4.1. Un nuevo poder para girar

Diccionario

Diámetro

Circunferencia en la que se indica el diámetro.

Definición: Es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una circunferencia.
Ejemplo: El diámetro divide a la circunferencia en dos partes iguales.

Horizontal

Definición: Línea de derecha a izquierda en posición de “acostada”.
Ejemplo: Dibuja una línea horizontal.

Perpendicular

Línea perpendicular de color naranja que corta a una línea horizontal de color azul.

Definición: Línea recta que corta a otra línea formando un ángulo de 90 grados.
Ejemplo: La recta S es perpendicular a la recta R.

Radio

Circunferencia en la que se indica un radio.

Definición: Línea que une el centro de la circunferencia con un punto de ella.
Ejemplo: Calcula el radio de la circunferencia.

Vertical

Cuatro líneas verticales cada una de diferente color.

Definición: Línea de arriba a abajo en posición “de pie”.
Ejemplo: El muro está en posición vertical.

¿Recuerdas cuando utilizamos un reloj para recordar los ángulos? En esa actividad recordamos algunas de las cosas que vamos a trabajar en esta unidad, pero ¿son los grados sexagesimales adecuados para enfrentarnos al señor del castillo? ¿Podemos buscar una forma mejor de medir los ángulos a partir de lo que ya sabemos? ¿Somos capaces de buscar una medida que tenga propiedades más interesantes? ¡Vamos a averiguarlo! ¡Poder para girar!

Lectura facilitada

¿Recuerdas cuando utilizaste un reloj para recordar los ángulos?

En esa actividad recordaste cosas que vas a trabajar en esta unidad.

¿Son los grados sexagesimales adecuados

para enfrentarte al señor del castillo?

¿Puedes buscar una forma mejor de medir los ángulos?

¿Eres capaz de buscar una medida que tenga propiedades

más interesantes?

¡Vamos a averiguarlo!

¡Poder para girar!

1. Otra vez pi

Para conocer esta nueva forma de medir ángulos debes seguir los siguientes pasos:

Paso 1

Dibuja una circunferencia en tu cuaderno (no importa el radio: vamos a considerar que el radio siempre vale 1, sea cual sea la circunferencia que dibujes).
Algo así:

Circunferencia

Paso 2

Dibuja con una regla dos diámetros perpendiculares (uno horizontal y otro vertical). Es decir, algo como esto:

Circunferencia con ejes

Paso 3

En esta circunferencia marca los ángulos en los que queda dividida por los ejes. Aquí tienes 2 de ellos ya marcados.

circunferencia

Paso 4

¿Puedes marcar el resto de ángulos? Cuando los tengas, puedes mirar en la siguiente pestaña cómo queda.

Circunferencia con dos ángulos para completar

Solución

Circunferencia con dos ángulos para completar

En este paso vamos a descubrir cómo el número \(\pi\)...

Vuelve a aparecer.

¡Si es que está hasta en la sopa!

Bueno, ¡hasta en las tartas!

Lectura facilitada

Para conocer la nueva forma de medir los ángulos sigue

los siguientes pasos:

Paso 1

Dibuja una circunferencia.

La imagen muestra una circunferencia

Paso 2

Dibuja con una regla una cruz sobre la circunferencia.

La imagen muestra una circunferencia con una cruz

Paso 3

Marca en la circunferencia los ángulos.

La imagen muestra una circunferencia con ángulos.

Paso 4

¿Puedes marcar el resto de ángulos?

La imagen muestra la circunferencia que indica el enunciado

Paso 5

Solución.

La imagen muestra la circunferencia que indica el enunciado.

Paso 6

En este paso vas a descubrir el número \( \pi \).

El número pi se representa con esta letra griega \( \pi \).

El número pi es una cifra infinita.

El valor del número \( \pi \) es 3,1416...

La imagen muestra el valor de pi

La imagen muestra una tarta con el número pi

Lo que tienes que hacer es muy sencillo.

En primer lugar...

Primero recuerda lo que mide la longitud de la circunferencia. Si no lo recuerdas, pon el ratón aquí.

Después...

Esta longitud 2 \(\pi\) r se corresponde con los 360º de la circunferencia, ¿verdad?

Circunferencia goniométrica

A continuación...

Pero en nuestro caso, el radio vale 1. ¿Lo recuerdas?
Así que...

\(2\pi r\ = \ 2\pi\ \cdot\ 1\ =\ 2\pi \)

Por último...

