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4.2. Si lo ves te lo crees. Resolución gráfica de inecuaciones

Diccionario

Perspectiva

Tres personas con una perspectiva distinta ante un problema.
Definición

Punto de vista que tiene una persona sobre un tema.

Ejemplo

Escucharte me da otra perspectiva sobre el problema. 

Semirrecta

Semirrecta dibujada en el plano.
Definición

Recta que se considera desde un punto determinado y en un único sentido.

Ejemplo

El vértice de un ángulo es el origen de dos semirrectas

Numeria dice...

Numeria ha conseguido despertar el monstruo matemático que Piñonate lleva dentro.

A estas alturas de la película, Piñonate ya siente curiosidad por saber cómo se resuelve una inecuación de forma algebraica (es decir, despejando la \(x\), tal y como harías en una ecuación).

No obstante, Piñonate tendrá que armarse de paciencia porque Numeria decide comenzar explicándole a Piñonate cómo puede resolver una inecuación de forma gráfica.

Veamos qué le cuenta Numeria a Piñonate. ¿Te apuntas?

Lectura facilitada

Numeria ha despertado la curiosidad de Piñonate por las matemáticas. 

Piñonate quiere resolver una inecuación de forma algebraica.

Una inecuación algebraica se resuelve despejando la x.

Una inecuación algebraica la resuelves como resuelves una ecuación. 

Numeria comienza explicando a Piñonate 

cómo resolver una inecuación de forma gráfica.

¿Te apuntas?

1. Si no lo veo, no lo creo

Bien, Piñonate, es el momento de que te familiarices con las gráficas. Te serán de mucha utilidad para interpretar diversas circunstancias. Lo haremos con algún ejemplo.

Si te pido que resuelvas gráficamente: \(3x\ –\ 5\ <\ 0\); lo que realmente te digo es ¿para qué valores de \(x\) la expresión \(3x\ –\ 5\) es menor que \(0\)?

Para ver esto gráficamente sólo tienes que separar la inecuación en dos ecuaciones de rectas. En nuestro ejemplo:

\(3x\ –\ 5\ <\ 0\)   se desglosa en…

\(y\ =\ 3x\ -\ 5\)

\(y\ =\ 0\)

 Como ves, lo único que hacemos es igualar la variable y a cada uno de los lados de la inecuación.

Ahora lo tenemos que representar gráficamente.

Esta es la representación gráfica de \(y\ =\ 3x\ -\ 5\).

La imagen muestra la recta de la ecuación 3x - 5

Y esta la de \(y\ =\ 0\).

La imagen muestra la recta de la ecuación y=0

Efectivamente, la recta \(y\ =\ 0\) es el eje \(X\). ¿Por qué? Pues porque \(y\ =\ 0\) es la recta cuyos puntos son de la forma \((a,\ 0)\), es decir, la coordenada \(x\) puede ser cualquier número, pero la coordenada y siempre es cero. Todos los puntos del eje \(X\) tienen coordenada \(y\ =\ 0\).

Y aquí tienes las dos gráficas juntas.

La imagen muestra lo indicado en el enunciado

Recuerda que buscamos los valores de \(x\) para los que \(3x\ –\ 5\) es menor que \(0\). (\(3x\ –\ 5\ <\ 0\))

En la gráfica se ve muy claro, ¿verdad?

 Observa que todos los puntos de la semirrecta de color verde cumplen con la inecuación \(3x\ –\ 5\ <\ 0\).

La imagen muestra lo indicado en el enunciado

Es decir, mirando la gráfica nos damos cuenta de que la recta \(y\ =\ 3x\ –\ 5\) está por debajo de la recta \(y\ =\ 0\) desde el punto \(A\) hasta el \(-\infty\), que es lo mismo que decir \(3x\ –\ 5\  <\ 0\).

¡Importante detalle! Observa que el punto \(A\) no es solución, ya que en ese punto \(y\ =\ 3x\ –\ 5\) NO ESTÁ por debajo de \(y\ =\ 0\).

Semirrecta dibujada en el plano. Definición

Recta que se considera desde un punto determinado y en un único sentido.

