Observa el siguiente ejemplo:

El término general de una progresión geométrica es: \(a_{n}=3·4^{n-1}\) 

Calcula los cinco primeros términos de la sucesión:

  \(n=1 \longmapsto a_{n}=3·4^{1-1}=3·4^0=3·1=3\) 

  \(n=2 \longmapsto a_{n}=3·4^{2-1}=3·4^1=3·4=12\)

  \(n=3 \longmapsto a_{n}=3·4^{3-1}=3·4^2=3·16=48\)

  \(n=4 \longmapsto a_{n}=3·4^{4-1}=3·4^3=3·64=192\)

  \(n=5 \longmapsto a_{n}=3·4^{5-1}=3·4^4=3·256=768\)

Es tu turno, utiliza la siguiente actividad interactiva para practicar.

Calcula en tu cuaderno los cinco primeros términos de las siguientes progresiones:

a) \(a_{n}=3·\left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-1}\)     

b) \(a_{n}=(-1)^{n-1}\) 

c)\(a_{n}=3·6^{n-1}\) 

d) \(a_{n}=0,1·\left( \dfrac{1}{10} \right)^{n-1}\)     

Imagina que decides ayudar dos personas con algo que necesite realmente, por ejemplo a un compañero a entender un ejercicio difícil de matemáticas o a tu padre con las bolsas de la compra. La condición es que cada persona que ayudes, debe a su vez ayudar a dos más. Este proceso se podría definir como una cadena de ayudas y está muy relacionado con lo que hemos estudiado en esta unidad. 

Responde a las siguientes preguntas:

Identificas alguna progresión en este enunciado.¿Cuál?
Describe sus características principales.
Calcula los 5 primeros términos. 
Escribe el término general de la sucesión.
¿Cuántas células tenemos después de 10 generaciones?

En este ejercicio vas a calcular el término general de la progresión conocidos varios términos términos.

a) Calcula el término general de una progresión geométrica en la que el primer término y cuarto término son: \( a_{1}=2, a_{4}=250\)  .

b) Calcula el término general de una progresión en la que el primer término y cuarto término son: \( a_{1}=\dfrac{1}{2}, a_{4}=\dfrac{1}{16}\)

c) Calcula el término general de una progresión en la que el primer término y tercer término son: \( a_{1}=3, a_{3}=6\)  

d) Calcula el término general de una progresión en la que el segundo término y cuarto término son: \( a_{2}=\dfrac{4}{9}, a_{4}=\dfrac{16}{54}\) 

Aquiles, un valeroso guerrero Griego, es retado por una tortuga a una carrera. Por supuesto, Aquiles debe dejar algo de ventaja a la tortuga, pues como todo el mundo sabe, es mucho más lenta. La tortuga afirma que aunque Aquiles es más rápido, este nunca la alcanzará realmente, porque  cuando llegue a dónde está la tortuga, esta ya habrá avanzado un poco de camino, por poco que sea.  Cuando Aquiles recorra esa pequeña distancia, la tortuga habrá avanzado otro poquito, y así sucesivamente, por lo que nunca será alcanzada. ¿Está la tortuga en lo cierto? 

• ¿Puedes representar la situación mediante una sucesión? ¿De qué tipo?
• De lo que has trabajado, ¿qué crees que te puede ayudar a resolver el misterio?
• Explica basándote en lo aprendido sobre progresiones geométricas, si finalmente la tortuga ganará la carrera.

¿Te has planteado alguna vez cuántas veces se puede doblar un papel?

Coge un folio y e intenta doblarlo varias veces. Antes de empezar,  busca en internet el espesor que tiene un folio de tamaño A4. ¿Qué espesor tiene?

1. Al doblar una vez, ¿Qué espesor tiene el papel? ¿Y al doblarlo dos veces? ¿Y tres? 

2. ¿Cuántas veces puedes doblarlo? ¿Qué espesor tiene el papel ahora?

3. Compara el espesor final con el original. ¿Crees que ha aumentado mucho o poco?

4. ¿Puedes explicar lo sucedido con alguna sucesión?. En caso afirmativo, escribe los términos

Ahora imagina que tienes un papel suficientemente muy muy grande. ¿Cuántos dobleces tendrías que hacerle para llegar a la Luna?

Ten en cuenta que la distancia de la Tierra a la Luna es de 384.400 Km