Por lo que nuestro dibujo queda:

Circunferencia goniométrica

Lectura facilitada

En primer lugar...

Recuerda lo que mide la longitud de la circunferencia.

La longitud de la circunferencia es 2 \(\pi\) r.

El radio se representa con r.

Después...

La longitud 2 \(\pi\) es igual que 360 grados (360º) de la circunferencia.

La imagen muestra una circunferencia que muestra el enunciado

A continuación...

Recuerda que el radio vale 1.

Sustituye la r por 1.

\(2\pi r\ =\ 2\pi\ \cdot\ 1 =\ 2\pi \)

Por último...

La circunferencia es la siguiente.

La imagen muestra lo expuesto en el enunciado

¿Puedes hacer lo mismo con el resto de ángulos en los que queda dividida la circunferencia?

Venga, yo haré el primero

Pero cuando llegues a las actividades de esta fase te toca a ti hacer los demás. Presta mucha atención y verás qué fácil. Mira el cálculo con 90º:

\frac{2 \pi} {360} = \frac{x}{90} \to x = \frac{90\cdot2 \pi}{360} = \frac{180 \pi }{360} = \frac {\pi}{2}

¡Pues ya lo tenemos! Quedaría así:

Circunferencia goniométrica

Lectura facilitada

Calcula con 90º.

\frac{2 \pi} {360} = \frac{x}{90} \to x = \frac{90\cdot2 \pi}{360} = \frac{180 \pi }{360} = \frac {\pi}{2}

Se representa así en la circunferencia:

La imagen muestra lo que dice el enunciado

2. Unidades para \( \pi \)

Como recordarás, los grados de una circunferencia van de 0º a 360º y a esta unidad la llamamos grados sexagesimales.

Pero también podemos decir que van de 0 a 2π.

La imagen muestra la circunferencia goniométrica

Ya has visto que hay relación entre los ángulos medidos en grados sexagesimales (que es como sueles medirlos) y el número \( \pi \) (cuando medimos en radianes).

Así que, ya estás prácticamente a punto de convertirte en un maestra o maestro de GRADO superior, o sea, de los grados, vengan en la medida que vengan.

Sin embargo, aún te falta por descubrir un poder, el de girar infinitamente con la circunferencia. Lo verás en el siguiente apartado.

No te vayas todavía. ¡Aún hay más!

La imagen muestra a súper ratón

Lectura facilitada

Recuerda que los grados de una circunferencia van de 0º a 360º.

Esta unidad se llama grados sexagesimales.

Divide poco a poco la longitud de la circunferencia.

Utiliza la longitud del radio.

El resultado estará entre 0 y 2 radianes.

0 para 0 grados.

2 para la longitud de la circunferencia completa.

La imagen muestra lo que indica el enunciado.

Has visto que existe una relación entre los ángulos medidos

en grados sexagesimales y el número π.

Utiliza el número π cuando midas en radianes.

Estás a punto de convertirte en un maestro de los grados.

Te falta por descubrir un poder.

Este poder es girar sin límite con la circunferencia.

Lo vas a ver en el siguiente apartado.

No te vayas todavía.

¡Aún hay más!

Como has visto hace muy poco, para descubrir este nuevo poder para girar, los radianes, hemos utilizado una circunferencia de radio 1.

Pues bien, esta circunferencia no es como las demás. Sí, es igual de redondita, pero tiene un nombre propio.

¡UNA CIRCUNFERENCIA CON SU PROPIO NOMBRE!

¡Qué presuntuosa! Se llama….

Lectura facilitada

Para descubrir los radianes has utilizado una circunferencia de radio 1.

La circunferencia de radio 1 se llama circunferencia goniométrica.

3. Un nombre redondo

Averigua el nombre de esta famosa circunferencia arrastrando las letras en el orden correcto.

4. Gira, gira, hasta el \( \infty \) (o el -\( \infty \)) y más allá

Curioso...

Ahora que ya os conocéis (la circunferencia y tú), he de decirte que esta circunferencia se marea muy a menudo. Pero no por la fama que ha alcanzado, sino porque no para de girar.

La imagen muestra una escalera de caracol

Lectura facilitada

La circunferencia goniométrica no para de girar.

La imagen muestra una escalera de caracol

Vale. Te explico cómo funciona la circunferencia goniométrica.

