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4.5. Funciones y gráficas

Diccionario

Magnitud

Espesor

Definición

Toda propiedad de los cuerpos que se puede medir: temperatura, velocidad, masa, peso, …

Ejemplo

¿Cuál es la magnitud de esa pelota?

Representaciones gráficas

Representación Gráfica

Definición

Representación de unos ejes de coordenadas de los pares ordenados en una tabla.

Ejemplo

Vamos a observar la siguiente representación gráfica.

Valor numérico

Valor numérico

Definición

Es el valor obtenido al sustituir las variables por números y desarrollar las operaciones.

Ejemplo

Calcula el valor distancia en la siguiente variable.

Rétor dice...

Con las progresiones geométricas has acabado el estudio de las sucesiones, las cuales te van a resultar muy útiles para el proyecto solidario. Queremos darte más herramientas matemáticas para que construyas un gran proyecto, la causa lo merece. Por eso, en las siguientes páginas vas a trabajar con funciones y gráficas, ambos conceptos te van a ser de gran ayuda, por ejemplo, para organizar bien todo el dinero recaudado. Serán fundamentales para llevar a buen término el proyecto. ¿Quieres comprobarlo?

1. ¿Qué es una función?

Antes de empezar

Como irás  viendo, vamos a necesitar realizar muchas representaciones gráficas a lo largo de esta unidad. 

Para ello es muy importante que tengas en cuenta que los valores de la variable independiente (x), se representan en el eje horizontal o eje de abscisas, y que la variable dependiente (y), se representa en el eje vertical o eje de ordenadas.

Observa el siguiente ejemplo:

Ejes 

Observa que el valor izquierdo de cada punto corresponde con el valor de la variable x y el valor derecho corresponde con el valor de la variable  y. De esta forma:

  • Para representar el punto A, te tienes que desplazar una unidad a la derecha en el eje x y dos unidades hacia arriba en el eje y.
  • Para representar el punto C, te tienes que desplazar dos unidades a la izquierda y una unidad hacia arriba.
  • Para representar el punto E, te tienes que desplazar cuatro unidades a la izquierda y una unidad hacia abajo.

.

.

.

.

Concepto de variable

Una variable matemática expresa el valor numérico que tiene una magnitud. Por ejemplo:

Una pelota tarda en caer al suelo 5 segundos    
Estamos indicando que la variable tiempo tiene un valor de 5 segundos.

Justo cuando lanzamos la pelota, el tiempo empieza en cero segundos hasta llegar a cinco. Es decir, el valor de la variable tiempo  ha ido cambiado de 0 a 5.

 ...

.....

.

Juan recorre 2 kilómetros cada día para ir al trabajo.
Estamos indicando que la variable distancia (o espacio) tiene un valor de 2 Km.

En el segundo ejemplo, la distancia ha ido aumentando de 0 Km a 2 Km. También ha cambiado.

 ..

 ...

....

...

Se llaman variables porque pueden variar o cambiar su valor.

¿Qué es una función?

Las funciones relacionan dos variables para explicar alguna situación.

Observa los siguientes ejemplos:

  • La longitud de la sombra de un árbol a medida que pasan las horas del día. 

        Esta situación se podría representar por una función que relacione las variables tiempo y longitud.

  • La temperatura a lo largo de un día.

         Esta situación se podría representar por una función que relacione las variables temperatura y tiempo.

  • El precio de un artículo depende de la cantidad que compremos.

        Esta situación se puede describir por una función que relacione las variables precio y peso si hablamos de cantidad de fruta o las variables precio y número de ordenadores que compro.

En esta relación que establecen las funciones, siempre una variable depende de otra.

Ejemplo

  • Al amanecer hace más frio que a medio día.
    En este ejemplo, la temperatura cambia a medida que aumentan las horas. 

         Por tanto, la temperatura depende del tiempo.

        En este caso, a la temperatura  se le llama variable dependiente y al tiempo variable independiente.

Cuando se trabaja con funciones es fundamental identificar el tipo de variables que relaciona la función y cuál de ellas es la independiente y cuál la dependiente.

Puedes verlo de esta forma:

La variable independiente es la “causa” que produce un “efecto” y la variable dependiente representa el “efecto”.

Compro más manzanas, tengo que pagar más dinero. 

Variable independiente: “Cantidad de manzanas que compro”, variable dependiente: “Cantidad de dinero pagado”

Generalmente, a la variable independiente se le suele representar por x y a la variable dependiente por y.

“PARA CADA VALOR DE X UN SOLO VALOR DE Y”

Es importante que sepas que todas las relaciones que podemos hacer entre variables son una función matemática.

La condición necesaria para que una relación entre dos variables sea función, es que se:

A cada valor de x solo le corresponde un único valor de y.

Ejemplo:

La temperatura a las doce de la mañana es de 15ºC.

Esta relación sí es una función. A la variable independiente tiempo, le corresponde el valor 12 horas y a la variable dependiente, temperatura, le corresponde el único valor de 15ºC. Puedes verlo mejor en la siguiente representación:

¿Cuándo no es una función?

