En el bloque anterior, cuando pusiste a punto las herramientas que creías olvidadas, exploraste unos nuevos poderes de los triángulos rectángulos.
En esa actividad calculaste las razones entre los lados del triángulo rectángulo.
¿Recuerdas que pudiste comprobar que estas razones entre los dos lados eran constantes?
Como un triángulo tiene tres lados, puedes construir tres razones diferentes. Recuerda, el valor de estas razones sólo depende del ángulo que formaba cada cateto con la hipotenusa.
Nos vamos a centrar en esta parte en profundizar y practicar este nuevo poder para aplicarlo en nuestro asalto al castillo. ¡Vamos!
Definición
Elemento que permanece siempre igual.
Ejemplo
La recta es constante.
En el bloque anterior investigaste sobre los triángulos rectángulos.
Calculaste las razones entre los lados del triángulo rectángulo.
¿Recuerdas que las razones entre los dos lados del triángulo rectángulo no variaban?
Cómo el triángulo tiene tres lados,
puedes construir tres razones diferentes.
Recuerda que el valor de las razones trigonométricas
depende del ángulo que forma cada lado con la hipotenusa.
Es importante que aprendas y practiques las razones trigonométricas.
Este nuevo poder te ayudará para asaltar el castillo.
¡Vamos!
El cociente entre los lados de un triángulo rectángulo se conoce como razones trigonométricas.
Estas razones sólo dependen del ángulo que forman los catetos con la hipotenusa.
Si consideramos el ángulo \(\alpha\) señalado en este triángulo. Llamamos:
Definición
Resultado de dividir dos números.
Ejemplo
Calcula el cociente de dividir 3728 entre 25.
Las razones trigonométricas son la comparación
de los lados de un triángulo rectángulo mediante una división.
Los elementos de un triángulo rectángulo son:
El ángulo se representa con α.
Conocer estos elementos del triángulo rectángulo
te va a ayudar a entender mejor las razones trigonométricas.
En la actividad de la fase anterior comprobamos que el cociente entre estos lados es constante y lo hemos llamado razón trigonométrica. Cada una de estas razones tiene un nombre propio. ¡Te las presento!
Llamamos seno (y se representa \( sen \ \alpha \)) al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
sen \ \alpha \ = \ \frac {cateto \ opuesto} {hipotenusa}
Llamamos coseno (y se representa \(cos \ \alpha\)) al cociente entre el cateto contiguo y la hipotenusa.
cos \ \alpha \ = \ \frac {cateto \ contiguo} {hipotenusa}
Llamamos tangente (y se representa \(tg \ \alpha \)) al cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo.
tg \ \alpha \ = \ \frac {cateto \ opuesto} {cateto \ contiguo}
La razón trigonométrica es la división entre los lados de un triángulo rectángulo.
Su resultado no cambia.
La razón trigonométrica se representa como una fracción.
Las razones trigonométricas son las siguientes:
El seno se representa así: sen α
sen \ \alpha \ = \ \frac {cateto \ opuesto} {hipotenusa}
El coseno se representa así: cos α
cos \ \alpha \ = \ \frac {cateto \ contiguo} {hipotenusa}
La tangente se representa así: tg α
tg \ \alpha \ = \ \frac {cateto \ opuesto} {cateto \ contiguo}
Que está junto a otra cosa. Al lado.
EjemploLos círculos rojos son contiguos.
División o participación de la unidad en partes iguales.
Ejemplo:La fracción ⅜ representa las porciones de pizza comidas.
¿Recuerdas la circunferencia goniométrica que vimos en el apartado anterior? Es aquella que tiene su centro en el origen de coordenadas y tiene radio 1. Aquí puedes verla de nuevo.
Los ejes de coordenadas dividen a la circunferencia en 4 sectores que son los cuadrantes:
Cada ángulo puede definirse sobre la circunferencia:
Definición
Sistema de referencia que utiliza números para saber la posición exacta de un punto.
Ejemplo
Los ejes de coordenadas con X e Y.
¿Recuerdas la circunferencia goniométrica que viste
en el apartado anterior?
