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4.1. No es igual. Inecuaciones

Diccionario

Gestionar

Persona que organiza el trabajo en una pizarra.
Definición

Organizar un negocio o empresa.

Ejemplo

Piñonate y Numeria gestionan muy bien su panadería.  

Inecuación

Tres inecuaciones con varias variables.
Definición

Desigualdad algebraica en la cual los miembros se encuentran relacionados por los signos (menor que), (menor o igual que), (mayor que) y (mayor o igual que).

Ejemplo

Resuelve el problema con una inecuación.  

Piñonate dice...

Piñonate está muy satisfecho porque ya domina las ecuaciones y sistemas de primer grado.

En su candidez, piensa que con ello le será suficiente para llevar a buen puerto su negocio.

Sin embargo, no sabe que Numeria le tiene preparada una nueva tanda de matemáticas a la carta.

¡Piñonate, para llevar un negocio bien no es suficiente con saber hornear! También hay que saber gestionar las cuentas.

Veamos qué es lo siguiente que tiene que aprender el bueno de Piñonate.

Persona que organiza el trabajo en una pizarra. Definición

Organizar un negocio o empresa.

Ejemplo

Piñonate y Numeria gestionan muy bien su panadería.  

Lectura facilitada

Piñonate está muy contento.

Piñonate ha aprendido las ecuaciones y 

ha aprendido los sistemas de ecuaciones de primer grado.

Numeria enseña a Piñonate más contenidos matemáticos.

Piñonate necesita gestionar las cuentas

para llevar bien su negocio. 

Ahora observa los nuevos contenidos matemáticos 

que tiene que aprender Piñonate. 

Ecuación con dos incógnitas. Definición

Igualdad matemática entre dos expresiones. Tiene valores conocidos y otros desconocidos representados por letras.

Ejemplo

La ecuación tiene dos incógnitas X e Y.  

Persona que organiza el trabajo en una pizarra. Definición

Organizar un negocio o empresa.

Ejemplo

Piñonate y Numeria gestionan muy bien su panadería.  

1. Una solución no es suficiente

La imagen muestra unos muñecos de boda encima de una tarta

Como buena matemática, Numeria utiliza un ejemplo real para explicar a Piñonate el siguiente contenido matemático.

Recuerda que tu amigo el señor Molla se casó hace unos meses.

 Tuvo un problema: el panadero que tenía que servirle 500 molletes de Antequera para la celebración se puso enfermo el día antes. Así que, tu amigo Molla te pidió, de un día para otro, que le prepararas los 500 molletes.

La imagen muestra un mollete con jamón. No los habías hecho nunca, pero como eres un maestro, todo salió a la perfección. Los molletes salieron en su punto: blanditos y esponjosos.

Sin embargo, con las prisas hiciste el pedido de harina sin saber muy bien qué cantidad necesitabas. Eso sí, recuerdas que pediste 30 kg y que te sobró bastante.

Nunca has sido muy ordenado para las cuentas. Así que… si quisieras repetir esa misma exitosa receta de mollete de Antequera para 70 personas, ¿qué cantidad de harina pedirías?

—Pues, ni idea— contesta Piñonate.

Pues préstame atención

y verás resuelto tu problema

con una inecuación.

 (Numeria siempre había tenido alma de poetisa).

 De acuerdo Piñonate. No recuerdas qué cantidad utilizaste pero, al menos, recordarás aproximadamente cuánta harina te sobró.*

—Yo diría que unos 9 paquetes y pico— dice Piñonate.

O sea, que si tenías 30 paquetes y cada paquete tiene 1kg de harina, usaste más de 20 kg.

Observa y  aprende Piñonate:

La imagen muestra un niño observando a través de un telescopio

Tres inecuaciones con varias variables. Definición

Desigualdad algebraica en la cual los miembros se encuentran relacionados por los signos (menor que), (menor o igual que), (mayor que) y (mayor o igual que).

Ejemplo

Resuelve el problema con una inecuación.  

Lectura facilitada

Numeria explica a Piñonate el siguiente contenido matemático. 

El señor Molla es amigo de Piñonate.

El señor Molla se ha casado hace unos meses y 

tuvo un problema antes de su boda. 

El panadero tenía que preparar 500 molletes de Antequera para la boda. 

El panadero se puso enfermo. 

Molla pide ayuda a Piñonate. 

Piñonate tiene que preparar 500 molletes. 

Piñonate compró 30 kilogramos de harina para hacer los molletes. 

A Piñonate le sobró mucha harina cuando terminó los molletes. 

