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4.3.1. Razones trigonométricas

Diccionario

Cociente

División de dos números.  3728 entre 25

Definición

Resultado de dividir dos números.

Ejemplo

Calcula el cociente de dividir 3728 entre 25.

Constantes

Recta que permanece siempre igual

Definición

Elemento que permanece siempre igual.

Ejemplo

  La recta es constante. 

Coordenadas

Eje de coordenadas cartesianas.

Definición

Sistema de referencia que utiliza números para saber la posición exacta de un punto. 

Ejemplo

 Los ejes de coordenadas con X e Y.

Segmento

Segmento comprendido entre los puntos B y A.

Definición

Fragmento de la recta que está comprendido entre dos puntos.

Ejemplo

Dibuja un segmento con la regla.

1. Razones trigonométricas

Retor dice...

En el bloque anterior, cuando pusiste a punto las herramientas que creías olvidadas, exploraste unos nuevos poderes de los triángulos rectángulos.

En esa actividad calculaste las razones entre los lados del triángulo rectángulo.

¿Recuerdas que pudiste comprobar que estas razones entre los dos lados eran constantes

Como un triángulo tiene tres lados, puedes construir tres razones diferentes. Recuerda, el valor de estas razones sólo depende del ángulo que formaba cada cateto con la hipotenusa.

Nos vamos a centrar en esta parte en profundizar y practicar este nuevo poder para aplicarlo en nuestro asalto al castillo. ¡Vamos!

Recta que permanece siempre igual

Definición

Elemento que permanece siempre igual.

Ejemplo

  La recta es constante. 

Lectura facilitada

En el bloque anterior investigaste sobre los triángulos rectángulos. 

Calculaste las razones entre los lados del triángulo rectángulo. 

¿Recuerdas que las razones entre los dos lados del triángulo rectángulo no variaban? 

Cómo el triángulo tiene tres lados, 

puedes construir tres razones diferentes. 

Recuerda que el valor de las razones trigonométricas 

depende del ángulo que forma cada lado con la hipotenusa. 

Es importante que aprendas y practiques las razones trigonométricas.

Este nuevo poder te ayudará para asaltar el castillo. 

¡Vamos!

Un poder conocido: los triángulos rectángulos

El cociente entre los lados de un triángulo rectángulo se conoce como razones trigonométricas.

Estas razones sólo dependen del ángulo que forman los catetos con la hipotenusa.

La imagen muestra un triángulo rectángulo

Si consideramos el ángulo \(\alpha\) señalado en este triángulo. Llamamos:

  • Hipotenusa: al lado del triángulo que hay frente al ángulo recto.
  • Cateto opuesto: al lado del triángulo que hay frente al ángulo \(\alpha\).
  • Cateto contiguo: al lado del triángulo que forma el ángulo \(\alpha\) junto a la hipotenusa.
División de dos números.  3728 entre 25

Definición

Resultado de dividir dos números.

Ejemplo

Calcula el cociente de dividir 3728 entre 25.

Lectura facilitada

Las razones trigonométricas son la comparación 

de los lados de un triángulo rectángulo mediante una división. 

Los elementos de un triángulo rectángulo son: 

  • Ángulo es el ángulo que se forma con los catetos 
    y la hipotenusa. 

El ángulo se representa con α.

  • Hipotenusa es el lado del triángulo 
    que hay frente al ángulo recto.
  • Cateto opuesto es el  lado del triángulo
     que hay frente al ángulo α.
  • Cateto contiguo es el lado del triángulo que forma 
    el ángulo α junto a la hipotenusa.

Conocer estos elementos del triángulo rectángulo  

te va a ayudar a entender mejor las razones trigonométricas.

La imagen muestra un triángulo rectángulo

Un nuevo poder: las razones trigonométricas 

En la actividad de la fase anterior comprobamos que el cociente entre estos lados es constante y lo hemos llamado razón trigonométrica. Cada una de estas razones tiene un nombre propio. ¡Te las presento!

Seno

Llamamos seno (y se representa \( sen \  \alpha \)) al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

seno

sen \ \alpha \ = \ \frac {cateto \  opuesto} {hipotenusa}

Coseno

Llamamos coseno (y se representa \(cos \ \alpha\)) al cociente entre el cateto contiguo y la hipotenusa.

coseno

cos \ \alpha \ = \ \frac {cateto \  contiguo} {hipotenusa}

Tangente

Llamamos tangente (y se representa \(tg \ \alpha \)) al cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo.

tangente

tg \ \alpha \ = \ \frac {cateto \  opuesto} {cateto \ contiguo}

Lectura facilitada

La razón trigonométrica es la división entre los lados de un triángulo rectángulo.

