Tablas

Dependencia funcional mediante tablas

Una forma de recaudar dinero es elaborar figuras artesanalmente que luego se pueden vender en un mercadillo. Un grupo de alumnos decide ponerse manos a la obra y  crear abalorios con esta finalidad. Irene va a hacer collares que venderá a 2 euros la unidad y quiere realizar una estimación de de lo que va a ingresar, para ello crea una tabla que relaciona el número de collares que fabrica con los ingresos que tiene.

Como se puede observar hay una relación entre las dos magnitudes de modo que si se conoce una de ellas se puede conocer el valor de la otra, así si Irene ingresa 30€ es porque ha vendido 15 collares y si vende 25 collares ingresará 50€. Hay una dependencia funcional entre los collares y los ingresos.  Esta dependencia se puede expresar en formato de tabla.

Juan decide fabricar anillos de latón, al igual que Irene crea una tabla para conocer sus ingresos.

 A partir de la tabla se puede determinar que hay una relación directa entre los anillos fabricados y los ingresos obtenidos, se tiene una dependencia funcional entre ambas magnitudes.

Tablas y expresión analítica

Creación de la expresión analítica a partir de una tabla de valores

Tomando como referencia las tablas anteriores cabe preguntarse si se puede encontrar una expresión que permite relacionar las dos magnitudes.

Como con la venta de cada collar se ingresan 2€, si llamamos \(x\) al número de collares que se venden e \(y\) a los ingresos que Irene obtiene se puede observar que \(y=2x\), esta expresión permite relacionar las dos magnitudes (variables). 

De este modo se pueden conocer los ingresos para cualquier cantidad que se venda y saber lo que se ha vendido si se conocen los ingresos.

Si Irene vende 35 collares, los ingresos serán \(y=2\cdot 35=70\), análogamente si no ha ido controlando los collares que ha vendido pero al final de la jornada tiene 98€, entonces \(98=2\cdot x \rightarrow x=\dfrac{98}{2}=49\), luego ha vendido 49 collares.

Si nos fijamos en la tabla con los datos de la venta de anillos de Juan. 

Si se venden dos anillos por 3€, cada anillo costará 1,5€, podemos observar que esta misma relación se mantiene con el resto de valores de la tabla. Llamando \(x\) al número de anillos e \(y\) a los ingresos, se tiene que \(y=1,5x\), al igual que anteriormente se pueden inferir ingresos a partir del número de anillos y se puede conocer el número de anillos que se han vendido si se cuenta con los ingresos.

Las expresiones analíticas permiten expresar de forma sencilla la relación existente entre dos variables.

Expresión analítica

Función de proporcionalidad

Las funciones obtenidas anteriormente a partir de tablas muestran una proporcionalidad entre las dos variables, a esta función se le llama función de proporcionalidad y su expresión analítica es \(y=mx\) donde m es la constante de proporcionalidad, también se puede expresar de la forma \( f(x)=mx\).

A \(m\) se le llama pendiente de la función y puede tomar valores positivos en el caso en que la proporcionalidad sea directa o negativos si es inversa.

Función lineal

La madre de Irene propone otra forma de colaborar, ella posee un comercio de electrónica, cada vez que realice una venta con valor superior a 50€ aportará 1€ que guardará en una hucha, cuesta 50 céntimos y  que se compra con la primera aportación. 

Tras la primera venta habrá en la hucha 50 céntimos pues los otros 50 se han dedicado a la compra de la hucha, tras 2 ventas habrá 1,5€, después de 3 ventas 2,5€ y así se puede ir llenando la hucha. ¿Habrá una expresión que relaciona el número de ventas con valor superior a 50€ con la recaudación para colaborar?

Se puede esperar que en la hucha habrá un euro por cada venta a lo que hay que restar 50 céntimos que se han dedicado a la compra de la hucha. Esto se puede expresar de la forma \(y=x-0,5\), siendo \(y\) la recaudación (en euros) y \(x\) el número de ventas. Esta sería la expresión que relaciona la aportación de la tienda en función de sus ventas.

A una expresión de la forma \(y=mx+n\) se la conoce como función lineal. Al igual que en el caso de la función de proporcionalidad \(m\) es la pendiente y \(n\) se conoce como ordenada en el origen. 

La función de proporcionalidad es un caso particular de función lineal en el que la ordenada en el origen (\(n\)) es nula.

Ecuación explícita

Las expresiones que hemos visto anteriormente muestran la función lineal dada en forma explícita, la variable dependiente (y) está despejada en un miembro \(y=mx+n\)
De esta forma se obtiene el valor de la variable dependiente de forma inmediata a partir de cualquier valor de la variable independiente.

Ecuación explícita conocidos un punto y la pendiente
Si se conoce un punto de la función y su pendiente se puede hallar la ecuación explícita.
Ejemplo:
Determina la la ecuación explícita de la recta que pasa por \((1,2)\) y tiene pendiente \(m=-1\). 
La forma de la ecuación explícita es \(y=mx+n\), como \(m=-1\) entonces \(y=-x+n\), al pasar por el punto \((1,2)\) cuando \(x=1 \; y=2\). Sustituimos en la ecuación \(2=-1+n \rightarrow 3=n\) luego la ecuación explícita es \(y=-x+3\).

Ecuación explícita conocidos dos puntos
Ejemplo:
Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos \(A(1,2)\) y \(B(0,3)\)
Como la recta pasa por los dos puntos, estos tienen que verificar la ecuación \(y=mx+n\), sustituyendo se tiene:
\( \left\{ \begin{array}{l} 2=m \cdot 1 +n \\ 3=m \cdot 0 +n \end{array} \right. \) si nos fijamos en la segunda ecuación se tiene que \( n=3\), sustituyendo en la primera ecuación \(2=m+3 \rightarrow m=2-3=-1\). Luego la ecuación explícita de la recta que pasa por \(A\) y \(B\) es \(y=-x+3\).

Ecuación punto-pendiente

Si se conoce un punto \(P(x_0,y_0)\) y la pendiente \(m\),  la función se puede expresar como \(y-y_0=m(x-x_0)\).

Ejemplo: Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por\( P(1,2)\) y tiene pendiente \(m=3\), entonces basta con sustituir en la fórmula anterior para obtener la ecuación solicitada \(y-2=3(x-1)\). 

Si tenemos la ecuación punto-pendiente se puede pasar a la explícita despejando la variable dependiente \(y\), en el ejemplo anterior \(y-2=3(x-1) \rightarrow y=3x-3+2 \rightarrow y=3x-1\).

Ecuación implícita

En ese caso todos los elementos se pasan a un miembro quedando igualado a 0, su expresión queda \(ax+by+c=0\)

•   \(y=2x+5 \rightarrow 2x-y+5=0\)
•   \(y=-\dfrac{1}{3}x-2 \rightarrow y+2=-\dfrac{1}{3}x \rightarrow 3y+6=-x \rightarrow x+3y+6=0 \)

Paso de ecuación implícita a explícita

• \(3x+2y-4=0 \rightarrow 2y=-3x+4 \rightarrow y=\dfrac{-3x+4}{2} \rightarrow y=-\dfrac{3}{2}x+2\)
• \(2x-y+1=0 \rightarrow y=2x+1\)