Para ir calentando motores, vamos a comenzar con las ecuaciones más sencillas de resolver, las de primer grado. verás como pronto te conviertes en un experto resolviendo este tipo de ecuaciones.
Serán muchas las situaciones que puedas describir en tu proyecto, usando estas sencillas herramientas matemáticas.
Lectura facilitada
¡Calentamos motores!
Vamos a comenzar con las ecuaciones más sencillas de resolver:
las ecuaciones de primer grado.
Verás como pronto te conviertes en un experto
resolviendo este tipo de ecuaciones.
Utilizando estas sencillas herramientas matemáticas,
van a ser muchas las situaciones que puedas describir en tu proyecto.
1. Ecuación de primer grado
Una ecuación de primer grado es una ecuación que se puede reducir a la forma \(ax=b\), finalmente \(x=\dfrac{b}{a}\), esta sería la solución.
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución, por ejemplo \(2x+1=13\) y \(3x-6=2x\) tienen por solución \(x=6\), luego son equivalentes.
Este concepto es importante porque lo que vamos a hacer es transformaciones en las ecuaciones originales, obteniendo ecuaciones semejantes, para llegar a una ecuación de la forma \(ax=b\) que es fácil de resolver. Observa que el objetivo final es despejar la incógnita (\(x\)) y dejarla sola en un miembro.
¿Qué transformación podemos hacer para convertir una ecuación en otra equivalente?
Sumar o restar la misma expresión en ambos miembros de la igualdad, equivalente a esto es pasar de un miembro a otro sumando lo que está restando y restando lo que está sumando. \(x-3=9 \rightarrow x-3+3=9+3 \rightarrow x=12\) o bien \(x-3=9 \rightarrow x=9+3 \rightarrow x=12\)
Multiplicar o dividir la misma expresión en ambos miembros de la igualdad \(\dfrac{x+1}{3}+7=3x+2 \rightarrow 3\left(\dfrac{x+1}{3}+7\right)=3(3x+2) \rightarrow x+1+21=9x+6\) Ahora pasamos al otro miembro las expresiones que nos convengan para dejar los términos en \(x\) en un miembro y el resto en otro. \(x+1+21=9x+6 \rightarrow x-9x=6-22 \rightarrow -8x=-16 \rightarrow x=\dfrac{-16}{-8}=2\)
Lectura facilitada
Una ecuación de primer grado
es una ecuación que se puede reducir
a la forma ax=b, finalmente x=ba, esta sería la solución.
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes
si tienen la misma solución, por ejemplo
2x+1=13 y 3x−6=2x tienen por solución x=6.
Estas ecuaciones son equivalentes.
Este concepto es importante porque vamos a hacer
transformaciones en las ecuaciones originales,
obteniendo ecuaciones semejantes,
para llegar a una ecuación de la forma ax=b que es fácil de resolver.
Observa que el objetivo final es despejar la incógnita (x)
y dejarla sola en un miembro.
¿Qué transformación podemos hacer
para convertir una ecuación en otra equivalente?
Sumar o restar la misma expresión
en ambos miembros de la igualdad.
Equivalente a esto es pasar de un miembro a otro
sumando lo que está restando y restando lo que está sumando.
x−3=9→x−3+3=9+3→x=12 o bien x−3=9→x=9+3→x=12
Multiplicar o dividir la misma expresión
en ambos miembros de la igualdad
x+13+7=3x+2→3(x+13+7)=3(3x+2)→x+1+21=9x+6
Ahora pasamos al otro miembro
las expresiones que nos convengan
para dejar los términos en x en un miembro y el resto en otro.
x+1+21=9x+6→x−9x=6−22→−8x=−16→x=−16−8=2
Apoyo visual
2. Cómo resolver una ecuación de primer grado
Si hay denominadores, los eliminamos. Para ello multiplicamos ambos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores.
Una vez eliminados los denominadores, quitamos los paréntesis si los hubiera. Pasar lo términos con \(x\) a un miembro y el resto al otro y simplificar todo lo posible. De este modo tiene que quedar \(ax=b\).
Despejamos \(x\), obteniéndose así la solución de la ecuación. Vemos si hemos resuelto correctamente la ecuación para ello sustituimos en la ecuación original la incógnita por la solución y se tiene que obtener una identidad. Si esto no ocurre nos hemos equivocado resolviendo la ecuación y hay que volver a repetir los pasos.
Veamos con un ejemplo como se pueden seguir estos pasos
\(\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-3}{4}=\dfrac{2(x+2)}{7}\)
1. Al haber denominadores calculamos el \(m.c.m(2,4,7)=28\). Multiplicamos ambos miembros por 28. \(28\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-3}{4}\right)=28\left(\dfrac{2(x+2)}{7}\right)\) \(14x-7(x-3)=8(x+2)\)
2. Quitamos los paréntesis \(14x-7(x-3)=8(x+2) \Rightarrow 14x-7x+21=8x+16\)
3. Pasamos los términos en \(x\) a un miembro y el resto al otro. \(14x-7x+21=8x+16 \Rightarrow 14x-7x-8x=16-21 \Rightarrow -x=-5\)
4. Despejamos \(x\) \( x=\dfrac{-5}{-1}=5\) Solución de la ecuación \(x=5\).
5. Comprobamos la solución, sustituyendo la solución en la incógnita. \(\dfrac{5}{2}-\dfrac{5-3}{4}=\dfrac{2(5+2)}{7} \Rightarrow \dfrac{5}{2}-\dfrac{2}{4}=2 \Rightarrow \dfrac{10}{4}-\dfrac{2}{4}=2 \Rightarrow \dfrac{8}{4}=2\) La solución es correcta.
