Ya has visto que en el estudio matemático de nuestro esfuerzo solidario se necesita manejar cantidades que van colocadas en orden. Son las sucesiones.
Trabajaremos ahora esa idea, viendo qué son los términos de una sucesión, cómo se construyen a partir de una fórmula o algunos casos particulares muy famosos.
Así estarás en mejores condiciones para completar el reto final.
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Una sucesión es un conjunto de números reales que están escritos en orden, de modo que se puedan numerar sus posiciones: primero, segundo, tercero…
Ejemplos: a) 1, 3, 5, 7, 9, 11… b) 4, 8, 12, 16, 20… c) 1, 3, 9, 27, 81, 243…
Se llaman términos a los números que forman la sucesión y se suelen designar mediante una letra con subíndice. El primer término es \(a_1\), el segundo es \(a_2\), el tercero, \(a_3\)... El subíndice indica el lugar de cada término en la sucesión.
En cada caso particular, los términos de la sucesión son ciertos números reales (aunque también pueden ser letras o símbolos especiales).
En el ejemplo a) de antes, 1, 3, 5, 7, 9, 11… tenemos que \( a_1=1 ; \ a_2=3\ ,\ a_3=5... \)
Conjunto de todos los números que conocemos. Comprende los enteros,>los que tienen decimales de cualquier clase , las fracciones, etc.
Ejemplo1; 2; 6,5; 0,333...
Se llama término general de una sucesión a una expresión algebraica que representa a todos los términos. Es una fórmula en la que la variable es n.
Se empieza escribiendo la letra que sea y el subíndice n, \(a_n\) y se lee “a sub n”. Luego, el signo = y la fórmula.
En los ejemplos anteriores, los términos generales son: \(a_n=2n-1\) ; \(b_n=4n\) ; \(c_n=3^{n-1}\)
Se puede obtener cualquier término con sólo saber la fórmula del término general y la posición que ese término ocupa en la sucesión.
Para ello, vamos realizando las operaciones que se observan en el término general. Todo consiste en sustituir la variable (normalmente es n) por la posición correspondiente (1, 2, 3, o la que sea).
Ejemplo: Si en la sucesión de término general \(d_n=5n-2\) queremos obtener el noveno término, el que ocupa el lugar 9, es decir, \(d_9\), sustituimos la n por el número 9 y realizamos las operaciones:
\(d_9=5\cdot9-2\) y resulta \(d_9=45-2\ \rightarrow\ d_9=43 \)
Ojo, no en todas las sucesiones es posible encontrar el término general.
Expresión matemática que relaciona números y elementos desconocidos ( incógnitas ) entre ellos, con operaciones matemáticas.
Ejemplo¿Sabemos qué hacer con esta expresión algebraica?
Una sucesión es recurrente si sus términos se obtienen haciendo operaciones a partir de los anteriores. Se dice que se forman “siguiendo un patrón”, una determinada operación matemática repetitiva.
Ejemplo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... Cada término a partir del tercero es la suma de los dos anteriores. Es la conocida como “sucesión de Fibonacci”.
Se llama “Ley de recurrencia” a la fórmula que nos proporciona el término deseado una vez que conocemos n. Ejemplo: \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, (a_1=1; a_2 =4)\)
Fibonacci fue el sobrenombre de un matemático italiano del siglo XIII, de nombre auténtico Leonardo de Pisa.
Ya mencionaba su famosa sucesión en el año 1202, cuando publicó su manuscrito Liber abaci. Fibonacci era hijo de un comerciante y vivió en continuos viajes, en un ambiente en el que las matemáticas eran importantes para no fracasar en los negocios. Su interés por el cálculo hizo que fuese muy conocido desde pequeño. Se dice que sus conocimientos en aritmética crecieron enormemente con los métodos hindúes y árabes que aprendió durante su estancia en el norte de África. Después de años de investigación, Fibonacci obtuvo avances interesantes. Algunas de sus aportaciones tienen que ver con la geometría, la aritmética comercial y los números irracionales, además de resultado vitales para desarrollar el concepto del cero.
A continuación puedes realizar cinco actividades para que compruebes lo que has avanzado en el aprendizaje de las sucesiones. Son de diversos niveles de dificultad, y te serán de utilidad para el reto final. ¡Ánimo!
Debes calcular algunos términos de las sucesiones que van apareciendo, usando el término general.
Como ejemplo, observa la de la actividad [1]: \(a_n=3n-2\ \rightarrow \)
\(a_1=3\cdot1-2=1\)
\(a_2=3\cdot2-2=4\)
\(a_3=3\cdot3-2=7\)
... y así sucesivamente.
Ahora hazlo tú. Te proponemos dos actividades, teniendo en cuenta primero esta información:
A1 El término general de una sucesión es \(a_n=5n-1\) y debes calcular los términos \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\) y \(a_{11}\).
A2 En la sucesión \(b_n=(n+1)·(n+2)\), debes obtener los tres primeros términos.
En las líneas siguientes, rellena los huecos con el número que corresponda.
En esta actividad se da a conocer la sucesión de los números triangulares Tn = {1, 3, 6, 10, 15, 21 ...}, relacionando cada término con la imagen geométrica correspondiente.
También se proponen algunos breves ejercicios sobre la construcción y significado de los 8 primeros términos, así como la determinación del término general.
Si te has equivocado, es normal.
Para aprender de tus errores, piensa:
1.- Me doy cuenta en qué he fallado.
2.- Busco la manera de corregir el error.
3.- Entiendo que el error es importante para aprender.
No olvides, cuando nos equivocamos, ¡aprendemos para la próxima vez!
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