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4.3.2. Ecuación de segundo grado

Rétor dice...

Has visto lo útiles que ha sido las ecuaciones de primer grado. Pero ¿sabías que en nuestro proyecto, no todos los parámetros que vamos a estudiar se ajustan a este tipo de ecuaciones?

Son muchas las variables que se ajustan a ecuaciones de segundo grado. Es el momento de  a conocerlas y descubrir todos sus secretos, verás lo fácil que te resulta resolver este tipo de ecuaciones.

Lectura facilitada

Has visto lo útiles son las ecuaciones de primer grado.

Pero ¿sabías que en nuestro proyecto, 

no todos los parámetros que vamos a estudiar

se ajustan a este tipo de ecuaciones?

Son muchas las variables que se ajustan a ecuaciones de segundo grado.

Es el momento de conocerlas y descubrir todos sus secretos.

Verás lo fácil que te resulta resolver este tipo de ecuaciones.

1. Resolvemos ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es una ecuación en la que el mayor de los términos que la componen es de segundo grado.

Esta ecuación se puede reducir a la forma \(ax²+bx+c=0\).

Para resolver una ecuación de segundo grado se usa la fórmula \(x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b²-4ac}}{2a}\)

Veamos un ejemplo:
Resuelve la ecuación $x²-5x+6=0$

 Identificamos los coeficientes

 $a=1$, $b=-5$ y $c=6$.

 Una vez identificados sustituimos en la fórmula

\(x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b²-4ac}}{2a} \Rightarrow x=\dfrac{5\pm \sqrt{(-5)²-4·1·6}}{2·1} \)

Operamos

\(x=\dfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{2} \Rightarrow x=\dfrac{5\pm 1}{2}\)

Obtenemos dos soluciones


$x_1=\dfrac{5 + 1}{2}=\dfrac{6}{2}=3$           $x_2=\dfrac{5 - 1}{2}=\dfrac{4}{2}=2$

 Comprobamos que las dos soluciones son correctas

Para ello sustituimos en las soluciones en la ecuación original y vemos que la igualdad es cierta.
$x²-5x+6=0 \Rightarrow 3²-5·3+6=0 \Rightarrow 9-15+6=0$, la igualdad es cierta, $x_1=3$ es una solución.
$x²-5x+6=0 \Rightarrow 2²-5·2+6=0 \Rightarrow 4-10+6=0$, la igualdad es cierta, $x_2=2$ es una solución.

Apoyo visual

ecuaciones

Motus dice ¿Has hablado contigo mismo para resolver esta actividad?

No, no eres raro. Es muy frecuente que cuando estamos trabajando hablemos en silencio con nosotros mismos. Es una forma de comprender mejor lo que hacemos y de buscar soluciones a las tareas o actividades.

De hecho, te aconsejo que lo hagas con mucha frecuencia porque te ayudará a:

- Recordar algunos pasos que necesites para realizar la actividad.

- Hacerte preguntas para entender mejor la información.

- Animarte a terminar la actividad, mantenerte concentrado…

- Saber cómo te sientes ante la actividad

Habla contigo mismo y aprenderás mejor.

2. Ecuaciones incompletas

Una ecuación de segundo grado se dice que es incompleta cuando no tiene término de primer grado ($b=0$) o término independiente ($c=0$).

Caso 1

Si $b=0$, entonces la ecuación queda $ax²+c=0$

$ax²+c=0 \Rightarrow ax²=-c \Rightarrow x²=\dfrac{-c}{a} $

    • Si $\dfrac{-c}{a}>0$ entonces hay dos soluciones $x= \pm \sqrt{\dfrac{-c}{a}}$
    • Si $\dfrac{-c}{a}<0$ entonces no hay solución pues no tiene sentido la raíz cuadrada de un número negativo.

Ejemplos:

      • Resuelve la ecuación $3x²-12=0$
        $3x²-12=0 \Rightarrow 3x²=12 \Rightarrow x²=\dfrac{12}{3} \Rightarrow x²=4 \Rightarrow x=\pm \sqrt{4}$. Luego hay dos soluciones $x_1=2$ y $x_2=-2$.
      • Resuelve $5x²+45=0$
        $5x²+45=0 \Rightarrow 5x²=-45 \Rightarrow x²=\dfrac{-45}{5} \Rightarrow x²=-9$ ningún número real al cuadrado puede ser negativo por tanto esta ecuación no tiene solución.

Caso 2

Si $c=0$, entonces la ecuación queda $ax²+bx=0$

$ax²+bx=0 \Rightarrow x(ax+b)=0$ cuando el producto de dos factores es 0 es porque alguno de ellos es 0, por tanto o $x=0$, sería la primera solución, o $ax+b=0$, en este caso despejamos $x$ $ax+b=0 \Rightarrow ax=-b \Rightarrow x=\dfrac{-b}{a}$ que sería la segunda solución.
Observa que en este caso la ecuación siempre tiene solución y que una solución es $x=0$

Ejemplo:

Resuelve la ecuación $3x²+2x=0$
$3x²+2x=0 \Rightarrow x(3x+2)=0$, entonces o $x=0$ o $3x+2=0 \Rightarrow 3x=-2 \Rightarrow x=\dfrac{-2}{3}$
Luego las soluciones son: $x_1=0$ y $x_2=-\dfrac{2}{3}$

3. Soluciones de una ecuación de segundo grado

Soluciones de una ecuación de segundo grado

Al interior de la raíz se le denomina discriminante ($ \Delta = b²-4ac $) y condiciona el número de soluciones de la ecuación.

