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4.3.2. Fórmulas trigonométricas

1. El poder de las razones trigonométricas

Lo interesante de las razones trigonométricas no es solo que puedan aplicarse sobre un triángulo rectángulo. Estas razones se cumplen en cualquier triángulo. 

Además, las razones trigonométricas que se relacionan cumplen unas propiedades.

Así, conocido el valor de una de las razones trigonométricas de un ángulo podemos conocer las demás razones trigonométricas.

\text {Propiedad 1: }\ \ \ sen^2 \alpha \ +\ cos^2 \alpha \ = \ 1

\text {Propiedad 2: }\ \ \ tg \alpha\ = \ \frac{sen \alpha}{cos \alpha}

Lectura facilitada

Las razones trigonométricas pueden aplicarse 

en el triángulo rectángulo y en cualquier triángulo. 

Las razones trigonométricas tienen unas propiedades. 

Al conocer el valor de una de las razones trigonométricas de un ángulo 

puedes conocer las demás razones trigonométricas.

Por ejemplo, si conoces el valor del seno, 

puedes calcular el coseno y la tangente. 

Para calcular el seno, el coseno y la tangente

utiliza estas propiedades. 

\text {Propiedad 1: }\ \ \ sen^2 \alpha \ +\ cos^2 \alpha \ = \ 1

Con esta propiedad puedes calcular el valor del seno 

y el valor del coseno. 

\text {Propiedad 2: }\ \ \ tg \alpha\ = \ \frac{sen \alpha}{cos \alpha}

Con esta propiedad puedes calcular el valor de la tangente.

2. Relacionemos

A menudo conocemos el valor de una de las razones trigonométricas, pero nos interesa conocer el valor de otra.

Con esta actividad vamos a calcular todas las razones trigonométricas de un ángulo, conocida una de ellas.

Calcula las razones trigonométricas sabiendo:

\text {a) }\ \ \ sen\alpha\ =\ 0,94

\text {b) }\ \ \ cos \beta\ =\  0,63

Recuerda cómo hacerlo

Siendo \( sen \alpha\ = \ 0,8 \)

Vamos a calcular el valor del coseno:

 

Partimos de la fórmula:  \(sen^2 \alpha \ + \ cos^2 \alpha \ = \ 1 \)

Calculo el coseno:

Sustituimos el valor conocido: \( \left ( 0,8 \right ) ^2 \ + \ cos^2 \alpha \ = \ 1 \)

Operamos \(0,64\ +\ cos^2 \alpha \ = \ 1 \)

Despejamos la razón trigonométrica \( cos^2 \alpha \ = \ 1 \ - \ 0,64 \ = \ 0,36 \)

Calculamos la razón \(cos \alpha\ = \ \sqrt {0,36} \ = \ 0,6 \)

Una vez conocidos el seno y el coseno, calculamos la tangente.

Partimos de la fórmula: 

\ \ tg \alpha\ = \ \frac{sen \alpha}{cos\alpha}

Sustituimos los valores conocidos:  
\ \ tg \alpha \ = \ \frac{0,8}{0,6}
Operamos:
\ \ tg \alpha \ = \ \frac{0,8}{0,6}\ = \ 1,3

Ya sabemos que \(tg \alpha \ = \ 1,3\)

Opción A: Comprobamos el resultado

Lee el párrafo que aparece abajo y completa las palabras que faltan.

sen \( \alpha\)=

tg \( \alpha\)=

cos \( \beta\)=

tg \( \alpha\) =

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Opción B: Calculo razones

Dados los valores de una de las razones trigonométricas del ejercicio, calcula las otras dos razones trigonométricas.

Opción C: Nuevas formas de utilizar las razones trigonométricas

Ordena las operaciones:

  • \( tg \ \alpha\ = \ 2 \\ \frac {\large{ sen\ \alpha}}{\large{cos\ \alpha}}\ = \ 2 \\ sen \ \alpha \ = \ 2 \cdot cos \ \alpha \)
  • \(sen^2 \ \alpha \ +\ cos^2 \ \alpha\ = \ 1 \\ \left ( 2\ \cdot\ cos\ \alpha\ \right ) ^2 \ +\ cos^2\ \alpha\ =\ 1 \\ 4\ cos^2\ \alpha\ +\ cos^2\ \alpha\ = \ 1 \)
  • \( 5\ cos^2\ \alpha\ =\ 1 \\ cos^2\ \alpha\ = \large{\frac{1}{5}} \\ cos\ \alpha\ =\ \sqrt {\frac{1}{5}}\ =\ 0,45 \)
  • \( sen\ \alpha\ =\ 2 \ \cdot\ cos\ \alpha\ =\ 2 \ \cdot\ 0,45 \\ sen \ \alpha \ = 0,9 \)

Comprobar

¡Correcto!

No es correcto... Respuesta correcta:

Opción D: ¡Más razones!

¿Cómo podrías calcular \( sen \ \alpha \) y \( cos \ \alpha \) si conocemos \( tg \ \alpha \ =\ 0,53 \)?

Realiza en tu cuaderno los pasos necesarios para obtener las razones trigonométricas. 

Opción E: Razona

Sabiendo que: \( sen^2\ \alpha\ +\ cos^2\ \alpha\ =\ 1 \)

¿Puede el \(sen\ \alpha \) o \(cos\ \alpha\) tomar un valor mayor que la unidad?

Escribe en tu cuaderno tres argumentos que justifiquen tu respuesta y debátelo con un compañero o una compañera que piense lo contrario.

¿Cómo llevas las fórmulas trigonométricas?

No te preocupes si tienes dificultades para resolver las fórmulas.

Practica lo que necesitas, pregunta dudas a tu profesorado. 

Ayúdate del botón "Recuerda cómo hacerlo". 

Fíjate en todos los pasos que hay que dar. 

¡Estás haciendo un buen trabajo! ¡Continúa!