Los porcentajes son muy útiles para expresar el aumento o disminución de una cantidad, pues indican la proporción de esa cantidad que aumenta o disminuye.
Seguro que has oído expresiones como: “el precio ha aumentado un 8%” o “me ha hecho un 10% de descuento”.
Estas dos expresiones indican variaciones porcentuales.
Índice de variación
El índice de variación es el porcentaje que nos permite calcular la cantidad final después de la variación expresado en forma decimal.
En la expresión, “el precio ha aumentado un 8%” significa que el precio ahora es mayor, ha aumentado el 8%. Ahora vale lo que valía antes (el 100%) más lo que ha aumentado (el 8%), es decir, ahora vale el 108%. Si quieres calcular cuánto es el precio ahora basta con que calcules el 108% del precio inicial.
En la expresión, “me ha hecho un 10% de descuento” significa que el precio ahora es menor, ha disminuido el 10%. Ahora vale lo que valía antes (el 100%) menos lo que ha descontado (el 10%), es decir, ahora vale el 90%. Si quieres calcular cuánto es el precio ahora basta con que calcules el 90% del precio inicial.
Si te fijas, asociado al aumento o disminución porcentual hay un porcentaje que te permite calcular la cantidad final. Ese porcentaje, expresado en forma decimal se llama índice de variación.
Para calcular el índice de variación, si es un aumento se le suma al cien por cien el porcentaje de subida y se expresa en forma decimal, y si es una disminución se le resta al cien por cien la disminución y se expresa en forma decimal.
Ejemplo:
- Si se aumenta el 21%, como es un aumento para calcular el índice de variación tienes que sumar a 100% el 21 % y pasarlo a forma decimal.
\(100\%+21\% =121 \% =1.21\)
Por tanto, el índice de variación es 1.21
- Si se rebaja un 14%, como es una disminución para calcular el índice de variación tienes que restar a 100% el 14% y pasarlo a forma decimal.
\( 100\%-14\%=86\% =0.86\)
Por tanto, el índice de variación es 0.86
Cálculo de la cantidad final
Si se sabe el índice de variación, la cantidad final es el producto de la cantidad inicial por el índice de variación:
Cantidad final = Cantidad inicial · índice de variación
Ejemplo 1:
El precio de un litro de gasolina ayer era 1.527 euros, y ha aumentado un 3%. ¿Cuánto vale ahora?
Como es un aumento porcentual, para calcular el índice de variación le sumas al 100% el 3% que ha aumentado y lo expresas en forma decimal:
\(100\% +3\% = 103\% =\displaystyle \frac{103}{100}=1.03\)
El índice de variación es 1.03
Para calcular el precio final basta multiplicar el precio inicial por el índice de variación:
\( 1.527·1.03=1.57281\)
Como el precio de la gasolina se da con tres cifras decimales, redondeando obtenemos que el precio final del litro de gasolina es 1.573 €.
Ejemplo 2:
Sobre un libro que vale 21 € hay un cartel que pone 15% de descuento. ¿Cuánto vale el libro con el descuento?
Como es una disminución porcentual, para calcular el índice de variación le restas al 100% el 15% que ha disminuido y lo expresas en forma decimal:
\(100\% - 15\% =85\% =\displaystyle \frac{85}{100}=0.85\)
El índice de variación es 0.85
Para calcular el precio final basta multiplicar el precio inicial por el índice de variación:
\(21·0.85=17.85\)
Por tanto, el precio del libro con el descuento es 17.85 euros.
Cálculo de la cantidad inicial
En muchas ocasiones lo que ocurre es que sabes el aumento o disminución porcentual y la cantidad final, y quieres calcular la cantidad inicial.
Sabes que:
Cantidad final = Cantidad inicial · índice de variación
Si en esa fórmula despejas la cantidad inicial te queda:
\(\mbox{Cantidad inicial }=\displaystyle \frac{\mbox{Cantidad final}}{\mbox{Índice de variación}}\)
Por tanto, para calcular la cantidad inicial hay que dividir la cantidad final entre el índice de variación.
Ejemplo:
He comprado un libro con el 22% de descuento y me ha costado 19.50 euros. ¿Cuánto valía sin descuento?
Como es una disminución para calcular el índice de variación al 100% le restas el 22% que han descontado y divides entre 100:
\(100\% -22\% =78\%=\displaystyle \frac{78}{100}=0.78\)
El índice de variación vale 0.78
Para calcular el precio inicial divides el precio final entre el índice de variación:
\(\mbox{Precio inicial }=\displaystyle \frac{19.5}{0.78}=25\)
Por tanto, el precio del libro sin descuento era 25 €.
Cálculo del porcentaje
En algunas ocasiones sabes la cantidad inicial y la final y lo que quieres calcular es el porcentaje de aumento o disminución.
Sabes que:
Cantidad final = Cantidad inicial · índice de variación
Si en esa fórmula despejas el índice de variación te queda:
\(\mbox{Índice de variación }=\displaystyle \frac{\mbox{Cantidad final}}{\mbox{Cantidad inicial}}\)
Por tanto, para calcular el índice de variación hay que dividir la cantidad final entre la cantidad inicial.
Cuando sabes el índice de variación, para calcular el porcentaje de variación tienes que expresarlo en tanto por ciento (multiplicándolo por 100). Si es mayor que 100% es un aumento y para calcular el porcentaje que ha aumentado tienes que restarle 100 al índice de variación. Si es menor que 100% es una disminución y para calcular el porcentaje de variación tienes que restarle a 100 el índice de variación.
Ejemplo:
Un abrigo vale 60 €, pero lo compras en las rebajas y te cuesta 51 €. ¿Qué porcentaje te han rebajado?
Como sabes la cantidad inicial y la final, para calcular el índice de variación tienes que dividir la cantidad final entre la cantidad inicial:
\(\displaystyle \frac{51}{60}=0.85\)
Ahora lo expresas en tanto por ciento multiplicando por 100:
\(0.85 · 100=85 \%\)
Como es menor que el 100% es una disminución, calculas el porcentaje de descuento restando a 100% el índice de variación:
\( 100\% -85\% = 15\%\)
Por tanto, el descuento que te han hecho es del 15%.
