. Recortadlo todo. Podéis usar este modelo.

Ahora, poned las horas que se os indican y resolved las preguntas que se os hacen. Luego las comentaréis con toda la clase, contando cómo las habéis resuelto.

  • Si son las doce en punto, ¿qué tipo de ángulo aparece? ¿Cuánto creéis que mide?

  • Si son las tres en punto, ¿qué tipo de ángulo aparece? ¿Cuánto creéis que mide?

  • Si son las seis en punto, ¿qué tipo de ángulo aparece? ¿Cuánto creéis que mide?

  • Si son las cuatro en punto, ¿qué tipo de ángulo aparece? ¿Cuánto creéis que mide?

  • Si son las dos y media en punto, ¿qué tipo de ángulo aparece? ¿Cuánto creéis que mide?

¿Os animáis a hacer algo parecido? Cread cinco preguntas similares a las anteriores e intercambiadlas con otro grupo.

La imagen muestra un transportador de ángulos

Definición

Instrumento que mide ángulos en grados.

Ejemplo

 Utiliza el transportador de ángulos y comprueba que el ángulo mide 90º.

Si quieres...

A partir de este fichero puedes imprimir tu propio reloj.

2. Identifico lo que tengo que hacer

Ya conoces qué reto te proponemos alcanzar y te acabamos de plantear una actividad que te acercará a la meta. Pero para tener éxito en tu camino, necesitarás algunas estrategias que te servirán para esta y otras tareas parecidas. Las irás descubriendo en un diario que llamamos tu Diario de aprendizaje.

En esta ocasión te proponemos que lo abras y completes el PASO 1 del Diario de aprendizaje antes de empezar la actividad que acabas de leer.

Haz clic aquí para descargar tu Diario de aprendizaje.

Diario de aprendizaje

Recuerda:

Pregunta a tu profesor o profesora si rellenarás la ficha en papel o en el ordenador.

Si la rellenas en el ordenador, ¡no te olvides de guardarla en tu ordenador cuando la termines!

¡Ánimo, que lo harás genial!

3. Las razones del triángulo rectángulo

Los triángulos rectángulos son muy importantes, tienen incluso su propio teorema como ya has visto, pero ¿tendrán otras propiedades desconocidas?

La imagen muestra un triángulo rectángulo

Definición

Triángulo rectángulo es cualquier triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.

Ejemplo

 Dibuja un triángulo rectángulo.

Vamos a investigar los triángulos rectángulos. Para ello formaremos distintos grupos en la clase.

Os proponemos los siguientes pasos:

  1. Id al patio del centro y dibujad tres triángulos de diferente tamaño.

¿Necesitáis ayuda?

En este vídeo de John Orlando Amarillo Castañeda podréis encontrar ayuda.

  1. Procurad que el ángulo agudo más pequeño del triángulo mida lo mismo en los tres triángulos que dibujéis (cada grupo debe utilizar un ángulo diferente, seguid las indicaciones de vuestra profesora o profesor).

  2. Medid la longitud de los catetos y de la hipotenusa.

  3. Dividid los lados dos a dos, hallando tres razones correspondientes a cada uno de los triángulos que habéis dibujado.

La imagen muestra un ángulo agudo

Definición

Ángulo que mide menos de 90 grados.

Ejemplo

 El ángulo agudo tiene un valor de 60º.

La imagen muestra un triángulo

Definición

Los dos lados de un triángulo que forman el ángulo recto.

Ejemplo

 Los catetos del triángulo son a y c.

Hipotenusa

Definición

Es el lado más largo en un triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto.

Ejemplo

 El letra c indica cuál es la hipotenusa del triángulo.

Contestad a estas cuestiones:

  1. ¿Encontráis alguna relación entre las razones que habéis calculado, para cada uno de los triángulos?

  2. Comparad vuestros datos con los de otros grupos. ¿Pensáis que estas razones dependen de la longitud de los lados o del ángulo utilizado?