¿Cuánta harina debe pedir para hacer 70 molletes?

Utiliza una inecuación para resolver el problema.

  • Recuerda cuánta harina le sobró después de hacer 500 molletes. 
  • A Piñonate le sobraron 9 paquetes de harina y un poco más de otro paquete. 
  • Piñonate tenía 30 paquetes de harina. 
  • Cada paquete pesa 1 kilogramo de harina.
  • Piñonate usó más de 20 kilogramos de harina para hacer 500 molletes. 
Tres inecuaciones con varias variables. Definición

Desigualdad algebraica en la cual los miembros se encuentran relacionados por los signos (menor que), (menor o igual que), (mayor que) y (mayor o igual que).

Ejemplo

Resuelve el problema con una inecuación.  

Llamemos \( x\) (ya sabes que a la cantidad desconocida solemos llamarle \(x\)) a la harina que usaste en cada mollete. Podemos escribir lo siguiente:

500x \ molletes > 20\ Kg.

¿Qué cómo se lee? Pues muy fácil Piñonate: «quinientos x es mayor que 20 kilogramos».

Efectivamente el signo > se lee “mayor que”.

Razonemos lo que hemos escrito:

La imagen muestra un hombre reflexionando con la mano en la boca.  

500x\ molletes\ >\ 20\ Kg.

\( 500x \) : \(x\) es la cantidad de harina usada para un mollete, por tanto, \(500x\) es la cantidad de harina usada para 500 molletes.

\(20\ kg \): es algo menos de la cantidad de harina que utilizaste para esos 500 molletes.

\( > \) : con este signo indicamos que la cantidad de harina para 500 molletes (\(500x\)) es mayor que \(20\ kg\).

Por consiguiente, observa que es muy lógico lo que hemos escrito.

La cantidad de harina usada para 500 molletes fue mayor que 20 kg.

Pues bien, \( 500x\ >\ 20\)  es una inecuación.

Es decir, prácticamente como una ecuación pero sin el signo igual.

Lectura facilitada

  • Utiliza \( x\) para nombrar la cantidad desconocida.
  • \(x\) es la cantidad de harina que usas para hacer cada mollete.
  • 500x molletes >20 kilogramos
  • 500x molletes es mayor que 20 kilogramos de harina.

Razona

La imagen muestra un hombre reflexionando con la mano en la boca.  

500x\ molletes\ >\ 20\ Kg.

  •  x es la cantidad de harina usada para hacer un mollete. 
  • 500x es la cantidad de harina usada para 500 molletes.
  • 20 kilogramos es la cantidad de harina que utilizaste para 500 molletes.
  • >: este signo indica que la cantidad de harina para hacer 500 molletes (500x) 
    es mayor que 20 kilogramos de harina.
  • La cantidad de harina usada para hacer 500 molletes fue mayor que 20 kilogramos.

  • \( 500x\ >\ 20\) es una inecuación.
  • 500x es mayor que 20. 
  • Es como una ecuación pero sin el signo igual.

¿Cómo se resuelve? Un poco de pacieeeencia. Eso te lo explicaré más tarde.

La imagen muestra el letrero 'just a moment please'

Ahora, para que lo entiendas bien, lo haremos a ojo de buen cubero (es decir, probando).

Observa que para resolver  \(500x\ >\ 20\) necesitamos multiplicar 500 por un número (al que hemos llamado \(x\)) y nos tiene que dar más de 20.

¿Se te ocurre algo? ¡Venga, yo te ayudo!

20 es menor que 500. Así que si fuese una ecuación y en vez del signo “>” estuviese el signo “=” x debería ser un número entre 0 y 1. ¿Qué tal 0,4? Pues sustituye en la inecuación a ver qué pasa.

Solución:

\( 500\ \cdot\ 0,04\ =\ 20 \)

La imagen muestra un cohete espacial

¡Houston, tenemos un problema!

El resultado es 20 y en la inecuación nos dice que 500x tiene que ser mayor que 20.

Por tanto 0,04 no nos vale. Nuestro resultado ha de ser mayor que 0,04.

¿Y cuántos números hay mayores que 0,04?

Infinitos Piñonate, infiniiiitooooooooooooooooooooooooooosssssss…

La imagen muestra el cartel de la película vértigo

Sí, Piñonate hay infinitas soluciones a tu problema.

Podríamos escribir entonces que la solución es:

\( x\ Є\ (0,04,\ +∞) \)

Esto, como recordarás, se llama intervalo y significa que nos valen todos los números mayores que 0,04.