La circunferencia goniométrica es una circunferencia de radio 1
y su centro es el centro de origen (0,0) de un sistema de coordenadas.
Si seleccionas de la circunferencia un ángulo puedes obtener
el resultado de las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente.
Los ejes de coordenadas dividen a la circunferencia en 4 partes
que son los cuadrantes:
Por ejemplo: α= 45º.
El ángulo 45º se encontraría en el primer cuadrante.
Por ejemplo: α= 120º.
El ángulo 120º se encontraría en el segundo cuadrante.
Por ejemplo: α= 230º.
El ángulo 230º se encontraría en el tercer cuadrante.
Por ejemplo: α= 300º.
El ángulo 300º se encontraría en el cuarto cuadrante.
Puedes dibujar cualquier ángulo sobre la circunferencia.
Sistema de referencia que utiliza números para saber la posición exacta de un punto.
EjemploLos ejes de coordenadas con X e Y.
Una vez definido el ángulo sobre la circunferencia goniométrica. El segmento que define el ángulo corta a la circunferencia en un punto.
Las coordenadas de este punto sobre la circunferencia coinciden con el valor de las razones seno y coseno. El valor de cada razón trigonométrica coincide con el valor de la longitud del segmento que la define.
Por su parte, la tangente es el valor de la longitud del segmento que se obtiene al prolongar el radio hasta cortar a la recta tangente a la circunferencia con el eje de coordenadas.
En esta app de Geogebra puedes consultar estas medidas.
Definición
Fragmento de la recta que está comprendido entre dos puntos.
Ejemplo
Dibuja un segmento con la regla.
Utilizando cualquier ángulo de la circunferencia goniométrica
puedes calcular:
El valor de cada razón trigonométrica coincide
con el valor de la longitud del segmento que corresponde
a cada una de las funciones trigonométricas.
El resultado de calcular el seno,
coincide con el valor del cateto opuesto.
Por ejemplo, para un ángulo de 45º, el seno tiene un valor de 0,71.
El cateto opuesto también tiene un valor de 0,71.
El resultado de calcular el coseno,
coincide con el valor del cateto contiguo.
Por ejemplo, para un ángulo de 45º, el coseno tiene un valor de 0,71.
El cateto contiguo también tiene un valor de 0,71.
La tangente es el valor de un segmento.
El valor de la tangente la obtienes
alargando el radio de la circunferencia.
Este radio corta la recta tangente a la circunferencia
con el eje de coordenadas.
Ya sabes la teoría sobre las razones trigonométricas.
No tengas miedo de enfrentarte a las siguientes tareas. ¡No te preocupes!
Empezarás a practicar por lo más sencillo hasta llegar a las actividades donde pongas a prueba tu nuevo poder.
¡Te vas a convertir en un buen entrenador o una buena entrenadora!
En ocasiones, medir ángulos es una tarea complicada, por ello, conocer las razones de un ángulo es importante, ya que es más fácil de medir.
En este ejercicio vamos a calcular las razones trigonométricas de distintos ángulos.
Calcula las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de los ángulos de:
15º, 30º, 45º, 60º, 75º
Usando el siguiente geogebra realiza la actividad propuesta:
Elige el valor del ángulo a calcular y el valor de un cateto.
.png "Geogebra Razon Trigonometrica")
Anota el valor de cada uno de los lados con su nombre.
.png "Geogebra razón trigonométrica")
Copia las fórmulas y calcula las razones.
.png "Geogebra Razón Trigonométrica")
Y obtenemos los resultados.
.png "Geogebra Razón Trigonométrica")
Realiza los siguientes cálculos
Importante: aproxima el resultado a dos decimales.
Calcula las tres razones trigonométricas de los ángulos indicados.
Si te digo: sen 35 =0,82, cos 35 =0,57.
¿Es correcto el resultado?
Propón tres argumentos que justifiquen si la respuesta es correcta o no. Haz un pequeño debate con una compañera o un compañero que propone un argumento diferente.
Propón tres ángulos y calcula sus razones trigonométricas.
Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento No comercial Compartir igual 4.0