Motus dice ¿No está claro?

No te preocupes si no te ha quedado claro más adelante aprenderemos más cosas sobre las relaciones entre los lados del triángulo rectángulo.

4. ¿He sido capaz de hacer la actividad?

¡Ya has terminado la actividad, "Las razones del triángulo rectángulo"! Los comienzos te han podido crear miedos e inseguridades a la hora de realizarla.

Si completas el PASO 2 del Diario de aprendizaje (¿Seré capaz de hacerlo?) podrás ver que tus sentimientos son habituales cuando empezamos una tarea y que reflexionar sobre ello te ayudará a que en las próximas actividades esa inseguridad sea cada vez menor.

Recuerda:

  • Pregunta a tu profesor o profesora si rellenarás la ficha en papel o en el ordenador.
  • Si la rellenas en el ordenador, ¡no te olvides de guardarla en tu ordenador cuando la termines!
    ¡Ánimo, que lo harás genial!

5. Midiendo nuestro ataque

Estás a punto de pasar a la siguiente fase donde aprenderás nuevas estrategias para asaltar el castillo.

Sin embargo, no quiero que te vayas de esta fase pensando que con lo que sabes no podrías resolver algunos problemas que se te podrían plantear al atacar una fortaleza. Por ejemplo, conocer la altura de las murallas de un castillo.

Es por ello que te propongo el…

Mini reto

Lee atentamente para saber qué hacer y cómo superarlo:

1. Bajad al patio.

2. Debéis hacer grupos de 3 personas. ¡No olvidéis escoger una persona como portavoz!

3. Escoged un edificio de tu instituto para conocer su altura.

4. Medid la altura desde lejos, como lo haría un ejército que no pudiera acercarse a las murallas bien defendidas de una fortaleza. 

¿Cómo hacerlo? ¿Se te ocurre alguna forma?

Te proponemos dos formas distintas. 

Comprobarás la aplicación de las Matemáticas en la solución de problemas de la vida real. 

Método 1

  1. Una persona del grupo se coloca de pie a bastante distancia del edificio a medir (fíjate en el croquis de más abajo).

  2. Otro compañero o compañera se situará agachado algo más alejado.

  3. Este miembro del grupo debe situarse de manera que su línea de visión coincida con la cabeza del primer compañero y la parte superior del edificio.

  4. El tercer miembro del grupo debe tomar las medidas que aparecen en el croquis.

  5. Con esas medidas determina la altura del edificio.

La imagen muestra el esquema del problema planteadoEsta ficha te puede ayudar.

ficha Mini reto. Método 1

Método 2

  1. Debes medir la altura del mismo edificio. 
  2. Escoge una vara o palo (podría ser por ejemplo un palo de fregona) y mide su longitud.

  3. Sitúate enfrente del edificio del cual quieres medir su altura.

  4. Coloca el palo verticalmente en el suelo.

  5. Mide la sombra que el palo arroja sobre el suelo (debe ser un día soleado).

  6. Mide la sombra que proyecta el edificio.

  7. ¿Podrías calcular la altura del edificio con las 3 medidas que has tomado? (Observa el croquis si tienes dudas).

La imagen muestra el esquema del problema planteadoEsta ficha te puede ayudar.

ficha Mini reto. Método 2

Saca conclusiones: 

  1. Compara las alturas obtenidas por los dos métodos.
  2. ¿Son iguales? ¿Son parecidas?

  3. Si tenéis opción usad una cinta métrica para medir la altura real del edificio y compara con tus medidas. ¿Habéis sido precisos en la medición?

  4. Comparad vuestras medidas con las de otros grupos.

  5. Comentad las dificultades encontradas y cómo las habéis resuelto.

Ya ves que sabes algunas cosas que te servirían para asaltar un castillo.

Sin embargo, ¡esto no es nada! ¡Acompáñanos en la siguiente fase!

¡Os vais a convertir en atacantes invencibles!