Su resultado no cambia. 

La razón trigonométrica se representa como una fracción

Las razones trigonométricas son las siguientes: 

Seno

  • Seno es el resultado de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa.

El seno se representa así: sen α

seno

sen \ \alpha \ = \ \frac {cateto \  opuesto} {hipotenusa}

Coseno

  • Coseno es el resultado de dividir el cateto contiguo entre la hipotenusa. 

El coseno se representa así: cos α

coseno

cos \ \alpha \ = \ \frac {cateto \  contiguo} {hipotenusa}

Tangente

  • Tangente es el resultado de dividir el cateto opuesto entre el cateto contiguo.

La tangente se representa así: tg α

tangente

tg \ \alpha \ = \ \frac {cateto \  opuesto} {cateto \ contiguo}

Dos círculos rojos. Un círculo junto a otro círculo.

Definición

Que está junto a otra cosa. Al lado.

Ejemplo

Los círculos rojos son contiguos.

Fracción que tiene por numerador el número 8 y por denominador el número 2.

Definición:

División o participación de la unidad en partes iguales.

Ejemplo:

La fracción ⅜ representa las porciones de pizza comidas.

La circunferencia goniométrica

¿Recuerdas la circunferencia goniométrica que vimos en el apartado anterior? Es aquella que tiene su centro en el origen de coordenadas y tiene radio 1. Aquí puedes verla de nuevo.

La imagen muestra una circunferencia

Los ejes de coordenadas dividen a la circunferencia en 4 sectores que son los cuadrantes:

  • Primer cuadrante:  \( 0º\ < \ \alpha\ <\ 90º\)
  • Segundo cuadrante: \( 90º\ < \ \alpha\ <\ 180º\)
  • Tercer cuadrante: \( 180º\ < \ \alpha\ <\ 270º\)
  • Cuarto cuadrante:  \( 270º\ < \ \alpha\ <\ 360º\)
La imagen muestra una circunferencia goniométrica

 Cada ángulo puede definirse sobre la circunferencia:

La imagen muestra una circunferencia con el ángulo alfa marcado

Eje de coordenadas cartesianas.

Definición

Sistema de referencia que utiliza números para saber la posición exacta de un punto. 

Ejemplo

 Los ejes de coordenadas con X e Y.

Lectura facilitada

¿Recuerdas la circunferencia goniométrica que viste

en el apartado anterior?

La circunferencia goniométrica es una circunferencia de radio 1 

y su centro es el centro de origen (0,0) de un sistema de coordenadas.

Si seleccionas de la circunferencia un ángulo puedes obtener 

el resultado de las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. 

Los ejes de coordenadas dividen a la circunferencia en 4 partes 

que son los cuadrantes:

La imagen muestra una circunferencia

  • En el primer cuadrante encuentras  los ángulos
    con valores comprendidos entre 0º y 90º.

Por ejemplo: α= 45º.

El ángulo 45º se encontraría en el primer cuadrante. 

  • En el segundo cuadrante encuentras los ángulos
    con valores comprendidos entre 90º y 180º. 

Por ejemplo:  α= 120º.

El ángulo 120º se encontraría en el segundo cuadrante. 

  • En el tercer cuadrante encuentras los ángulos
    con valores comprendidos entre  180º y 270º.

Por ejemplo:  α= 230º.

El ángulo 230º se encontraría en el tercer cuadrante. 

  • En el cuarto cuadrante encuentras los ángulos
    con valores comprendidos entre   270º y 360º.

Por ejemplo:  α= 300º.

El ángulo 300º se encontraría en el cuarto cuadrante. 

La imagen muestra una circunferencia con los cuadrantes

Puedes dibujar cualquier ángulo sobre la circunferencia. 

La imagen muestra una circunferencia con un ángulo marcado.

Eje de coordenadas cartesianas.

Definición

Sistema de referencia que utiliza números para saber la posición exacta de un punto. 

Ejemplo

 Los ejes de coordenadas con X e Y.