Como ya has visto queda dividida en 4 partes si dibujamos dos diámetros perpendiculares. Bien, pues cada trozo de circunferencia se llama cuadrante y, cada uno, tiene su nombre. Míralo en la imagen.

La imagen muestra una circunferencia goniométrica con los cuadrantes marcados

Ya ves que son nombres fáciles. Fíjate en que normalmente se les nombra con números romanos (I, II, III y IV)

La circunferencia goniométrica sirve para medir ángulos (y más cosas, como verás más adelante). Seguro que recuerdas este dibujo:

La imagen muestra la circunferencia goniométrica con grados y radianes

Fíjate en un detalle curioso. Empezamos con 0º o 0 radianes y la amplitud del ángulo aumenta si giramos en sentido contrario a las agujas del reloj, ¿verdad? Si no, compruébalo en la imagen:

La imagen muestra la circunferencia goniométrica con una flecha que indica el sentido de los cuadrantes

Pero, ¿qué ocurre si giramos en sentido contrario a las agujas del reloj?

Elemental, como ya has pensado, mediremos ángulos negativos.

la imagen muestra una circunferencia con una flecha indicando el sentido de los ángulos negativos

Así que un ángulo de 330º también puede ser un ángulo de -30º. Como puedes comprobar:

La imagen muestra un ejemplo de lo enunciado

Pero esta circunferencia no para de girar.

¿Por qué girar sólo 360º o -360º cuando podemos seguir girando en ambos sentidos?

Por ejemplo podemos marcar un ángulo de -360º y...

La imagen muestra una circunferencia en la que están marcados los ángulos del enunciado.

Seguir girando, por ejemplo otros -30º. Obtendríamos un ángulo de -390º, como puedes ver en la imagen.

La imagen muestra una circunferencia con el ángulo indicado en el enunciado

Lectura facilitada

Explicación de cómo funciona la circunferencia goniométrica.

Apartado 1

Dibuja dos diámetros perpendiculares sobre la circunferencia y

obtienes 4 partes.

Cada parte de la circunferencia se llama cuadrante.

Míralo en la imagen.

La imagen muestra los cuadrantes de la circunferencia goniométrica

Primer cuadrante I.

En números romanos es el cuadrante 1.

Segundo cuadrante II

En números romanos es el cuadrante 2.

Tercer cuadrante III

En números romanos es el cuadrante 3.

Cuarto cuadrante IV.

En números romanos es el cuadrante 4.

Apartado 2

La circunferencia goniométrica sirve para medir ángulos.

La imagen muestra una circunferencia goniométrica con todos sus valores

Fíjate que empiezas en 0º o 0 radianes.

La amplitud del ángulo aumenta si giras

en sentido contrario a las agujas del reloj.

Apartado 3

¿Qué ocurre si giras en sentido contrario a las agujas del reloj?

Si giras en la circunferencia goniométrica

en sentido contrario a las agujas del reloj,

mides los ángulos negativos.

La imagen muestra el enunciado

Apartado 4

Por lo tanto un ángulo de 330º también puede ser un ángulo de -30º.

Puedes comprobar:

Apartado 5

Esta circunferencia no para de girar.

Podemos girar en los dos sentidos de la circunferencia.

Por ejemplo puedes marcar un ángulo de -360º.

La imagen muestra una circunferencia con ángulo de 360º

Puedes seguir girando otros -30º.

Si unes los -360º y -30º obtienes un ángulo de -390º.

La imagen muestra una circunferencia con un ángulo de 390º

Y así girando y girando… hasta el infinito.

De igual forma podemos medir ángulos en positivo e, igualmente, medirlos en radianes positivos y negativos dando tantas vueltas como queramos en nuestra circunferencia con nombre propio:

CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA

Lectura facilitada

Y así girando y girando… hasta el infinito.

En la circunferencia goniométrica puedes dar tantas vueltas

como quieras.

Puedes medir ángulos en radianes positivos.

Por ejemplo, 5\(\pi\) / 3

Puedes medir ángulos en radianes negativos.

Por ejemplo, \(-\pi\) / 3

¿Cómo te ha ido?

¿Te ha gustado dibujar la circunferencia y medir los grados?

El juego del ahorcado ha sido divertido.

¡Espero que no te hayas mareado con la circunferencia goniométrica!

No te desanimes si hay algo que no entiendes bien, seguirás trabajándolo.

Te ayudaré a confiar en tus propias habilidades.

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