6. Buscando inspiración en la historia

Por último, ¿es posible aplicar todo lo anterior para asaltar un castillo? Una buena forma de hacerlo será mirar atrás en la historia y buscar otros problemas similares que nos puedan ayudar. Investigaremos la realización del túnel de Samos, para ver si encontramos inspiración.

Un poco de historia que nos ayudará a la conquista de nuestro castillo

En la isla de Samos, en el siglo VI a.C. Polícrates, encargó realizar una construcción para llevar agua a la ciudad de Samos. El agua se encontraba al otro lado de una montaña y el ingeniero al que se le encargó dicho trabajo, construyó un túnel que atravesaba la montaña a lo largo de más de un kilómetro. El problema era que dos equipos distintos, tenían que empezar a excavar el túnel por puntos diferentes y encontrarse debajo de la montaña. ¿Cómo lo hicieron? En aquella época no había GPS ni nada parecido, pero sí existían ya las MATEMÁTICAS y gracias a ellas solucionaron el problema.

Túnel de Eupalinos

Aplicando el Teorema de Pitágoras solucionaron uno de los problemas. ¿Qué dirección tenían que seguir las dos excavaciones para conseguir encontrarse debajo de la montaña?. Vamos a explicarlo:


Los dos puntos A y B se encuentran a la misma altura, por tanto se encuentran en la misma curva de nivel (curva que une los puntos que se encuentran a la misma altura).

Explicación gráfica de curvas de nivel

La idea es realizar una serie de movimientos del punto A al B, fuera de la montaña, y todos ellos del 90º para que así, el segmento que une A y B sea la hipotenusa de un triángulo equilátero. Lo vemos mejor en un una imagen:

La imagen muestra los movimientos a realizar

Como podemos apreciar, A y B están a la misma altura ya que se encuentran en la misma curva de nivel, y para ir de A a B desde “fuera” de la montaña, pasamos de A a D recorriendo 720m, giro 90º y vamos de D a E desplazándonos 1000m, de E a F 1500m, de F a G 450m, y por último de G a B 500m, con lo que ya podríamos saber qué distancia hay de A a C (1500-720-500=280m) y de C a B (1000-450=550m) que serían los dos catetos del triángulo rectángulo y por tanto, aplicando el Teorema de Pitágoras, se podría hallar la distancia entre A y B en línea recta, pero POR DEBAJO de la montaña. 


¿En qué dirección? Para ello nos ayudamos de los dos triángulos rectángulos pequeños, azules, que nos encontramos junto al grande gris. Esos triángulos son semejantes al “grande” y construirlos es fácil, ya que tienen que tener la misma relación entre sus lados y podemos construir esos triángulos en el terreno, ¡ya podemos empezar a excavar porque ya tenemos la dirección correcta!

Retor dice...

Pregunta

Según lo visto, ¿podrías seleccionar cuánto mediría el túnel construido viendo las medidas del mapa anterior?

Respuestas

835

1857

617

1450

Retroalimentación

La imagen muestra un GPS

Definición

Sistema de Posicionamiento Global. Informa sobre la posición de cualquier objeto sobre la Tierra.

Ejemplo

 Enciende el GPS y configura la ruta.

La imagen muestra un triángulo equilátero

Definición

Triángulo que tiene los tres lados iguales.

Ejemplo

 Colorea el triángulo equilátero de color verde.

Lectura facilitada

¿Es posible aplicar todas las herramientas matemáticas

para asaltar el castillo? 

Conoce la historia.

Busca otros problemas parecidos que te puedan ayudar. 

Investiga sobre la realización del Túnel de Samos para

buscar ayuda. 

En el siglo seis antes de Cristo, Polícrates encargó construir 

un túnel en la isla de Samos.

Este túnel llevaba agua a la ciudad de Samos. 

El agua se encontraba al otro lado de una montaña.

Había que construir un túnel que atravesaba la montaña. 

Este túnel tenía una longitud de más de un kilómetro de largo. 

Tenían un problema. 

