Tablas

Dependencia funcional mediante tablas

En una instalación fotovoltaica hay dos elementos fundamentales: las placas y el inversor. Las placas generan una corriente eléctrica continua, como la red eléctrica convencional trabaja con corriente alterna y todos los aparatos funcionan con corriente alterna, es necesario un inversor cuya misión es convertir la corriente continua en alterna.

La potencia de la instalación fotovoltaica depende del voltaje con el que se fabrican las placas, cómo se colocan las placas (string) y la intensidad con la que circula la corriente eléctrica.  En la siguiente tabla se muestra la potencia que se obtiene en una instalación en función de la intensidad que circula.

Como se puede observar hay una relación entre las dos magnitudes de modo que si se conoce una de ellas se puede conocer el valor de la otra, así si circula una intensidad de 4A se produce una potencia de 1600W  y si la intensidad es de 6A la potencia será de 2400W. Hay una dependencia funcional entre la intensidad y la potencia.  Esta dependencia se puede expresar en formato de tabla.

Cuando el inversor recibe la corriente continua la transforma en alterna variando los datos

 A partir de la tabla se puede determinar que hay una relación directa entre la intensidad y la potencia generada, se tiene una dependencia funcional entre ambas magnitudes

Tablas y expresión analítica

Creación de la expresión analítica a partir de una tabla de valores

Tomando como referencia las tablas anteriores cabe preguntarse si se puede encontrar una expresión que permita relacionar las dos magnitudes.

Como se puede observar para cada amperio se obtiene una potencia de 400 vatios, si llamamos \(I\) a la intensidad y \(P\) a la potencia se puede observar que \(P=400I\), esta expresión permite relacionar las dos magnitudes (variables). 

De este modo se pueden conocer la potencia de la instalación si se conoce la intensidad que se genera.

Si se genera una intensidad de 5 amperios, la potencia obtenida será \(P=400\cdot 5=2000W\), análogamente si se sabe que la potencia obtenida es de 3600W se puede determinar la intensidad de generación  \(3600=400\cdot I \rightarrow I=\dfrac{3600}{400}=9\), luego la intensidad era de 9 amperios.

Si nos fijamos en la tabla de corriente alterna vemos que con la misma potencia aparecen intensidades no enteras 

En este punto hay que dar una explicación, la potencia es igual a la diferencial de potencial (voltaje) por la intensidad $P=V \cdot I $. En el caso de corriente continua el voltaje de nuestro ejemplo es de 400 voltios, cuando se pasa a corriente alterna, el estándar que hay es España es 240 voltios, si se supone que en el inversor no hay pérdidas, al disminuir el voltaje aumentará la intensidad. Si llamamos $I_c$ a la intensidad de corriente continua y $I_a$ a la intensidad de corriente alterna.

$\left\{ \begin{array}{l} P=400 I_c \\ P=240 I_a\end{array} \right. \Rightarrow 400I_c=240I_a $ $\Rightarrow I_a=\dfrac{400}{240}I_c $    $I_a=\dfrac{5}{3}I_c$

Puedes comprobar que esa es la relación entre las intensidades de las tablas de continua y alterna.

La relación entre la potencia y la intensidad en la tabla de corriente alterna es $P=240 I$

Las expresiones analíticas permiten expresar de forma sencilla la relación existente entre dos variables.

Expresión analítica

Función de proporcionalidad

Las funciones obtenidas anteriormente a partir de tablas muestran una proporcionalidad entre las dos variables, a esta función se le llama función de proporcionalidad y su expresión analítica es \(y=mx\) donde m es la constante de proporcionalidad, también se puede expresar de la forma \( f(x)=mx\).

A \(m\) se le llama pendiente de la función y puede tomar valores positivos en el caso en que la proporcionalidad sea directa o negativos si es inversa.

Función lineal

El inversor para funcionar consume una potencia, si nuestro inversor consume 50W. Entonces la potencia que se suministra a la red será la que se produce menos la que se consume, esto es $P=240I-50$. Podemos observar que los primeros 50W de producción van a cubrir los gastos del inversor, cuando se supere esa cantidad se dispondrá de potencia para el consumo.

A una expresión de la forma \(y=mx+n\) se la conoce como función lineal. Al igual que en el caso de la función de proporcionalidad \(m\) es la pendiente y \(n\) se conoce como ordenada en el origen. 

La función de proporcionalidad es un caso particular de función lineal en el que la ordenada en el origen (\(n\)) es nula.

Ecuación explícita

Las expresiones que hemos visto anteriormente muestran la función lineal dada en forma explícita, la variable dependiente (y) está despejada en un miembro \(y=mx+n\)
De esta forma se obtiene el valor de la variable dependiente de forma inmediata a partir de cualquier valor de la variable independiente.

Ecuación explícita conocidos un punto y la pendiente
Si se conoce un punto de la función y su pendiente se puede hallar la ecuación explícita.
Ejemplo:
Determina la la ecuación explícita de la recta que pasa por \((1,2)\) y tiene pendiente \(m=-1\). 
La forma de la ecuación explícita es \(y=mx+n\), como \(m=-1\) entonces \(y=-x+n\), al pasar por el punto \((1,2)\) cuando \(x=1 \; y=2\). Sustituimos en la ecuación \(2=-1+n \rightarrow 3=n\) luego la ecuación explícita es \(y=-x+3\).