Una nueva forma de obtener el valor de las razones trigonométricas

Una vez definido el ángulo sobre la circunferencia goniométrica. El segmento que define el ángulo corta a la circunferencia en un punto.

Las coordenadas de este punto sobre la circunferencia coinciden con el valor de las razones seno y coseno. El valor de cada razón trigonométrica coincide con el valor de la longitud del segmento que la define.

Por su parte, la tangente es el valor de la longitud del segmento que se obtiene al prolongar el radio hasta cortar a la recta tangente a la circunferencia con el eje de coordenadas.

La imagen muestra una circunferencia con las razones

En esta app de Geogebra puedes consultar estas medidas.

Segmento comprendido entre los puntos B y A.

Definición

Fragmento de la recta que está comprendido entre dos puntos.

Ejemplo

Dibuja un segmento con la regla.

Lectura facilitada

Utilizando cualquier ángulo de la circunferencia goniométrica
puedes calcular: 

  • La función del seno.
  • La función del coseno. 
  • La tangente. 

El valor de cada razón trigonométrica coincide 

con el valor de la longitud del segmento que corresponde 

a cada una de las funciones trigonométricas. 

La imagen muestra lo expuesto en el enunciado

El resultado de calcular el seno, 

coincide con el valor del cateto opuesto. 

Por ejemplo, para un ángulo de 45º, el seno tiene un valor de 0,71. 

El cateto opuesto también tiene un valor de 0,71.

La imagen muestra la propuesta del enunciado

El resultado de calcular el  coseno, 

coincide con el valor del cateto contiguo. 

Por ejemplo, para un ángulo de 45º, el coseno tiene un valor de 0,71. 

El cateto contiguo también tiene un valor de 0,71.

La imagen muestra el ejemplo del enunciado.

La tangente es el valor de un segmento.

El valor de la tangente la obtienes 

alargando el radio de la circunferencia.

Este radio corta la recta tangente a la circunferencia 

con el eje de coordenadas. 

La imagen muestra lo que dicta el enunciado.

¡Practica tu nuevo poder!

Ya sabes la teoría sobre las razones trigonométricas. 

No tengas miedo de enfrentarte a las siguientes tareas. ¡No te preocupes! 

Empezarás a practicar por lo más sencillo hasta llegar a las actividades donde pongas a prueba tu nuevo poder. 

¡Te vas a convertir en un buen entrenador o una buena entrenadora!

2. Buscando razones

En ocasiones, medir ángulos es una tarea complicada, por ello, conocer las razones de un ángulo es importante, ya que es más fácil de medir.

En este ejercicio vamos a calcular las razones trigonométricas de distintos ángulos.

Calcula las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de los ángulos de:

15º, 30º, 45º, 60º, 75º

Opción A: Identifico las razones

Opción B: Practico mi nuevo poder

Usando el siguiente geogebra realiza la actividad propuesta:

https://www.geogebra.org/m/qm4ugje6 (Ventana nueva)

Proyecto%20REA%20Andaluc%EDa,https%3A//www.geogebra.org/m/qm4ugje6,GG_MAT4ESO_REA01_RazonesTrigonometricas2_V01,1,Autor%EDa

Recuerda cómo hacerlo

Paso 1

Elige el valor del ángulo a calcular y el valor de un cateto.

Muestra la utilización de un geogebra

Paso 2

Anota el valor de cada uno de los lados con su nombre.

Imagen que muestra el uso de la app de geogebra

Paso 3

Copia las fórmulas y calcula las razones.

Imagen que muestra funcionamiento de app de geogebra

Paso 4

Y obtenemos los resultados.

Imagen que muestra el resultado

Comprueba el resultado

Realiza los siguientes cálculos

Importante: aproxima el resultado a dos decimales.

sen 15 =

cos 30 =

tg 45 =

sen 60 =

cos 75 =

tg 15 =

Habilitar JavaScript

Opción C: ¡Domino las razones trigonométricas!

Calcula las tres razones trigonométricas de los ángulos indicados.

Opción D: Pongo a prueba mi poder

Si te digo: sen 35 =0,82, cos 35 =0,57.

¿Es correcto el resultado?

Propón tres argumentos que justifiquen si la respuesta es correcta o no. Haz un pequeño debate con una compañera o un compañero que propone un argumento diferente.

Opción E: ¡Ahora es mi turno!

Propón tres ángulos y calcula sus razones trigonométricas.