  • Si $ \Delta < 0 $ la ecuación no tiene solución porque no tiene sentido \( \sqrt{b²-4ac}\) cuando \( b²-4ac<0 \)
  • Si $ \Delta = 0 $ la ecuación tiene una solución $x=\dfrac{-b}{2a} $
  • Si $ \Delta > 0 $ hay dos soluciones \(x_1=\dfrac{-b+ \sqrt{b²-4ac}}{2a}\) y \(x_2=\dfrac{-b- \sqrt{b²-4ac}}{2a}\)

Ejemplos

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación \(x²+4x+10=0\)?  En esta ecuación \(a=1\), $b=4$ y \(c=10\)
$\Delta = b²-4ac=4²-4 \cdot 1 \cdot 10 =16-40=-24 <0 $. La ecuación no tiene solución.

¿Tienen solución la ecuación \( 2x²-12x+10=0\)? $a=2$, $b=-12$ y $c=10$.
$\Delta = b²-4ac=(-12)²-4 \cdot 2 \cdot 10 =144-80=64 >0 $. Luego hay dos soluciones, como tenemos la fórmula que nos permite su cálculo vamos a determinarlas.
\(x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b²-4ac}}{2a} \Rightarrow x=\dfrac{12\pm \sqrt{(-12)²-4\cdot 2 \cdot 10}}{2 \cdot 2} \Rightarrow x=\dfrac{12\pm \sqrt{64}}{4} \Rightarrow x=\dfrac{12\pm 8}{4} \)
\(x_1=\dfrac{12+8}{4}=\dfrac{20}{4}=5\)                          \(x_2=\dfrac{12-8}{4}=\dfrac{4}{4}=1\)

¿ \(x²+1=2x\) tiene solución?
La ecuación en este caso no está en el formato estándar con el que hemos trabajado en los ejemplos anteriores, pero es fácil  pasarlo a ese formato \(x²+1=2x \Rightarrow x²-2x+1=0\), identificamos los coeficientes de los términos de cada grado $a=1$, $b=-2$ y $c=1$.
$\Delta = b²-4ac=(-2)²-4 \cdot 1 \cdot 1 =4-4=0 $ por tanto hay una solución, vamos a calcularla.
\(x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b²-4ac}}{2a} \Rightarrow x=\dfrac{2\pm \sqrt{(-2)²-4\cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \Rightarrow x=\dfrac{2 \pm \sqrt{0}}{2}=1 \)

3. Paraboleamos

Rétor dice...

No todas las situaciones que nos encontramos se pueden resolver con ecuaciones de primer grado, hay otro tipo de problemas que requieren de operaciones diferentes.

Vamos a ver como se resuelven ecuaciones de segundo grado que se caracterizan porque el polinomio sobre el que se opera es de grado dos.

Opción A: Distingue entre ecuaciones completas e incompletas

Coloca cada ecuación donde corresponda

Opción B: Relaciona la ecuación con el número de soluciones

Opción C: Reflexiona

TriánguloSe pretende construir un soporte para las placas fotovoltaicas a base de piezas encajables que formen un  triángulo rectángulo. Estas piezas no se pueden cortar pues entonces no podrían encajar unas en otras. Para que tenga cierta estabilidad se desea colocar una pieza más en el lado que hace de base que en el que da la altura y para conseguir la inclinación óptima se tiene que poner en el lado inclinado una pieza más que en la base.

  • ¿Es posible encontrar una estructura con estas características? Si es así cuantas piezas serían necesarias
  • Al resolver el problema, ¿te has encontrado con alguna solución que hayas tenido que rechazar? Si es así ¿por qué la has rechazado?

Opción D: Muestra tu dominio operando

  • Introduce las soluciones para cada una de las ecuaciones.
  • Pista: en este caso, todas las ecuaciones tienen dos soluciones enteras.
  • Cada respuesta correcta vale 2.5 puntos.
  • Pulsa el botón "Corregir" para obtener tu calificación, y "Hacer otro" para probar con otras ecuaciones diferentes.
  • Podemos intentar tantas fichas como queramos. Se conserva la calificación más alta y los ejercicios resueltos.

https://www.geogebra.org/m/XPHP9ZQ7 (Ventana nueva)

Javier%20Cayetano%20Rodr%EDguez,https%3A//ggbm.at/2737137,Ecuaciones%20de%20Segundo%20Grado%20y%20operaciones,1,Autor%EDa

Opción E: Investiga

Utiliza los recursos que tengas a tu alcance( libros de texto, internet, ...) para encontrar tres problemas reales en los que tengan que utilizar las ecuaciones de segundo grado para su resolución.

  • ¿En qué contextos has encontrado esos problemas?
  • ¿Sería posible resolver estos problemas sin utilizar las ecuaciones de segundo grado?

Una vez identificados esos problemas copia los enunciados en una hoja e intercámbialos con un compañero/a.

Resuelve los problemas que te ha pasado tu compañero, si necesitas ayuda acude a él para que te apoye en la resolución, haz lo mismo con la persona a la que has pasado los tuyos.