Empezaron a excavar el túnel por dos puntos diferentes.

Los excavadores debían encontrarse debajo de la montaña. 

¿Cómo lo hicieron? 

En aquel año no había GPS pero sí existían las Matemáticas

para solucionar este problema. 

¿Qué dirección tenían que seguir las dos excavaciones

para conseguir encontrarse debajo de la montaña?

Aplica el teorema de Pitágoras. 

La imagen muestra una aplicación de lo explicado

Los dos puntos A y B se encuentran a la misma altura.

Los puntos A y B  están en la misma curva de nivel. 

Una curva de nivel es la curva que une los puntos que se encuentran a la misma altura. 

PISTA:

Para que las dos excavaciones se encuentren debajo de la montaña,

los excavadores tienen que realizar movimientos del punto A al B.

Estos movimientos son fuera de la montaña.

Estos movimientos tienen un ángulo de 90º para que el segmento

que une A y B sea la hipotenusa de un triángulo equilátero

Recuerda que un triángulo equilátero tiene sus tres lados y 

sus tres ángulos  iguales. 

La imagen muestra un esquema de lo explicado

Los puntos A y B están a la misma altura.

Los puntos A y B se encuentran en la misma curva de nivel.

Para ir de A a B desde “fuera de la montaña”

tienes que pasar de A a D. 

La distancia de A a D mide 720 metros. 

La distancia de D a E mide 1000 metros. 

La distancia de E a F mide 1500 metros.

La distancia de F a G mide 450 metros. 

La distancia de G a B mide 500 metros. 

Con todos estos datos ya puedes calcular: 

  • La distancia que hay del punto A al punto C. 

 ( 1500-720-500=280 metros)

  • La distancia que hay del punto C al punto B. 

( 1000-450= 550 metros) 

El lado AC y el lado CB son los dos catetos del triángulo rectángulo

Con estos datos puedes calcular la distancia entre A y B.

Esta distancia es una  línea recta por el interior de la montaña. 

¿Qué dirección hay que seguir para que los excavadores

se encuentren en el mismo punto? 

Para saber la dirección ayúdate de los dos triángulos rectángulos.

Estos dos triángulos son pequeños y azules. 

Estos dos triángulos están al lado del triángulo grande y gris.

Los dos triángulos azules tienen la misma forma

que el triángulo grande y gris. 

Hacer estos triángulos es fácil. 

Estos dos triángulos tienen la misma relación entre sus lados.

Por eso puedes construir los triángulos en la tierra.

¡Ya puedes empezar a excavar!. 

¡Ya tienes la dirección correcta!. 

Ángulo menor de 90 grados.

Definición

Parte del plano determinado por dos lados que se unen en un vértice.

Ejemplo

El ángulo tiene un valor de 75º.

La imagen muestra un triángulo

Definición

Los dos lados de un triángulo que forman el ángulo recto.

Ejemplo

Los catetos del triángulo son a y c.

La imagen muestra un GPS

Definición

Sistema de Posicionamiento Global. Informa sobre la posición de cualquier objeto sobre la Tierra.

Ejemplo

 Enciende el GPS y configura la ruta.

Hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Definición

Es el lado más largo en un triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto.

Ejemplo

 El letra c indica cuál es la hipotenusa del triángulo.

Segmento comprendido entre los puntos B y A.

Definición

Fragmento de la recta que está comprendido entre dos puntos.

Ejemplo

Dibuja un segmento con la regla.

La imagen muestra un triángulo equilátero

Definición

Triángulo que tiene los tres lados iguales.

Ejemplo

 Colorea el triángulo equilátero de color verde.

La imagen muestra un triángulo rectángulo

Definición

Triángulo rectángulo es cualquier triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.

Ejemplo

 Dibuja un triángulo rectángulo.

7. Construcción de un clinómetro

Si buscamos en internet herramientas para medir ángulos, nos pueden aparecer instrumentos como el teodolito, inclinómetro, clinómetro, todos ellos con algunas diferencias.

