Diccionario
Exponentes
- Definición
-
Número o expresión algebraica que denota la potencia a que se ha de elevar otro número u otra expresión, y se coloca en su parte superior a la derecha.
- Ejemplo
-
El número pequeño es el exponente de una potencia.
Un centro sostenible energéticamente
4.2. Polinomios
Diccionario
Exponentes
Iniciados en los primeros secretos del álgebra, es el momento de continuar avanzando, vamos a usar estas expresiones combinadas entre sí, obtendremos los polinomios, que serán fundamentales a la hora de describir la mayoría de los parámetros objeto de estudio en nuestro proyecto.
Pero además, te permitirán crear modelos matemáticos que se ajusten a la realidad que tienes que abordar. Verás cuantas aplicaciones tienen.
Lectura facilitada
Nos hemos iniciado en los primeros secretos del álgebra.
Es el momento de continuar avanzando.
Vamos a usar estas expresiones combinadas entre sí
y obtendremos los polinomios,
que serán fundamentales a la hora de describir
la mayoría de los parámetros.
Los parámetros serán objeto de estudio en nuestro proyecto.
Además, te permitirán crear modelos matemáticos
que se ajusten a la realidad que tienes que abordar.
Verás cuantas aplicaciones tienen.
1. Monomios
Un monomio es una expresión algebraica, que como ya sabemos está formada por números a
los que llamaremos coeficientes y letras que se denominan parte literal.
Ejemplos de monomios son: \(4x²\), \(7xy²z³\), \(ab³c\), \(\dfrac{2}{3}x³y\)
Grado de un monomio
Se llama grado de un monomio al número de factores que componen la parte literal
- \(4x² = 4x \cdot x\), hay dos factores luego tiene grado 2.
- \(7xy²z³ = 7x \cdot y \cdot y \cdot z \cdot z \cdot z \), en este caso hay 6 factores pon tanto tiene grado 6.
Una forma sencilla de determinar el grado de un monomio es sumar los exponentes de los elementos de la parte literal.
Monomios semejantes
Si dos monomios tiene exactamente la misma parte literal se dice que son semejantes
- \( 3xy²z³\) y \( -5xy²z³\) son semejantes
- \( 3xy²z³\) y \( -4xy²z²\) no son semejantes, la parte literal tiene que ser idéntica y en este caso \(z² \neq z³\)
Opuesto
El monomio opuesto a uno dado es aquel tal que al sumarlo al primero se anulan. Esto significa que dos monomios opuestos tendrán la misma parte literal y sus coeficientes eran opuestos.
Ejemplos:
- El opuesto de $2x²y$ es $-2x²y$
- El opuesto de $-4abc³$ es $4abc³$.
Comprueba que al sumar los monomios opuestos el resultado es 0
Las operaciones básicas de los monomios son:
Suma y resta
Para poder sumar o restar dos o más monomios tienen que ser semejantes, en este caso se deja la misma parte literal y se suman o restan los coeficientes.
\(4x² + x² = 5x²\)
\(3x⁴-5x⁴+x⁴ = -x⁴\)
\(2ab³c² -3ab³c²+5ab³c² = 4ab³c² \)
Producto
Al multiplicar dos monomios se obtiene otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y la parte literal es el producto de los factores que forman las partes literales.
Ejemplos:
- \(4ab² \cdot 3abc =12a^2b³c\)
- \(\dfrac{1}{2}x³y² \cdot 6 ab = 3x³y²ab\)
Cociente
Al dividir dos monomios se divide los coeficientes entre sí y los factores de la parte literal entre ellos.
Ejemplos:
- \(8x³y²z : 4xy² = 2x²z \)
- \(-9ab⁴c³ : 3ab²c = -3b²c²\)
Apoyo visual
2. Concepto de polinomio
Un polinomio es la suma de dos o más monomios con distinta parte literal. Vamos a trabajar con polinomios con un solo elemento en la parte literal que normalmente notaremos con la letra \(x\).
Ejemplos:
- \(P(x)=3x⁵-2x²+3\)
- \(Q(x)=-x⁶+4x⁵-x²+x\)
A cada uno de los monomios que componen el polinomio se le llama término, el grado del polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Así en los ejemplos anteriores \(P(x)\) tiene grado 5 y \(Q(x)\) tiene grado 6.
Apoyo visual
Evaluar un polinomio
Evaluar un polinomio consiste en sustituir la indeterminada, generalmente \(x\), por un valor numérico.
- \(P(x)=3x²+2x-1 \) evaluado en \(x=1\) \(P(1)=3 \cdot 1² +2 \cdot 1 -1 =3+2-1=4\)
- \(Q(x)=2x⁵-3x²+4x \) evaluado en \(x=-1\)
\(Q(-1)=2 \cdot (-1)⁵ -3 \cdot (-1)^2 +4\cdot (-1) =2 \cdot (-1)-3\cdot 1 +4 \cdot (-1) =-2-3+4=-1\)
Raíz de un polinomio
Se dice que un número real \(a\) es una raíz de un polinomio \(P(x)\) si al evaluarlo en \(a\) se anula el polinomio, es decir, si \(P(a)=0\).
