4.3. Álgebra para economizar

Diccionario

Semejantes

Definición: Relación entre personas o cosas que tienen características comunes.
Ejemplo: Estos dos gatos son semejantes.

Por fin llegó el momento. Es hora de resolver las inecuaciones de forma algebraica (es decir, despejando la x).

Ya sabéis que esto es lo que estaba esperando Piñonate y, aunque no se le han dado mal las gráficas, cree que algebraicamente podrá solucionar las inecuaciones de forma más rápida.

Veamos qué le cuenta Numeria de todo esto.

Lectura facilitada

Resuelve las inecuaciones de forma algebraica.

Despeja la x que aparece en las inecuaciones.

Piñonate quiere solucionar las inecuaciones de forma algebraica.

Numeria enseña a Piñonate a resolver las inecuaciones de forma algebraica.

Resolver las inecuaciones de forma algebraica es más rápido.

1. ¿No me digas que es así de fácil?

Bien, Piñonate, para resolver una inecuación tienes que seguir los mismos pasos que en la resolución de una ecuación. Veámoslo con un ejemplo.

\(15x\ -\ 2\ >\ 238\)

Paso 1. Pasamos los números al segundo miembro y las \( x\) al primer miembro (en nuestro caso no hay que pasar al primer miembro ningún término en \(x\)).

\(15x\ >\ 238\ +\ 2\)

Paso 2. Sumamos los términos semejantes (es decir, las \(x\) con las \(x\), los números con los números).

\(15x\ >\ 240\)

Paso 3. Despejamos la \(x\).

\(x\ >\ \Large\frac{240}{15}\)

Paso 4. Resolvemos.

\( x\ >\ 16 \)

Paso 5. Damos soluciones.

En forma de intervalo: \(x\ \in\ (16,\ +\infty)\)

En forma gráfica:

Lectura facilitada

Resuelve la inecuación.

Sigue los mismos pasos que en la resolución de una ecuación.

Mira el ejemplo.

\(15x\ -\ 2\ >\ 238\)

Paso 1. Pasamos los números al segundo miembro y las \( x\) al primer miembro.

(En este caso no hay que pasar al primer miembro ningún término en \(x\)).

\(15x\ >\ 238\ +\ 2\)

Paso 2. Suma los términos semejantes.

Suma las x con las x.

Suma los números con los números.

\(15x\ >\ 240\)

Paso 3. Despeja la \(x\).

\(x\ >\ \Large\frac{240}{15}\)

Paso 4. Resuelve.

\( x\ >\ 16 \)

Paso 5. Da las soluciones.

Solución en forma de intervalo:

\(x\ \in\ (16,\ +\infty)\)

Solución en forma gráfica:

Apoyo visual

Pasos para resolver una inecuación. Solución en forma de intervalo y con una gráfica.

¿Por qué pones esa cara de “sobrao” Piñonate?

Un momento, ¿te crees que lo sabes todo? Será mejor que sigas escuchándome porque, si no, ¡la caída puede ser muy dura!

La imagen muestra una persona tirándose en paracaídas

¡Cuidado, Piñonate! Sólo un detalle.

Verás porqué no debes creerte especialista en inecuaciones aún.

Observa la resolución de esta inecuación.

\( 6\ +\ 2x\ \ge\ 4x\ +\ 2\)

O mejor, inténtalo tú en tu cuaderno. Cada vez que des un paso pulsa en los botones 1 al 5 para ir comprobando si lo has hecho correctamente.

Paso 1

Pasamos los números al segundo miembro y las \(x\) al primer miembro (en nuestro caso no hay que pasar al primer miembro ningún término en \(x\)).

\(2x\ -\ 4x\ \ge\ 2\ -\ 6 \)

Paso 2

Sumamos los términos semejantes (es decir, las \(x\) con las \(x\), los números con los números).

\(-2x\ \ge\ -4\)

Paso 3

Despejamos la \(x\).

\( x\ \le\ \Large\frac{-4}{-2} \)

¡Cuidado! ¿Crees que lo tienes bien? Fíjate bien en el signo de la desigualdad.

¿Que está del revés? ¿Que eso no está bien?

Al contrario. Está bien. Ese es el detalle que había que tener en cuenta. Te lo enunciaré muy claramente.

En una inecuación, si pasamos a otro miembro multiplicando o dividiendo un número que sea negativo, tenemos que darle la vuelta a la desigualdad.

Fíjate en estos ejemplos:

\(\Large\frac{2x}{-5}\normalsize\ \le\ 8\ \to \ 2x\ \ge\ 8\ \cdot\ (-5)\)

¿Lo ves? Como -5 pasa multiplicando le hemos dado la vuelta al signo de desigualdad. Pasa de ser \(\le\) a ser \(\ge\) .