Ejemplo

El vértice de un ángulo es el origen de dos semirrectas

Lectura facilitada

Las gráficas son representaciones útiles

para interpretar diversas circunstancias.

Mira el ejemplo.

Resuelve con una gráfica:  

Tienes esta inecuación

3x – 5 < 0

¿Para qué valores de x la expresión 3x – 5 es menor que 0?

Para representar la inecuación en una gráfica sigue estos pasos.

Separa la inecuación en dos ecuaciones de rectas. 

Ejemplo:

\(3x\ –\ 5\ <\ 0\)  

Se desglosa en dos ecuaciones. 

\(y\ =\ 3x\ -\ 5\)

\(y\ =\ 0\)

Representa en una gráfica las dos ecuaciones.

Esta es la representación gráfica de \(y\ =\ 3x\ -\ 5\).

La imagen muestra la recta de la ecuación 3x - 5

Esta es la representación gráfica de  \(y\ =\ 0\).

La imagen muestra la recta de la ecuación y=0

  • La recta \(y\ =\ 0\) es el eje \(X\).
  • La recta \(y\ =\ 0\) es el eje \(X\) 
    porque \(y\ =\ 0\) es la recta cuyos puntos son de la forma \((a,\ 0)\).
  • La coordenada \(x\) puede ser cualquier número.
  • La coordenada \(y\) siempre es cero.
  • Todos los puntos del eje \(X\) tienen coordenada \(y\ =\ 0\).

Aquí tienes las dos gráficas juntas.

La imagen muestra lo indicado en el enunciado

Observa la gráfica. 

En la gráfica puedes ver los valores de \(x\) para los que \(3x\ –\ 5\) es menor que \(0\).

(\(3x\ –\ 5\ <\ 0\))

 Observa que todos los puntos de la semirrecta de color verde cumplen con la inecuación \(3x\ –\ 5\ <\ 0\).

La imagen muestra lo indicado en el enunciado

Mira la gráfica.

La recta \(y\ =\ 3x\ –\ 5\) está por debajo de la recta \(y\ =\ 0\) 

desde el punto \(A\) hasta el \(−\infty\). 

Los valores de \(x\) para los que \(3x\ –\ 5\) es menor que \(0\). 

\(3x\ –\ 5\ <\ 0\)

Observa que el punto \(A\) no es solución.

En el punto \(A:\ y\ =\ 3x\ –\ 5\) no está por debajo de \(y\ =\ 0\).

Coordenadas cartesianas Definición

Sistema de referencia que utiliza números para saber la posición exacta de un punto.

Ejemplo

La coordenada X se mide sobre el eje de abscisas. 

Mano entregando objeto a otra mano. Definición

Recta que se considera desde un punto determinado y en un único sentido.

Ejemplo

El vértice de un ángulo es el origen de dos semirrectas.  

La imagen muestra un icono sacando la lengua

Fácil, ¿verdad?

¿Sí, pero no? Vale, haremos uno más.

Queremos resolver gráficamente la siguiente inecuación:

\boxed{x\ -\ 5\ ≤\ 3\ +\ \frac{x}{3}}

La imagen muestra dos caminantes

Vayamos paso a paso:

Si quieres puedes intentarlo tú primero, estos son los pasos a seguir:

Paso 1: Descomponemos la inecuación \(x\ -\ 5\ ≤\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\) en dos ecuaciones de rectas.

Paso 2: Representamos gráficamente las ecuaciones.

Paso 3. Ahora se trata de interpretar lo que nos dicen con la inecuación \(x\ -\ 5\ ≤\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\).

Paso 4. Marcamos los puntos que cumplen con la condición vista en el paso anterior.

Si te atascas en algún paso, ve pulsando en los diferentes apartados. En ellos irás encontrando las resoluciones.

Lectura facilitada

Resuelve con una gráfica la siguiente inecuación:

\boxed{x\ -\ 5\ ≤\ 3\ +\ \frac{x}{3}}

Sigue estos pasos:

  • Paso 1: Descompón la inecuación \(x\ -\ 5\ ≤\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\)
    en dos ecuaciones de rectas.
  • Paso 2: Representa gráficamente las ecuaciones.
  • Paso 3. Interpreta la inecuación \(x\ -\ 5\ ≤\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\).
  • Paso 4. Marca los puntos.

