4.3. Ecuaciones

Igualdad

Una igualdad es un una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igual (\=\), son igualdades:

• • \(x+y=3\)
  • \(x²+2ax+a²=(x+a)²\)
  • \(x²+3x-2=3x+2\)

Identidad

Una identidad es una igualdad que siempre es cierta, independientemente de los valores por los que se sustituyan las indeterminadas.

Ejemplos:

• • • \((a-b)(a+b)=a²-b²\)
      \((a-b)(a+b)=a²+ab-ba-b²=a²-b²\), la igualdad es cierta para cualquier valor que se le de a \(a\) o \(b\)
      Vamos a verlo con un valor cualquiera para \(a=3\) y \(b=-2\)
      \((3-(-2))(3-2)=5 \cdot 1 =5 \), por otro lado \(3²-(-2)^2=9-4=5\).
      Puedes probar cambiado \(a\) y \(b\) por los números que desees que la igualdad será cierta siempre.
    • \((x+y)\cdot z = x \cdot z + y \cdot z \). Esta igualdad también es una identidad, prueba que es cierta asociado los valores que quieras a las letras.

Dentro de las identidades que podemos encontrar hay tres que destacan y que aparecen mucho en álgebra, son las llamadas identidades notables:

• • • \( (a+b)²=a²+2ab+b² \)
    • \( (a-b)²=a²-2ab+b² \)
    • \((a-b)(a+b)=a²-b²\)

Ecuación

Una ecuación es una igualdad que no siempre es cierta, es cierta para unos valores en concreto.

Observa la siguiente igualdad \(x+4=7\) ¿es cierta para cualquier valor que le demos a \(x\)? A simple vista se ve que no porque si \(x=1;\) \(1+4 \neq 7\). Luego esta expresión no es una identidad, ¿hay algún valor que podamos dar a \(x\) para que la igualdad sea cierta? Se puede ver que si \(x=3\) se tiene que \(3+4=7\).

Resolver una ecuación consiste en determinar los valores para los que la igualdad es cierta, a estos valores se les llama solución de la ecuación.

Hay distintos tipos de ecuaciones, nosotros nos vamos a centrar en:

• • • Ecuaciones de primer grado: el mayor grado de la incógnita es 1 ( \(2x+3=x-5\), \(\dfrac{x+2}{3}+5=2x-3\))
    • Ecuaciones de segundo grado: el mayor grado de la incógnita es 2 ( \(3x²-5x=2x²-6\), \(x+2=-5x²+4x-1\) )