Por ejemplo el inclinómetro es un instrumento usado por la topografía, por la aviación y por los navíos para medir la inclinación del plano con respecto de la horizontal (superficie terrestre). En el aspecto topográfico, los topógrafos pueden medir el ángulo de inclinación del terreno respecto del plano horizontal terrestre y de esa manera clasificamos los terrenos según su inclinación respecto al plano horizontal.

La imagen muestra un teodolito

Definición

Instrumento mecánico-óptico que se utiliza para medir ángulos verticales y horizontales.

Ejemplo

 El ingeniero utilizó el teodolito para medir los ángulos.

Tipos de terreno

Tipo de terreno: llano

Porcentaje: Menor o igual al 2%

Tipo de terreno: suavemente inclinado

Porcentaje: Entre el 2% y el 6%

Tipo de terreno: inclinado

Porcentaje: Entre el 6% y el 13%

Tipo de terreno: moderadamente escarpado

Porcentaje: Entre el 13% y el 25%

Tipo de terreno: escarpado

Porcentaje: Entre el 25% y el 55%

Tipo de terreno: muy escarpado

Porcentaje: Mayor del 55%

Nosotros vamos a construir un clinómetro. El clinómetro es un aparato que se utiliza para medir el ángulo desde la vertical (medida en grados) de ciertos elementos (torres, postes, árboles, estratos, etc.). Antiguamente se empleaba para determinar el ángulo de tiro en las piezas de artillería. En los cañones se instalaba en diferentes lugares con el fin de establecer el valor del ángulo del tiro.  

¿Cómo lo vamos a construir? ¿Qué necesitas para ello?

  1. Transportador con borde plano.
  2. Bolígrafo.
  3. Pegamento.
  4. Hilo.
  5. Algo para atar al hilo y que "pese". 
La imagen muestra lo explicado en el enunciado.

Consigue un transportador con un borde recto y pega el bolígrafo cerca del borde recto del transportador de manera que se alinee con los dos ceros en la parte inferior sin cubrir el orificio del transportador. Ata una cuerda a través del pequeño orificio que se encuentra entre las dos marcas de 0 grado cerca del borde recto del transportador.

Te exponemos algunas imágenes del proyecto de Isidro Rodríguez Fernández del IES Don Diego de Bernuy en Benamejí, Córdoba. En ellas podemos ver cómo han quedado los clinómetros y el proceso de medida de la altura del campanario del pueblo.

Teodolito difuminado

midiendo1

midiendo3

midiendo4

midiendo5

La imagen muestra un cañón de guerra.

Definición

Conjunto de armas de guerra.

Ejemplo

 La academia de artillería tiene armas pesadas.

¿Cómo funciona? El profesor José Antonio Ortega nos lo explica en este vídeo:

Vídeo realizado por el profesor José Antonio Ortega. CC-BY

8. Clinómetro con impresora 3D

Si tenéis una impresora 3d o el centro dispone de una, podéis imprimir el clinómetro que a continuación se expone. Como consejo: a la hora de imprimir y obtener el código G, con alguna herramienta libre que puedes encontrar en internet, en "Opciones de impresión" está la opción de "Adherencia de la placa de impresión" y una vez pulsada dicha opción, escoger "Balsa", ya que el clinómetro diseñado es muy fino y puedes tener problemas de adherencia a la cama. 

La imagen muestra la previsualización de un clinómetro.
La imagen muestra una foto de un clinómetro

Aquí tienes el fichero.

¿Has sabido hacer las actividades propuestas?

¿Te han resultado difíciles las tareas? Han sido tareas muy manipulativas, donde haciendo se aprende mejor. ¿Verdad? 

Relájate cuando sientas nervios y confía en tus posibilidades. 

¡Eres capaz de hacer todo lo que te propongas! 

Después de explorar todo lo anterior con tus compañeros y compañeras, ¡ya tenéis las armas!

¡Ahora vais a conseguir los poderes!