Concluyendo nuestro problema Piñonate:

Si quieres hornear 70 molletes necesitarás: \( 70\ \cdot\ 0,04\ = \ 2,8 \). Es decir, necesitaremos más de \(2,8\ kg\) de harina.

Podrías pedir \(3\ kg \), ¿verdad?

Lectura facilitada

Resuelve  \(500x\ >\ 20\)

  • Multiplica 500 por un número.
  • Ese número se llama x. 
  • El resultado es más de 20.  

¿Cómo se resuelve?

  • 20 es menor que 500.
  • En una ecuación x debe ser un número entre 0 y 1. 
  • ¿Puede x tener un valor de 0,4? 
  • Sustituye en la inecuación. 
  • Solución: 
  • 500 por 0,04 = 20 

  • El resultado es 20.
  • La inecuación te dice que 500x es mayor que 20.
  • 0,04 no nos vale. 
  • El resultado ha de ser mayor que 0,04.
  • ¿Y cuántos números hay mayores que 0,04?
  • Hay infinitos números mayores que 0,04. 

  • Hay infinitas soluciones al problema.
  • La solución es:
  • \( x\ Є\ (0,04,\ +∞) \)
  • \( x\ Є\ (0,04,\ +∞) \) Esto se llama intervalo.
  • Significa que nos valen todos los números mayores que 0,04.

Conclusión

  • Quieres hornear 70 molletes.
  • 70 ⋅ 0,04 = 2,8
  • Necesitas más de 2,8 kilogramos de harina.
  • Puedes pedir 3 kilogramos de harina.

¡Por cierto, se me olvidaba! En una inecuación pueden aparecer los  siguientes signos:

\( > \) que se lee: mayor que
\( < \) que se lee: menor que
\( \ge \) que se lee: mayor o igual que
\( \le \) que se lee: menor o igual que

2. Explorando el infinito

Numeria

Ahora te toca a ti Piñonate, ¿lo habrás comprendido? ¡Seguro que sí! 

Demuestra que las desigualdades no te dan igual.

Ahora sí, ¡a por ellos!

Opción A: Entendámonos por signos

Arrastra cada símbolo donde corresponda:

Opción B: Con dos me basta (de momento)

Escribe en tu cuaderno al menos dos soluciones enteras para cada inecuación. Cuando las tengas pídele a una compañera o a un compañero que te deje las suyas y explícale por qué crees que son válidas o no.

Estas son las inecuaciones:

a) \( 6x\ >\ 45\)

b) \(5\ -\ 3x\  ≤\  25\)

c) \(x/2\ +\ 1\ <\ 8\)

d) \( x^2\  -\ 2x\ ≥\ 100\)

Opción C: Dame soluciones que yo les pondré inecuaciones

Pregunta

¿Para qué inecuación es solución \(x\ =\ -2\)?

Respuestas

\( 2x^2\ –\ 3\ <\ 5\)

 \(7\ +\ 3x\ ≤\  3\)

\( 4x^3\  +\ 16\ >\ 0\)

Retroalimentación

Pregunta

¿Para qué inecuación es solución \(x\ =\ 0\)?

Respuestas

\(x^2\ +\ 3\ <\ 1\)

\(6x\ –\ 5\ +\ 2x\ ≥\ 3x\ +\ 9\)

\(8/5\ +\ x/4\ ≤\ 2\)

Retroalimentación

Pregunta

¿Para qué inecuación es solución \(x\ =\ -5/2\)?

Respuestas

\( x^2\ +\ x\ <\ 5/4\)

 \(8(x\ +\ 1)\  –\ 2x\ ≤\ 0\)

\((3\ –\ 6x)/-2\ >\ 1\)

Retroalimentación

Opción D: Una fórmula vale más que mil palabras

Veamos si de verdad lo tienes claro. A luchar con el lenguaje algebraico.

Motus dice ¿Te has equivocado en algo al hacer las actividades anteriores?

Cuando queremos aprender algo, lo normal es equivocarse al principio. Fallar forma parte de aprender. ¿Recuerdas cuando montaste en bici por primera vez? ¿Y cuando aprendías a nadar? Seguro que al principio no fue fácil, pero cada vez que fallabas, lo intentabas de nuevo. Con cada fallo aprendemos del error y lo mejoramos para la vez siguiente.

Para aprender de tus errores sigue estos consejos:

  1. Me doy cuenta de en qué parte he fallado.
  2. Busco la forma de mejorar ese error.
  3. Lo intento de nuevo.
  4. Entiendo que el error es importante para aprender.

No lo olvides: cuando te equivocas una vez, aprendes para el siguiente intento.