Ejemplos:
- \(P(x)=2x+4\). Observa que \(x=-2\) es una raíz de \(P\) porque \(P(-2)=2 \cdot (-2) +4 =0\)
- \(Q(x)=x²-3x+2\). En este caso hay dos raíces \(x=1\) y \(x=2\) de \(Q(x)\) pues \(Q(1)=1²-3 \cdot 1 +2=0\) y \(Q(2)=2²-3 \cdot 2 +2=4-6+2=0\)
3. Operaciones con polinomios
Suma
Para sumar dos o más polinomios sumaremos entre sí aquellos monomios semejantes, para ello podemos ordenar los polinomios de mayor a menor grado situando los monomios semejantes uno sobre otro. Veamos un ejemplo, sean \(P(x)=3x^4 +2x^2 -x +3 \) y \(Q(x)=-2x³-5x²+x-5\)
\( \begin{array}{ccccc} 3x^4 & &+2x^2 & -x & +3 \\ & -2x^3& -5x^2 & +x & -5 \\ \hline 3x^4 & -2x³& -3x^2 & & -2 \end{array}\)
\(P(x)+Q(x)=3x^4 -2x³-3x^2 -2\)
Otra forma de sumar polinomios es colocarlos en línea y sumar entre sí los monomios semejantes.
Resta
Restar un polinomio es equivalente a sumar el opuesto, es decir, \(P(x)-Q(x) = P(x)+(-Q(x))\) .
Veamos un ejemplo, sean \(P(x)=3x^4 +2x^2 -x +3 \) y \(Q(x)=-2x³-5x²+x-5\), entonces \(-Q(x)=2x³+5x²-x+5\)
\( \begin{array}{ccccc} 3x^4 & &+2x^2 & -x & +3 \\ & 2x^3& +5x^2 & -x & +5 \\ \hline 3x^4 & +2x³& +7x^2 & -2x & +8 \end{array}\)
\(P(x)-Q(x)=3x^4 +2x³+7x^2-2x+8\)
Producto
Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo, luego se suman entre sí los monomios semejantes.
Multipliquemos dos polinomios para ver como se hace \( P(x)=2x^4 -x^3 +3x^2 -x +1 \) y \( Q(x)=-x+3\)
\( \begin{array}{cccccc} & 2x^4 & -x^3 & +3x^2 & -x & +1 \\ & & & & -x & +3 \\ \hline & 6x^4 & -3x^3 & +9x^2 & -3x & +3\\-2x^5 & +x^4 & -3x^3 & +x^2 & -x & \\ \hline -2x^5 & +7x^4 & -6x^3 & +10x^2 & -4x & +3 \end{array}\)
\(P(x) \cdot Q(x) = -2x^5 +7x^4 -6x^3 +10x^2 -4x +3 \)
Observa cómo se multiplican cada monomio de un polinomio por todos los del otro y cómo se colocan los semejantes a la misma altura para poder realizar la suma de forma sencilla.
4. Los polinomios del futuro
Pongamos manos a la obra y practiquemos todo lo aprendido, aquí encontrarás una serie de actividades que seguro que te van a ayudar cuando diseñes tu instalación.
Motus dice ¿Te has equivocado en algo al hacer la actividad?
Cuando queremos aprender algo, lo normal es equivocarse al principio. Fallar forma parte de aprender. ¿Recuerdas cuando montaste en bici por primera vez? ¿o cuando intentabas nadar en el agua? Seguro que al principio no fue fácil, pero cada vez que fallabas, lo intentabas de nuevo. Con cada fallo aprendemos del error y lo mejoramos para la vez siguiente.
Para aprender de tus errores sigue estos consejos:
1. Me doy cuenta de en qué parte he fallado.
2. Busco la forma de mejorar ese error.
3. Lo intento de nuevo.
4. Entiendo que el error es importante para aprender.
No lo olvides: cuando te equivocas una vez, aprendes para el siguiente intento.
Opción A: Ordeno
Opción B: Veamos si dominas los conceptos básicos
Lee atentamente los enunciados y con ayuda de la teoría responde a las siguientes cuestiones.
¡¡No te precipites en las respuestas!!
Retroalimentación
Falso
Dos monomios pueden tener el mismo grado y no poder sumarse por ejemplo $3x²y +5xy²$
Retroalimentación
Verdadero
Para sumar polinomios no importa el grado de cada uno de ellos, eso sí, se suman entre sí los monomios con la misma parte literal.