Ecuación explícita conocidos dos puntos
Ejemplo:
Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos \(A(1,2)\) y \(B(0,3)\)
Como la recta pasa por los dos puntos, estos tienen que verificar la ecuación \(y=mx+n\), sustituyendo se tiene:
\( \left\{ \begin{array}{l} 2=m \cdot 1 +n \\ 3=m \cdot 0 +n \end{array} \right. \) si nos fijamos en la segunda ecuación se tiene que \( n=3\), sustituyendo en la primera ecuación \(2=m+3 \rightarrow m=2-3=-1\). Luego la ecuación explícita de la recta que pasa por \(A\) y \(B\) es \(y=-x+3\).

Ecuación punto-pendiente

Si se conoce un punto \(P(x_0,y_0)\) y la pendiente \(m\),  la función se puede expresar como \(y-y_0=m(x-x_0)\).

Ejemplo: Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por\( P(1,2)\) y tiene pendiente \(m=3\), entonces basta con sustituir en la fórmula anterior para obtener la ecuación solicitada \(y-2=3(x-1)\). 

Si tenemos la ecuación punto-pendiente se puede pasar a la explícita despejando la variable dependiente \(y\), en el ejemplo anterior \(y-2=3(x-1) \rightarrow y=3x-3+2 \rightarrow y=3x-1\).

Ecuación implícita

En ese caso todos los elementos se pasan a un miembro quedando igualado a 0, su expresión queda \(ax+by+c=0\)

•   \(y=2x+5 \rightarrow 2x-y+5=0\)
•   \(y=-\dfrac{1}{3}x-2 \rightarrow y+2=-\dfrac{1}{3}x \rightarrow 3y+6=-x \rightarrow x+3y+6=0 \)

Paso de ecuación implícita a explícita

• \(3x+2y-4=0 \rightarrow 2y=-3x+4 \rightarrow y=\dfrac{-3x+4}{2} \rightarrow y=-\dfrac{3}{2}x+2\)
• \(2x-y+1=0 \rightarrow y=2x+1\)

Gráfica

Función de proporcionalidad

La representación gráfica de una función de proporcionalidad  \(y=mx\)  es una recta.

La recta siempre pasa por el origen de coordendas, como se puede observar en la gráfica.

En esta expresión \(m\) es la pendiente de la recta  y muestra su inclinación,

si \(m\) es positiva la función será creciente, si es negativa será decreciente.

Mientras mayor sea \(m\) más inclinada estará la recta,

en cambio si \(m\) es muy pequeño la inclinación disminuye.

La gráfica de una función lineal \(y=mx+n\), al igual, que la función de proporcionalidad es una recta.

Como se puede observar en la imagen.

A diferencia de la primera la gráfica no pasa por el origen de coordenadas.

Fíjate en la expresión analítica que aparece junto a cada gráfica,

¿observas alguna relación entre el punto de corte de la gráfica con el eje de ordenadas y la expresión analítica?

Si no encuentras la relación no te preocupes en el siguiente apartado (corte con los ejes) tienes la respuesta.

Corte con los ejes

Función de proporcionalidad
Como se ha visto en la gráfica la función de proporcionalidad pasará siempre por el origen de coordenadas \((0,0)\),

esto se comprueba tomando la expresión analítica y sustituyendo en ella, si  \(x=0\), entonces,  \( y=mx \rightarrow y=m\cdot 0=0\).

Ejemplo:
Dada la función de ecuación  \(y=3x\) determina los cortes con los ejes. 

Para \(x=0\)  se tiene que \(y=3 \cdot 0 \rightarrow  y=0\) luego corta los ejes en \((0,0)\).

Función lineal
Si has observado la gráfica de la función lineal, corta a los ejes en dos puntos, uno en el eje de ordenadas y otro en el eje de abscisas.

La función lineal, corta al eje de ordenadas (\(Y\))  cuando \( x=0 \rightarrow y=m\cdot 0+n=n\), lo hará en el punto (\(0,n)\) a este punto se le llama ordenada al origen.

Basta con observar la gráfica para darse cuenta de que el corte coincide con el término independiente de la expresión analítica.

La función lineal cortará al eje de abscisas (\(X\)) cuando \(y=0 \rightarrow 0=mx+n  \rightarrow mx=-n \rightarrow  x=\dfrac{-n}{m}\).

El punto de corte será \(\left(\dfrac{-n}{m},0\right)\).

Ejemplo:
Dada la función lineal  \(y=2x+4\) vamos a determinar sus cortes con los ejes.
Corte con el eje de ordenadas: \(x=0\) entonces \(y=2·0+4 \rightarrow  y=4\), el punto de corte será \((0,4)\).
Corte con el eje de abscisas:  \(y=0 \rightarrow 0=2x+4  \rightarrow 2x=-4 \rightarrow x=\dfrac{-4}{2}=-2 \) luego el punto será \((-2,0)\).
Observa las siguientes gráficas y calcula los puntos de corte, comprueba tus cálculos con la gráfica

Monotonía

Una función de proporcionalidad o lineal será creciente cuando su pendiente sea positiva, en cambio, cuando la pendiente sea negativa será decreciente.

Observa las gráficas de las funciones que se muestran.

Fíjate en la pendiente (es el coeficiente de la variable independiente).

Cuando la pendiente es positiva, las funciones son crecientes, en cambio, cuando es negativa son decrecientes