Lectura facilitada
1. Si hay denominadores, los eliminamos.
Para ello multiplicamos ambos miembros
por el mínimo común múltiplo
de todos los denominadores.
2. Una vez eliminados los denominadores,
quitamos los paréntesis si los hubiera.
Pasar lo términos con x a un miembro y el resto al otro
y simplificar todo lo posible.
De este modo tiene que quedar ax=b.
3. Despejamos x, obteniéndose así la solución.
Vemos si hemos resuelto correctamente la ecuación.
Para ello sustituimos en la ecuación original
la incógnita por la solución
y se tiene que obtener una identidad.
Si esto no ocurre nos hemos equivocado
y hay que volver a repetir los pasos.
Veamos con un ejemplo como se pueden seguir estos pasos
x2−x−34=2(x+2)7
1. Al haber denominadores calculamos el m.c.m (2,4,7)=28.
Multiplicamos ambos miembros por 28.
28(x2−x−34)=28(2(x+2)7)
14x−7(x−3)=8(x+2)
2. Quitamos los paréntesis
14x−7(x−3)=8(x+2)⇒14x−7x+21=8x+16
3. Pasamos los términos en x a un miembro y el resto al otro.
14x−7x+21=8x+16⇒14x−7x−8x=16−21⇒−x=−5
4. Despejamos x
x=−5−1=5 Solución de la ecuación x=5.
5. Comprobamos la solución, sustituyendo la solución en la incógnita.
52−5−34=2(5+2)7⇒52−24=2⇒104−24=2⇒84=2 La solución es correcta.
3. Nos ejercitamos con las funciones lineales
La ecuaciones son herramientas que vamos a utilizar y que nos facilitan la resolución de problemas que se nos plantean en nuestra vida cotidiana. En estas actividades vas a practicar todo lo aprendido para luego aplicarlo en tu diseño..
Motus dice ¿Cuántas veces te has distraído al hacer la actividad?
Seguro que cuando estabas haciendo esta actividad ha ocurrido algo que te ha hecho parar. Puede que alguien pegase a la puerta, que el profe haya hablado con alguien, que hayas oído un ruido en la calle, que te hayas acordado de algo que hiciste ayer…
Cuando aprendemos estamos rodeados de cosas que nos pueden distraer. Al volver a la actividad te cuesta más trabajo centrarte.
Por eso es importante que aprendas a controlar tus distracciones. Te doy algunos consejos:
- Concéntrate bien en la actividad que tienes que realizar.
- Si tiene muchos pasos o es muy difícil, haz descansos cortos para descansar.
- Si te molesta lo que hay a tu alrededor trata de ver si puedes reducirlo: cierra las ventanas, pide silencio.
- Piensa que si te distraes tardarás más tiempo en terminar.
Opción A: Relaciona la solución con la ecuación correspondiente
En esta actividad se te pide que relaciones las ecuaciones con sus soluciones. Una forma sencilla de hacerlo es sustituir la solución en la ecuación y ver que la ecuación se convierte en una igualdad. Ten paciencia y ve realizando las correspondientes comprobaciones.
Instrucciones Escribiremos cada solución en la casilla correspondiente. Pulsaremos "corregir" una vez que las tengamos todas. Cada respuesta correcta vale 2,5 puntos. Los fallos no penalizan. Los datos de cada enunciado son diferentes en cada ficha. Pulsando en "hacer otro" generamos una ficha diferente. Podemos hacer tantas fichas como queramos. Se conservará la puntuación más alta conseguida.
La empresa SOLOSOL se dedica a la fabricación de paneles solares y quiere lanzar un nuevo producto. Si pone un precio muy elevado la demanda será baja y por tanto no venderá su producto pero si lo pone muy bajo venderá muchos pero ganará poco. Encarga a una consultora un estudio de mercado para conocer el precio óptimo al que puede vender su producto, la empresa le remite dos tablas con los resultados, una para la oferta y otra para la demanda del mercado.
Oferta
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1
5
10
15
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Precio (unidad)
30
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Demanda
Cantidad
1
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10
15
20
Precio (unidad)
880
800
700
600
500
La empresa tiene ahora que buscar la cantidad que tiene que fabricar y el precio de venta. Para ello tiene que construir las funciones de oferta y demanda pero no tienen muy claro cómo hacerlo ¿puedes ayudarles a determinar esas funciones?
A partir de las tablas anteriores construye las expresiones algebraicas de dos funciones lineales que explican los datos de esas tablas. Te ayudaría la representación gráfica de las dos funciones, puedes hacerlo utilizando las tablas que tienes o con alguna aplicación como GeoGebra.
Una vez que se tienen las funciones se puede determinar el punto de equilibrio, el punto donde se encuentran las dos funciones. Determínalo e informa a la empresa de cómo tiene que proceder
