Definición

Observa las siguientes sucesiones:

1,2,3,4,5,6,.....

2,4,6,8,10,....

1,3,5,7,9,11,...

Al ver los primeros términos eres capaz de intuir los siguientes pues se detecta el patrón que se sigue.  Así en la primera de las sucesiones se observa que se obtiene el siguiente término sumando 1 al anterior, en las dos siguientes se suma 2 al anterior para obtener el siguiente. 

Si en una sucesión se consigue el siguiente término sumando siempre una misma cantidad al anterior se dice que la sucesión es una progresión aritmética. A esa cantidad constante que se suma a cada término para obtener el siguiente se le llama diferencia (d). 

\( a_{n+1}=a_n +d \), de este modo \( d= a_{n+1}-a_n \)

Término general

Sería interesante conocer una ley que permita identificar cualquier término en una progresión aritmética. Veamos si esa ley se puede deducir de los primeros términos, como sabemos que en una progresión aritmética cada término se obtiene del anterior sumando una misma cantidad entonces 

\( a_2 = a_1 + d \)

\( a_3 = a_2 + d =a_1 +d + d = a_1 + 2d \)

\( a_4 = a_3 + d =a_1 +2d + d = a_1 + 3d\)

Parece que la ley que se sigue es \( a_n=a_1+(n-1)d \), comprobémoslo para el siguiente término \(a_{n+1}=a_n+d=a_1+(n-1)d +d =a_1+n \cdot d\) se sigue cumpliendo la regla, por tanto podemos afirmar que el n-ésimo término de una progresión aritmética es \(a_n=a_1+(n-1)d \), esto es lo que se llama término general de la progresión aritmética.

Retomemos los ejemplos del inicio y calculemos su término general

1,2,3,4,5,....   en esta progresión \(a_1=1\) y \(d=1\) \(a_n=1+(n-1) \cdot 1 =1+n-1=n\) luego \(a_n=n\).

2,4,6,8,10,.....   \(a_1=2\) y \(d=2\) \(a_n=2+(n-1) \cdot 2 =2 +2n -2 \Rightarrow a_n=2n\)

1,3,5,7,9,11,....  \(a_1=1\) y \(d=2\) \(a_n=1+(n-1) \cdot 2 =1 +2n -2 \Rightarrow a_n=2n-1\)

Término general conocido un término y la diferencia

Si en una progresión aritmética conocemos uno de sus términos y la diferencia se puede calcular el término general, veamos algunos ejemplos:

• Si \(a_1=3\) y \(d=5\) entonces como \(a_n=a_1+(n-1)d\) se tiene que \( a_n=3+(n-1)5 \Rightarrow a_n=3+5n-5 \Rightarrow a_n=5n-2 \)
• Si \(a_8=-3\) y \(d=4\). Para calcular el término general necesitamos el primer término y la diferencia, como  ya tenemos la diferencia buscamos el primer término. Sabemos que \(a_n=a_1+(n-1)d\) entonces \(a_8=a_1+7d\), luego \(-3=a_1+7·4 \Rightarrow -3=a_1+28 \Rightarrow a_1=-31\). Ahora queda hallar el término general \(a_n=-31+(n-1)·4 \Rightarrow a_n=-31+4n-4 \Rightarrow a_n=4n-35\)

Término general conocidos dos términos

Para hallar el término general conocidos dos términos tenemos que conocer la relación entre esos términos. Si \(a_i=a_1+(i-1)d\) y \(a_j=a_1+(j-1)d\) entonces \(a_j-a_i=a_1+(j-1)d-(a_1+(i-1)d \), simplificando la expresión se tiene que \(a_j-a_i=(j-i)d\).

Ejemplo: Calcula el término general de una progresión aritmética de la que se sabe que \( a_3=5\) y \( a_{12}=32\).

\(a_{12}-a_3=(12-3)d \Rightarrow 32-5=9d \Rightarrow 27=9d \Rightarrow d=\dfrac{27}{9}=3\)

\(a_n=a_1+(n-1)d \Rightarrow a_3=a_1+2d \Rightarrow 5=a_1+2·3 \Rightarrow a_1=-1\)

\(a_n=-1+(n-1)·3 \Rightarrow a_n=-1+3n-3 \Rightarrow a_n=3n-4\)

Término particular

Si se conoce el término general de una progresión aritmética se pueden identificar cualquiera de los términos, basta con sustituir.