Paso 1

Descomponemos la inecuación  \(x\ -\ 5\ ≤\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\) en dos ecuaciones de rectas.

\(y\ =\ x\ -\ 5 \)

\(y\ =\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\)

Paso 2

Representamos gráficamente las ecuaciones.

Esta es la representación de \( y\ =\ x\ -\ 5 \).

La imagen muestra la representación de la recta x-5.

Y esta es la de \(y\ =\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\).

Y aquí tienes las 2 juntas:

La imagen muestra las rectas indicadas en el enunciado

Paso 3

Ahora se trata de interpretar lo que nos dicen con la inecuación  \(x\ -\ 5\ ≤\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\).

¿No podríamos leerla así?

Buscamos valores de \(x\) para los que  \(y\ = \ x\ -\ 5\)  esté por debajo de (\(\le\))   \(y\ =\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\).

¿Qué tal si lo leemos ahora de derecha a izquierda?

Buscamos valores de \(x\) para los que \(y\ =\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\) esté por encima de  \(y\ =\ x\ -\ 5\).

(\(\le\), ¡Recuerda que estás leyendo de derecha a izquierda!)

Si lo piensas detenidamente, verás que estamos diciendo lo mismo.

Paso 4

Marcamos los puntos que cumplen con la condición vista en el paso anterior.

¡Ahí van!

La imagen muestra lo expuesto en el enunciado

Así es, espero que sea lo que habías pensado. A partir del punto \( A\) hasta el \(-\infty\)  la recta \(y\ =\ x\ -\ 5\) está por debajo de \(y\ =\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\).

O lo que es lo mismo, a partir del punto \(A\) hasta el \(-\infty\) la recta \(y\ =\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\) está por encima de  \(y\ =\ x\ -\ 5\).

Importante observación: ¿será el punto \(A\) parte de la solución?

Pues claro que sí porque nuestra inecuación es \( x\ -\ 5\ ≤\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\).

Fíjate en que el símbolo \(\le\) contiene el signo igual, por lo que también nos vale el punto en el que \(y\ =\ x\ -\ 5\) es igual que \(y\ =\ 3\ +\ \Large{\frac{x}{3}}\).

Finalmente escribamos la solución en forma de intervalo.

Las soluciones válidas son todos los valores de \( x\) que están en el intervalo \((-\infty\ ,\ 12\ ]\).

O expresado matemáticamente: \( x\ \in (- \infty\ ,\ 12\ ]\).

2. A por ellas

Numeria dice...Piñonate, las gráficas tienes que dominarlas. 

Te permiten ver con claridad, de un sólo vistazo, una perspectiva clara a tus problemas de inecuaciones.

Tres personas con una perspectiva distinta ante un problema. Definición

Punto de vista que tiene una persona sobre un tema.

Ejemplo

Escucharte me da otra perspectiva sobre el problema. 

Opción A: Que me mientas me es desigual

Indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas.

Pregunta 1

 La inecuación  \(3x\ +\ 1\ \le\ -6\) se resuelve gráficamente buscando los puntos de la recta \(y\ =\ 3x\ +\ 1\) que están por debajo de la recta \(y\ =\ -6\).

Sugerencia

Recuerda que \(\le\) se lee menor o igual que.

Pregunta 2

Las soluciones de la inecuación \(\Large\frac{3(x+1)}{5}\ \normalsize -\ \Large\frac{(4-x)5}{2}\normalsize\ \ge\ 6x\ -\ 1\ +\ \Large\frac{x}{3} \) se resuelve buscando gráficamente los puntos de la recta \( y\ =\ \Large\frac{31x-94}{10}\) que están por encima o coinciden con la recta \( y\ =\ \Large\frac{19x-3}{3}\).

Sugerencia

Reduce cada miembro de la desigualdad, operando los paréntesis y sumando términos semejantes (utiliza el m.c.m. si es necesario).

Pregunta 3

Si decimos que las soluciones de una inecuación están formadas por todos aquellos valores de \(x\) que hacen que \(y\ =\ \Large{\frac{x}{3}}\normalsize \ +\ 1\) están por encima de \(y\ =\ 5\), nos estamos refiriendo a la inecuación \(5\ <\ \Large{\frac{x}{3}}\normalsize \  +\ 1\).

Sugerencia

¿Qué tal si lees la expresión de derecha a izquierda, al revés de como se suele hacer?

Opción B: No es igual con quién me emparejes

En esta actividad debes relacionar cada inecuación con su gráfica correspondiente. Ten en cuenta que la solución de la inecuación está representada en color verde.

a) \(x^2\ +\ 4x\ \le\ x\)

c) \(2x\ -\ 1\ >\ 3 \)

b) \(x^2\ +\ 4x \ \ge \ x \)

d) \( 2x\ -\ 1\ \ge\ 3 \)

Gráfica 1
La imagen muestra una gráfica
Gráfica 2
La imagen muestra una gráfica
Gráfica 3
La imagen muestra una gráfica
Gráfica 4
La imagen muestra una gráfica

Pista

Ten en cuenta que si la variable (es decir, la \( x\) ) está elevada a 2, no tendrá como representación gráfica una línea recta.

Soluciones

Ecuación a con gráfica 1

Ecuación b con gráfica 3

Ecuación c con gráfica 2

Ecuación d con gráfica 4

Opción C: Intervalos y gráficas a ti… ¡Pan comido!

En tu cuaderno, resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones. Como resultado debes indicar:

a) En la gráfica los puntos del eje \(X\) para los que se cumple la desigualdad.

b) Dar el resultado en forma de intervalo.

Estas son las desigualdades a resolver:

Desigualdad 1: \( x\ +\ 6\ \le\ 3x\)

Desigualdad 2: \(8\ >\ \Large{\frac{3}{2}}\normalsize x\ -\ 1\)

Desigualdad 3: \(2\ -\ 4x\ <\ -x\ +\ 5\)


Cuando lo tengas resuelto pulsa en los botones: ahí encontrarás las soluciones (en la solución gráfica la recta marcada en verde es la solución).

Solución desigualdad 1

Solución gráfica:

La imagen muestra la solución indicada

Intervalo solución: \( [3,+\infty) \)

Solución desigualdad 2

Solución gráfica:

La imagen muestra la solución de la desigualdad 2

Intervalo solución: \((-\infty,\ 6)\)

Solución desigualdad 3

Solución gráfica:

La imagen muestra la solución a la desigualdad 3

Intervalo solución: \((-1,\ +\infty)\)

Opción D: Dame apps

En esta actividad vas a trabajar con Geogebra. Haremos lo siguiente:

  1. Inventa una inecuación sencilla.
  2. Resuélvela primero en tu cuaderno.
  3. Entra en la app de Geogebra pulsando en GeoGebra Clásico.
  4. Para introducir la inecuación solo tienes que escribirla en la columna de la izquierda, tal y como se señala en el dibujo.La imagen muestra dónde hay que pulsar
  5. Observa los resultados que Geogebra te ofrece. Analiza el sentido de los mismos comparándolos con tus resultados en la libreta. Cuando creas que lo tienes claro, intercambia y contrasta tus conclusiones con otra compañera o compañero.

Motus dice ¿Qué has sentido al realizar estas actividades?

Una actividad de clase puede hacernos sentir de muchas maneras: confundido, aliviada, inseguro, tensa, alegre, orgullosa, enfadado...

La forma en la que respondes ante una actividad puede decirte muchas cosas sobre ti.

Si te sientes confundido o insegura, es porque se trata de una actividad nueva que no sabes muy bien cómo resolver. Si te sientes contenta, alegre u orgulloso, seguramente es porque sabes que serás capaz de hacerla muy bien.

Si te sientes enfadada o tenso, es porque esa actividad es muy difícil o muy importante.

Conocer las emociones que sientes cuando vas a hacer una actividad te ayudará a:

  • Pedir ayuda.
  • Relajarte para contestarla.
  • Pensar en cómo podrás contestarla.

¡Haz caso a tus emociones!