Un ejemplo más.

\(-6x\ >\ 3 \ \to\ x\ <\ \Large\frac{3}{-6}\)

¿Lo ves? Como -6 pasa dividiendo le hemos dado la vuelta al signo de desigualdad. Pasa de ser \( >\) a ser \(<\).

Paso 4

Resolvemos.

\(x\ \le\ 2\)

Paso 5

Damos soluciones.

En forma de intervalo: \(x \ \in\ (-\infty,\ 2]\)

En forma gráfica:

Lectura facilitada

Observa la resolución de esta inecuación.

\( 6\ +\ 2x\ \ge\ 4x\ +\ 2\)

Intenta resolver esta inecuación en tu cuaderno.

Pulsa en los botones 1 al 5

para comprobar que lo estás haciendo de forma correcta.

Paso 1

Pasa los números al segundo miembro.

Pasa las \(x\) al primer miembro.

En esta inecuación no hay que pasar al primer miembro
ningún término en \(x\).

\(2x\ -\ 4x\ \ge\ 2\ -\ 6 \)

Paso 2

Suma los términos semejantes.

Suma las \(x\) con las \(x\).

Suma los números con los números.

\(-2x\ \ge\ -4\)

Paso 3

Despeja la \(x\).

\( x\ \le\ \Large\frac{-4}{-2} \)

Fíjate bien en el signo de la desigualdad.

Cuando tienes que pasar a otro miembro

multiplicando o dividiendo un número

que es negativo tienes que darle la vuelta a la desigualdad.

Mira estos ejemplos:

Ejemplo 1.

\(\Large\frac{2x}{-5}\normalsize\ \le\ 8\ \to \ 2x\ \ge\ 8\ \cdot\ (-5)\)

-5 pasa multiplicando.

Tienes que darle la vuelta al signo de desigualdad.

Pasa de ser menor o igual que \(\le\) a ser mayor o igual que \(\ge\).

Ejemplo 2.

\(-6x\ >\ 3 \ \to\ x\ <\ \Large\frac{3}{-6}\)

-6 pasa dividiendo.

Tienes que darle la vuelta al signo de desigualdad.

Pasa de ser mayor que \( >\) a ser menor que \(<\).

Paso 4

Resuelve.

\(x\ \le\ 2\)

Paso 5

Da soluciones.

Solución en forma de intervalo:
\(x \ \in\ (-\infty,\ 2]\)
Solución en forma gráfica:

2. Especialistas en álgebra

Ahora sí, Piñonate. Esto es lo que tú querías: ¡ÁLGEBRA!

Te propongo estas actividades para que las resuelvas algebraicamente.

La imagen muestra una pizarra con una ecuación escrita

Opción A: Encontrando las equivalentes

Aquí tienes 6 inecuaciones (etiquetadas del apartado a al apartado f).

Emparéjalas 2 a 2, es decir, cada una con su equivalente (por ejemplo podrías decir: la a va con la f porque son equivalentes).

Trabaja para ello en tu cuaderno.

a. \( 3x\ >\ 5\)

b. \(6(x\ +\ 2)\ -\ 2x\ \le\ 7x\ -\ 6\)

c. \(-3x\ \le\ -18\)

d. \(\Large\frac{3}{5}\normalsize\ x\ +\ 1\ >\ 2 \)

e. \(-7\ -\ \Large\frac{2x}{3}\normalsize\ >\ \Large\frac{4x}{2}\normalsize\ -\ 1 \)

f. \(-8x\ >\ 6\)

Pista: ¿qué significa equivalente?

Observa estas inecuaciones:

\(3x\ +\ 8\ \lt\ -2x\ +\ 1\)

\(3x\ +\ 2x\ \lt\ 1\ -\ 8 \)

\(5x\ \lt\ -7\)

Las tres inecuaciones son equivalentes, es decir, se trata de la misma inecuación.

La única diferencia entre ellas es que hemos cambiado algunos términos de miembro (lo que hemos hecho de la primera a la segunda), o que hemos sumado términos semejantes (lo que se hace para pasar de la segunda a la tercera).

¿A que ya tienes claro lo que significa equivalente?

Soluciones

b - c

a - d

e - f

Opción B: ¿Soluciones? Las que quieras

Tu misión ahora es terminar de completar en tu cuaderno la resolución de las anteriores inecuaciones. Debes dar la solución en forma de intervalo y gráficamente.