Si el término general de una progresión aritmética es \(a_n=2n+3\) ¿Cuál sería el primer término de la progresión?¿y el quinto?¿y el vigésimo?

Se sustituye en la fórmula del término general para obtener el término deseado.

Para \(a_1\),  \(a_1=2 \cdot 1 +3 =5\) luego el primer término será \(a_1=5\).

Para \(a_5\),  \(a_5=2 \cdot 5 +3 =10+3=13\) luego  \(a_5=13\).

Para \(a_{20}\),  \(a_{20}=2 \cdot 20 +3 =40+3=43\) por tanto \(a_{20}=43\).

Si conocemos el término general de una progresión aritmética podemos hallar cualquiera de los términos que la forman.

El joven Gauss

Carl Friedrich Gauss ha sido uno de los más brillantes matemáticos que ha habido, se conoce con el sobrenombre de "El príncipe de las matemáticas".

Se cuenta que a la edad de 9 años se encontraba en la escuela elemental de Brunswick donde daba clases un maestro rural llamado Büttner. El señor Büttner con la finalidad de mantener a los alumnos entretenidos les pidió que sumasen los 100 primeros naturales, Gauss en muy poco tiempo ofreció una respuesta y resultó ser correcta.

Gauss en lugar de sumar los números uno a uno los colocó en orden y luego en orden inverso observado que las parejas que se forman sumaban todas 101, como había 100 parejas el resultado sería 10100, al haber sumado dos veces los números la suma será la mitad por tanto es 5050.

\( \begin{array}{lcrcrcrccrcrcr} S_{100}&=&1&+&2&+&3&+&....+&98&+&99&+&100 \\ S_{100}&=&100&+&99&+&98&+&....+&3&+&2&+&1 \\ \hline  2·S_{100}&=&101&+&101&+&101&+&....+&101&+&101&+&101   \end{array} \)

\(2·S_{100}=101.100 \Rightarrow S_{100}=\dfrac{10100}{2}=5050 \)

Suma de los n primeros términos

Al igual que se puede hallar el término general en una progresión aritmética, también se puede conocer la suma de sus primeros términos. 

Como se vio para encontrar el término general \( a_2=a_1+d\) \(a_3=a_1+2d\) …. \(a_n=a_1+(n-1)·d\).

Sumar los primeros n términos de una progresión aritmética es 

\(S_n=a_1+a_2+a_3+.....+a_n \Rightarrow S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+.....+a_1+(n-1)d\)

Si realizamos la suma en orden natural e inverso, como hizo Gauss con los 100 primeros naturales, se tiene

\( \begin{array}{lclclclcl} S_n & = & a_1 & + & a_1+d & +...+ & a_1+(n-2)d & + & a_1+(n-1)d \\ S_n & = & a_1+(n-1)d & + & a_1+(n-2)d & +...+ & a_1+d & + &a_1  \\ \hline \\  2S_n & = & 2a_1+(n-1)d  & + & 2a_1+(n-1)d & +...+ & 2a_1+(n-1)d & + & 2a_1+(n-1)d   \end{array} \)

Observa que se suman n veces lo mismo por tanto 

\( 2Sn=(2a_1+(n-1)d)·n =(a_1+a_1+(n-1)d)·n = (a_1+a_n)\cdot n\)

Luego \( \boxed{ Sn=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n} \)

Esto  permite conocer la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Los 100 primeros números 1,2,3,4,5,... eso que le pidieron a Gauss que sumara, están en progresión aritmética por tanto con la fórmula que hemos encontrado se puede averiguar la suma de los primeros naturales que queramos.

\(S_{100}=\dfrac{1+100}{2}\cdot 100= \dfrac{10100}{2}=5050\)

¿Cuál es la suma de los 100 primeros números pares?

2,4,6,8,.... los números pares están en progresión aritmética cuyo término general lo hemos calculado anteriormente \(a_n=2n\)

\(a_1=2\) y \(a_{100}=2 \cdot 100 = 200\)

\(S_{100}=\dfrac{2+200}{2} \cdot 100 =\dfrac{20200}{2}=10100\)

Otra forma de verlo es que los 100 primeros pares es 2 por la suma de los 100 primeros naturales, por tanto \(2·5050=10100\)