En un grupo de amigos de un instituto, las edades están entre 14 y 16 años.

En este ejemplo la variable edad, que tiene un valor de 14,15 y 16 años, tiene varios  valores, en concreto con 14 años hay 2 alumnos, con 15 años hay 3 alumnos y con 16 años hay un alumno. Como puedes observar, en este caso hay varios valores de y (Nº de Alumno), para un mismo valor de x (Edad del alumnado).

      

En este caso decimos que esta relación no es una función.

Otro ejemplo de No función:

Observa como todos los valores de x, tienen dos valores de y, por tanto, no es función.

Escribimos la función de manera formal

Es posible que encuentres en libros o en internet que, cuando se habla de función, aparece representada de esta forma:. \(y=f(x)\)  

Esto quiere decir que la variable y es función de la variable x. En otras palabras, los valores la variable y dependen de los valores de la variable x.

Ejemplos:

\(y=f(x)=x+1\)

\(y=f(x)=x^2+3x-1\)

\(y=f(x)=\dfrac{1}{x}\)

Las expresiones anteriores reciben el nombre de expresión analítica y como verás más adelante son una de las forma de representar una función.

Mediante un enunciado

Representación Gráfica

Definición

Representación de unos ejes de coordenadas de los pares ordenados en una tabla.

Ejemplo

Vamos a observar la siguiente representación gráfica.

Espesor

Definición

Toda propiedad de los cuerpos que se puede medir: temperatura, velocidad, masa, peso, …

Ejemplo

¿Cuál es la magnitud de esa pelota?

Valor numérico

Definición

Es el valor obtenido al sustituir las variables por números y desarrollar las operaciones.

Ejemplo

Calcula el valor distancia en la siguiente variable.

2. Formas de expresar una función

Mediante una tabla

Reflexiona sobre el siguiente ejemplo.

Un ordenador cuesta 500 euros, vamos a construir una tabla que relacione el precio que hay que pagar con el número de ordenadores que se compran.

Número de ordenadores Precio a pagar
1 500
2 1000
3 1500
4 2000
5 2500
..... .....

Como ves, la información del enunciado lo podemos expresar mediante una tabla que relaciona las variables número de ordenadores y precio. 

En este ejemplo, la variable independiente sería el Número de ordenadores y la variable dependiente el Precio a pagar. Observa como para cada valor de la variable independiente, sólo existe un único valor de la variable dependiente.

Por tanto se puede afirmar que la relación establecida en la tabla es una función.

Mediante una gráfica

Representando en unos ejes cartesianos los datos de la tabla anterior, se obtiene la siguiente forma de expresar una función.

La gráfica:

Mediante una ecuación

La última forma de expresar la función es mediante una ecuación, también se le puede llamar expresión analítica.

La ecuación va a relacionar la variable dependiente con la independiente, y dando valores a está última, se puede construir la tabla que te permitirá representar la gráfica.

En nuestro ejemplo de la compra de ordenadores, la ecuación sería: \( P= 500·N \) , dónde P es el precio que pagamos por el número de ordenadores que compramos que se representa por N.

Observa como dando valores a N, se obtienen los valores de P:

  • Si compro un ordenador, N=1, luego: \( P= 500·1=500 \)
  • Si compro dos ordenadores, N=2, luego: \( P= 500·2=1000 \)
  • Si compro tres ordenadores, N=3, luego: \( P= 500·3=1500 \)
  • Si compro cuatro ordenadores, N=4, luego: \( P= 500·4=2000 \)
  • Si compro cinco ordenadores, N=5, luego: \( P= 500·5=2500 \)

En realidad si lo piensas, llevas toda la vida utilizando expresiones analíticas de funciones. Por ejemplo cuando utilizas la expresión para calcular el área de un rectángulo.

Rectángulo

La función A(x) relaciona la variable área del rectángulo con la altura del mismo. La expresión \(A(x)=5·x\) representa el área de todos los rectángulos que tiene base 5 cm.

Mediante un enunciado

Otra forma de expresar una función es describiéndola con palabras.

Se trata de mediante un enunciado, destacar los aspectos mas relevantes de una gráfica para, a partir de ella, poder construir una tabla o directamente la función.

Ejemplo:

Se hace un estudio de la variación de temperatura durante 24 horas en una ciudad. Dicha variación se puede describir de la siguiente manera:

El primer registro de temperatura se hace aproximadamente a la una de la madrugada, a esta hora en la ciudad hay 2,5 ºC aproximadamente. A las dos de la madrugada la temperatura es de 5ºC para volver a bajar a 2,5 ªc a las 3 de la madrugada. A partir de esa hora la temperatura comienza a aumentar hasta los 15ºC, valor que se alcanza a las 12 del medio día. Hasta las 14 horas, la temperatura se mantiene constante. Desde las dos de a tarde hasta las diez de la noche, la temperatura desciende hasta los 5ºC, valor que mantiene hasta las doce de la noche.

Puedes ver la gráfica que representa a la función descrita en el enunciado a continuación: