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4.2. Polinomios
Iniciados en los primeros secretos del álgebra, es el momento de continuar avanzando, vamos a usar estas expresiones combinadas entre sí, obtendremos los polinomios, que serán fundamentales a la hora de describir la mayoría de los parámetros objeto de estudio en nuestro proyecto.
Pero además, te permitirán crear modelos matemáticos que se ajusten a la realidad que tienes que abordar. Verás cuantas aplicaciones tienen.
Lectura facilitada
Nos hemos iniciado en los primeros secretos del álgebra.
Es el momento de continuar avanzando.
Vamos a usar estas expresiones combinadas entre sí
y obtendremos los polinomios,
que serán fundamentales a la hora de describir
la mayoría de los parámetros.
Los parámetros serán objeto de estudio en nuestro proyecto.
Además, te permitirán crear modelos matemáticos
que se ajusten a la realidad que tienes que abordar.
Verás cuantas aplicaciones tienen.
1. Monomios
Un monomio es una expresión algebraica, que como ya sabemos está formada por números a
los que llamaremos coeficientes y letras que se denominan parte literal.
Ejemplos de monomios son: 4x², 7xy²z³, ab³c, \dfrac{2}{3}x³y
Grado de un monomio
Se llama grado de un monomio al número de factores que componen la parte literal
- 4x² = 4x \cdot x, hay dos factores luego tiene grado 2.
- 7xy²z³ = 7x \cdot y \cdot y \cdot z \cdot z \cdot z , en este caso hay 6 factores pon tanto tiene grado 6.
Una forma sencilla de determinar el grado de un monomio es sumar los exponentes de los elementos de la parte literal.
Monomios semejantes
Si dos monomios tiene exactamente la misma parte literal se dice que son semejantes
- 3xy²z³ y -5xy²z³ son semejantes
- 3xy²z³ y -4xy²z² no son semejantes, la parte literal tiene que ser idéntica y en este caso z² \neq z³
Opuesto
El monomio opuesto a uno dado es aquel tal que al sumarlo al primero se anulan. Esto significa que dos monomios opuestos tendrán la misma parte literal y sus coeficientes eran opuestos.
Ejemplos:
- El opuesto de 2x²y es -2x²y
- El opuesto de -4abc³ es 4abc³.
Comprueba que al sumar los monomios opuestos el resultado es 0
Las operaciones básicas de los monomios son:
Suma y resta
Para poder sumar o restar dos o más monomios tienen que ser semejantes, en este caso se deja la misma parte literal y se suman o restan los coeficientes.
4x² + x² = 5x²
3x⁴-5x⁴+x⁴ = -x⁴
2ab³c² -3ab³c²+5ab³c² = 4ab³c²
Producto
Al multiplicar dos monomios se obtiene otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y la parte literal es el producto de los factores que forman las partes literales.
Ejemplos:
- 4ab² \cdot 3abc =12a^2b³c
- \dfrac{1}{2}x³y² \cdot 6 ab = 3x³y²ab
Cociente
Al dividir dos monomios se divide los coeficientes entre sí y los factores de la parte literal entre ellos.
Ejemplos:
- 8x³y²z : 4xy² = 2x²z
- -9ab⁴c³ : 3ab²c = -3b²c²
Apoyo visual
2. Concepto de polinomio
Un polinomio es la suma de dos o más monomios con distinta parte literal. Vamos a trabajar con polinomios con un solo elemento en la parte literal que normalmente notaremos con la letra x.
Ejemplos:
- P(x)=3x⁵-2x²+3
- Q(x)=-x⁶+4x⁵-x²+x
A cada uno de los monomios que componen el polinomio se le llama término, el grado del polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Así en los ejemplos anteriores P(x) tiene grado 5 y Q(x) tiene grado 6.
Apoyo visual
Evaluar un polinomio
Evaluar un polinomio consiste en sustituir la indeterminada, generalmente x, por un valor numérico.
- P(x)=3x²+2x-1 evaluado en x=1 P(1)=3 \cdot 1² +2 \cdot 1 -1 =3+2-1=4
- Q(x)=2x⁵-3x²+4x evaluado en x=-1
Q(-1)=2 \cdot (-1)⁵ -3 \cdot (-1)^2 +4\cdot (-1) =2 \cdot (-1)-3\cdot 1 +4 \cdot (-1) =-2-3+4=-1
Raíz de un polinomio
Se dice que un número real a es una raíz de un polinomio P(x) si al evaluarlo en a se anula el polinomio, es decir, si P(a)=0.
Ejemplos:
- P(x)=2x+4. Observa que x=-2 es una raíz de P porque P(-2)=2 \cdot (-2) +4 =0
- Q(x)=x²-3x+2. En este caso hay dos raíces x=1 y x=2 de Q(x) pues Q(1)=1²-3 \cdot 1 +2=0 y Q(2)=2²-3 \cdot 2 +2=4-6+2=0
3. Operaciones con polinomios
Suma
Para sumar dos o más polinomios sumaremos entre sí aquellos monomios semejantes, para ello podemos ordenar los polinomios de mayor a menor grado situando los monomios semejantes uno sobre otro. Veamos un ejemplo, sean P(x)=3x^4 +2x^2 -x +3 y Q(x)=-2x³-5x²+x-5
\begin{array}{ccccc} 3x^4 & &+2x^2 & -x & +3 \\ & -2x^3& -5x^2 & +x & -5 \\ \hline 3x^4 & -2x³& -3x^2 & & -2 \end{array}
P(x)+Q(x)=3x^4 -2x³-3x^2 -2
Otra forma de sumar polinomios es colocarlos en línea y sumar entre sí los monomios semejantes.
Resta
Restar un polinomio es equivalente a sumar el opuesto, es decir, P(x)-Q(x) = P(x)+(-Q(x)) .
Veamos un ejemplo, sean P(x)=3x^4 +2x^2 -x +3 y Q(x)=-2x³-5x²+x-5, entonces -Q(x)=2x³+5x²-x+5
\begin{array}{ccccc} 3x^4 & &+2x^2 & -x & +3 \\ & 2x^3& +5x^2 & -x & +5 \\ \hline 3x^4 & +2x³& +7x^2 & -2x & +8 \end{array}
P(x)-Q(x)=3x^4 +2x³+7x^2-2x+8
Producto
Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo, luego se suman entre sí los monomios semejantes.
Multipliquemos dos polinomios para ver como se hace P(x)=2x^4 -x^3 +3x^2 -x +1 y Q(x)=-x+3
\begin{array}{cccccc} & 2x^4 & -x^3 & +3x^2 & -x & +1 \\ & & & & -x & +3 \\ \hline & 6x^4 & -3x^3 & +9x^2 & -3x & +3\\-2x^5 & +x^4 & -3x^3 & +x^2 & -x & \\ \hline -2x^5 & +7x^4 & -6x^3 & +10x^2 & -4x & +3 \end{array}
P(x) \cdot Q(x) = -2x^5 +7x^4 -6x^3 +10x^2 -4x +3
Observa cómo se multiplican cada monomio de un polinomio por todos los del otro y cómo se colocan los semejantes a la misma altura para poder realizar la suma de forma sencilla.
4. Los polinomios del futuro
Pongamos manos a la obra y practiquemos todo lo aprendido, aquí encontrarás una serie de actividades que seguro que te van a ayudar cuando diseñes tu instalación.
Motus dice ¿Te has equivocado en algo al hacer la actividad?
Motus dice ¿Te has equivocado en algo al hacer la actividad?
Cuando queremos aprender algo, lo normal es equivocarse al principio. Fallar forma parte de aprender. ¿Recuerdas cuando montaste en bici por primera vez? ¿o cuando intentabas nadar en el agua? Seguro que al principio no fue fácil, pero cada vez que fallabas, lo intentabas de nuevo. Con cada fallo aprendemos del error y lo mejoramos para la vez siguiente.
Para aprender de tus errores sigue estos consejos:
1. Me doy cuenta de en qué parte he fallado.
2. Busco la forma de mejorar ese error.
3. Lo intento de nuevo.
4. Entiendo que el error es importante para aprender.
No lo olvides: cuando te equivocas una vez, aprendes para el siguiente intento.
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