Retroalimentación
Falso
Eso es necesario para la suma o la resta pero para el producto da igual
Retroalimentación
Falso
No siempre es cierto, por ejemplo si sumamos $P(x)=x⁴+2x-5$ con $Q(x)=-x⁴+x²$ el resultado es $R(x)=x²+2x-5$ que tiene grado 2
Retroalimentación
Verdadero
Toda raíz de un polinomio lo verifica
Retroalimentación
Verdadero
Eso es, a lo sumo hay 5 raíces.
Retroalimentación
Falso
Observa el polinomio $P(x)=x²+1$, ¿puedes encontrar algún número para el que se anule? no porque cualquier número al cuadrado ($x²$) es 0 o mayor que cero si a eso se le suma 1 el resultado será 1 o mayor que 1
Opción C: Operaciones elementales
Considera los siguientes polinomios:
$P(x)=3x²-2x+1$ $Q(x)=-x⁵+3x³-x+2$ $R(x)=x⁴-x²$
Realiza en cada caso la operación que se solicita:
- $P+Q$
- $Q+R-2P$
- $P\cdot (Q+R)$
- $P \cdot Q + P \cdot R$
- $ P + Q \cdot R$
Soluciones
- $P(x)+Q(x)=-x^5 + 3x^3+ 3x^2 - 3x + 3$
- $Q(x)+R(x)-2P(x)=-x^5 + x^4 + 3x^3 - 7x^2 + 3x $
- $P(x)\cdot (Q(x)+R(x))=-3 x^7 + 5x^6 + 6x^5 - 8x^4 + 2x^3 + 7x^2 - 5x + 2$
- $P(x)\cdot Q(x)+P(x)\cdot R(x)=-3 x^7 + 5x^6 + 6x^5 - 8x^4 + 2x^3 + 7x^2 - 5x + 2$
- $ P(x) + Q(x) \cdot R(x)=-x^9 + 4x^7 - 4x^5 + 2x^4 + x^3 + x^2 - 2x + 1$
Opción D: Opero, resuelvo, acierto
Instrucciones
Cada apartado vale 2,5 puntos. Puedes hacer tantas fichas como quieras. Se conservará la puntuación más alta.
Recuerda que para introducir potencias debes usar el símbolo ^ Por ejemplo puedes escribir 2x^3, para introducir $2x³$
Opción E: La clave compartida
Una empresa de diseño de placas fotovoltaicas ha creado un sistema que permite mejorar la producción de sus placas. El sistema está pendiente de patente por lo que se tiene que guardar en un lugar seguro para evitar que otras empresas roben el sistema. Tampoco se fían de dejar en manos de una persona la responsabilidad de la custodia.
Acuerdan que un buen método sería guardar el sistema en una caja fuerte con una clave secreta y entregar a cada uno de los 7 consejeros una información de modo que si se reúnen tres cualesquiera de ellos se pueda conseguir la clave secreta.
¿Conoces algún método que permita esto?
El presidente de la empresa, que es un amante de los polinomios, sabe que por tres puntos cualquiera pasa un polinomio de grado 2. Si entrega a los 7 consejeros 7 puntos de ese polinomio, cogiendo 3 (son los tres consejeros que hacen falta) puede construir nuevamente el polinomio y a partir de ahí obtener la clave secreta. El procedimiento parece que tiene buena pinta, vamos como se puede hacer.
Lo primero será decidir cual es la clave que se desea, supongamos que es 314159, ahora creamos un polinomio de grado 2 cuyo término independiente sea la clave, por ejemplo \(P(x)=5x²-3x+314159\) y asociamos un número a cada uno de los consejeros, por ejemplo 1,2,3,...,7. De este modo al consejero 1 le corresponde \(P(1)=5\cdot 1² -3 \cdot 1 + 314159 = 314161\) y así sucesivamente al consejero \(n\) le corresponde el número \(P(1)=5\cdot n² -3 \cdot n + 3141592\).
Ahora tenemos a siete personas con un número asociado
| Consejero | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| número asociado | 314161 | 314173 | 314195 | 314227 | 314269 | 314321 | 314383 |
¿Cómo recuperaríamos la clave secreta?
Se cogen tres personas al azar por ejemplo 1, 3, 5 y se reconstruye el polinomio a partir de ellos. Como es un polinomio de grado 2 tendría la forma \( P(x)=ax²+bx+c\) tiene que ocurrir que:
\( P(1)=a \cdot 1² +b \cdot 1 +c \Rightarrow a+b+c= 314161 \)
\( P(3)=a \cdot 3² +b \cdot 3 +c \Rightarrow 9a+3b+c= 314195 \)
\( P(5)=a \cdot 5² +b \cdot 5 +c \Rightarrow 25a+5b+c= 314269 \)
Se plantea un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas cuyas soluciones son los coeficientes del polinomio. Una vez que se tiene el polinomio se evalúa en 0 y se obtiene la clave secreta.
Resolver un sistema de tres ecuaciones escapa a este curso por lo que más abajo tienes una herramienta que te ayudará a hacer las operaciones.
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