Pulsa en los botones 1, 2 y 3, respectivamente para ver las soluciones de:

\(\Large\frac{3}{5}\normalsize x\ +\ 1\ > 2 \)
\(6(x\ +\ 2)\ -\ 2x\ \le\ 7x\ -\ 6 \)
\(-7\ -\ \Large\frac{2x}{3}\normalsize\ >\ \Large\frac{4x}{2}\normalsize \ -\ 1 \)

Solución 1

Intervalo solución: \( \left( \Large\frac{5}{3}\normalsize ,\ + \infty \right) \)

Solución gráfica:

Solución 2

Intervalo solución: \([6,\ +\infty\ )\)

Solución gráfica:

Solución 3

Intervalo solución:\(\left(-\infty,\ -\Large\frac{3}{4} \right)\)

Solución gráfica:

Opción C: ¿Quieres inecuaciones? Pues dame soluciones

Pon en práctica tu creatividad. Aquí tienes las soluciones en forma de intervalo de algunas inecuaciones. ¿Tu trabajo?

1.- Idea una inecuación que tenga por solución el intervalo dado. Trata de ser creativa o creativo: introduce paréntesis, fracciones y números negativos que pasen multiplicando o dividiendo al otro miembro.

2.- Comprueba que efectivamente tu inecuación tiene por solución el intervalo dado.

3.- Intercambia con un compañero o compañera tus inecuaciones. Resuelve las 3 suyas, mientras que él o ella resuelve las tuyas.

4.- Corregid mutuamente los errores que encontréis.

Estos son los intervalos solución para los que debéis crear las inecuaciones.

a. \((-\infty,\ 4]\)

b. \((5,\ +\infty)\)

c. \(\left[\Large\frac{2}{5}\normalsize ,\ + \infty \right) \)

Opción D: Te doy la palabra

En esta actividad tú crearás la inecuación. ¿Cómo? Muy fácil.

Inventa el enunciado de un problema que se resuelva mediante la resolución de una inecuación.
Una vez hayas escrito el problema, resuélvelo. Analiza si el enunciado da lugar a una inecuación y evalúa si el resultado de la inecuación tiene sentido.
Hecho esto, intercambia con una compañera o compañero los problemas y resolvedlos.
Finalmente, debatid si los problemas están correctamente propuestos y si la resolución es adecuada.

¿Necesitas ayuda?

Aquí tienes un ejemplo para que te sirva de inspiración.

Como buen repostero Piñonate sabe que un dulce puede tomarse acompañado de un licor.

Pues bien, a Piñonate le gustaría saber qué cantidad de litros de un licor de moras de 5 €/litro hay que mezclar con 20 litros de otro licor de moras cuyo precio es 3,5 €/litro, de manera que el licor resultante no supere el precio de 4 €/litro.

Si llamamos \(x\) a la cantidad de licor de moras que cuesta 5 €/litro ( \(x\), es, por tanto, lo que queremos calcular), el problema del bueno de Piñonate queda resuelto con la siguiente inecuación:

\( 5\ \cdot\ x\ +\ 3,5\ \cdot\ 20\ \le\ 4\ \cdot\ (x\ +\ 20)\)

En efecto:

\(5\ \cdot\ x\) es el coste del licor de moras de 5 €/litro.

\(3,5\ \cdot\ 20\) es el coste del licor de moras de 3,5 €/litro.

\(5\ \cdot\ x\ +\ 3,5\ \cdot\ 20\) es el coste total del licor mezcla.

\(4\ \cdot\ (x\ +\ 20)\) es, también, el coste total del licor mezcla, pues multiplicamos su precio por la cantidad total de licor \((x\ +\ 20)\).

Si aún no encuentras inspiración puedes buscar problemas en tu libro de texto o en internet (hay cientos de ejemplos). ¡Eso sí! ¡Que te sirvan de idea! No los copies, practica la creatividad.

Motus dice ¿Cuántas veces te has distraído al hacer las actividades?

Seguro que cuando estabas haciendo estas actividades ha ocurrido algo que te ha hecho parar. Puede que alguien llamase a la puerta, que la profesora o el profesor haya hablado con alguien, que hayas oído un ruido en la calle, que te hayas acordado de algo que hiciste ayer...

Mientras aprendemos, estamos rodeados de cosas que nos pueden distraer. Al volver a la actividad te cuesta más trabajo centrarte.

Por eso es importante que aprendas a controlar tus distracciones. Te doy algunos consejos:

Concéntrate bien en la actividad que tienes que realizar.
Si tiene muchos pasos o es muy difícil, haz pausas cortas para descansar.
Si te molesta lo que hay a tu alrededor, trata de ver si puedes mejorarlo: cierra las ventanas, pide silencio.
Piensa que si te distraes tardarás más tiempo en terminar.

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