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4.4. Entre tablas de contingencia, intersecciones y condicionadas

Diccionario

Mazo

La imagen muestra una mano con una baraja de cartas.

Definición:

Está formado por cartas que tienen algo en común y se agrupan en una misma pila.

Ejemplo:

Observa la carta e introdúcela en el mazo.

Fortunata dice...

Ya casi estamos llegando al final. Has aprendido un montón sobre combinatoria, experimentos, sucesos, probabilidades, diagramas de árbol, compatibilidad, dependencia,... Pero ahora nos toca dar un pasito más.

Vamos a empezar por la probabilidad condicionada. Y, ¿pensabas que íbamos a quedarnos solo con la probabilidad de la unión? Pues claro que no. Vamos a estudiar también la de la intersección. 

Pero si te quedaste sorprendido con el uso de los diagramas de árbol, ahora verás lo útiles que son las tablas de contingencia. 

¿Estás preparado?

Lectura facilitada

Estás llegando al final. 

Has aprendido muchos contenidos sobre:

  • Combinatoria. 
  • Experimentos. 
  • Sucesos.
  • Probabilidades.
  • Diagramas de árbol. 
  • Compatibilidad. 
  • Dependencia. 
  • Y muchos más.

Ahora vas a empezar por la  probabilidad condicionada y 

la probabilidad de la unión. 

Vas a ver lo útiles que son las tablas de contingencia. 

¿Estás preparado? 

1. ¿Nos condicionamos?

Para poder entender la probabilidad condicionada, vamos a partir de un ejemplo, y luego trabajaremos las fórmulas. ¿Te parece?

En una clase de 30 alumnos de 4º de ESO, 20 estudian solamente inglés, 7 estudian inglés y francés, y 3 estudian solamente francés. La situación es la siguiente:

Si elegimos al azar un estudiante que estudia inglés, ¿cuál es la probabilidad de que estudie francés?

La diferencia entre la probabilidad vista anteriormente y esta, es que aparece una condición, nos dan una información antes de pedirnos que calculemos la probabilidad. En nuestro caso es que el estudiante que hemos seleccionado, estudia inglés. 

Por lo tanto, a la hora de calcular la probabilidad, no nos fijaremos en el total de alumnos, que es 30, ya que sabemos que estudia inglés, por lo tanto, debemos quitar los que estudian solo francés y quedarnos con los 27 alumnos que estudian inglés. Según la regla de Laplace, los casos posibles serán 27, y los favorables serán los 7 de inglés que también estudian francés. Aunque esto se expresa matemáticamente de otra forma que explicamos a continuación. 

Para expresar la probabilidad condicionada se utiliza la siguiente notación: 

p(F/I)

Se lee: probabilidad de que un alumno estudie francés, si (sabiendo, conociendo) estudia inglés. La probabilidad que nos piden se obtiene dividiendo la probabilidad de la intersección de ambos sucesos, es decir, la probabilidad de estudiar inglés y francés, dividido entre la probabilidad de estudiar inglés:

p(F/I)=\frac{p(F\cap{I})}{p(I)}=\frac{\frac{7}{30}}{\frac{27}{30}}=simplificando=\frac{7}{27}

Generalizando, consideramos dos sucesos A y B pertenecientes al mismo espacio de sucesos y que cumplen que la probabilidad de B es distintas de cero. Se define la probabilidad del suceso A condicionada al suceso B, como la probabilidad de que ocurra el suceso A dado (sabiendo) que ha sucedido el suceso B. Se obtiene a partir de la siguiente fórmula: 

p(A/B)=\frac{p(A\cap{B})}{p(B)}, p(B)\neq{0}

Lectura facilitada

Para entender la probabilidad condicionada vas a ver un ejemplo. 

Después trabajarás las fórmulas. 

Una clase de 30 estudiantes de 4º de ESO:

  • 20 estudiantes estudian solamente inglés.
  • 7 estudiantes estudian inglés y francés.
  • 3 estudiantes estudian solamente francés. 

La situación es la siguiente:

Elige al azar un estudiante que estudia inglés.

¿Cuál es la probabilidad de que estudie francés?

En la proporcionalidad condicionada aparece una condición.

Te dan una información antes de pedirte que calcules la probabilidad. 

En este ejemplo la condición es que el estudiante 

que se ha seleccionado estudie inglés. 

Para calcular la probabilidad quita los estudiantes 

que estudian solo francés. 

Selecciona los 27 estudiantes que estudian inglés. 

Según la regla de Laplace: 

  • Los casos posibles serán 27.
  • Los casos favorables serán los 7 estudiantes de inglés 
    que también estudian francés.

La probabilidad condicionada se expresa con la siguiente fórmula: 

p(F/I)

Se lee: 

Probabilidad de que un estudiante estudie francés.

Conoces que estudia inglés.

Para obtener la probabilidad condicionada divide

la probabilidad de la intersección de ambos sucesos.

La probabilidad de estudiar inglés y francés la divides 

entre la probabilidad de estudiar inglés:

p(F/I)=\frac{p(F\cap{I})}{p(I)}=\frac{\frac{7}{30}}{\frac{27}{30}}=simplificando=\frac{7}{27}

  • Considera dos sucesos A y B pertenecientes al mismo espacio de sucesos.
  • Los sucesos A y B cumplen que la probabilidad de B es distinta de cero.
  • Se define la probabilidad del suceso A condicionada al suceso B 
    como la probabilidad de que ocurra el suceso A dado (sabiendo) 
    que ha sucedido el suceso B.
  • Se obtiene a partir de la siguiente fórmula: 

p(A/B)=\frac{p(A\cap{B})}{p(B)}, p(B)\neq{0}

Otra forma de ver si dos sucesos son independientes.

En la probabilidad condicionada, el suceso A al estar condicionado al suceso B, podemos decir que "depende" de dicho suceso. Por tanto, si despejamos en la fórmula anterior, obtenemos: 

p(A/B)=\frac{p(A\cap{B})}{p(B)}\Rightarrow{p(A\cap{B})=p(A)\cdot{p(A/B)}}

Si sucede esto, los sucesos serán dependientes.

Resumiendo: 

Si\hspace{0.5cm}p(A\cap{B})=p(B)\cdot{p(A/B)}\Rightarrow{A\,y\,B\,son\,dependientes}

Si\hspace{0.5cm} p(A\cap{B})=p(A)\cdot{p(B)}\Rightarrow{A\, y\, B\, son\, independientes}

2. ¡Tenemos intersección!

A partir de lo que hemos explicado en el punto anterior, es muy fácil deducir cuál es la probabilidad de la intersección de dos suceso. A la hora de definir y calcular dicha probabilidad, debemos diferenciar dos casos, ya que como hemos visto anteriormente, no es lo mismo que los sucesos sean dependientes o no. 

Si los dos sucesos, A y B, son independientes, entonces la probabilidad de la intersección de ambos sucesos es:

p(A\cap{B})=p(A)\cdot{p(B)}

Mientras que si los sucesos A y B son dependientes, la probabilidad de la intersección es:

p(A\cap{B})=p(B)\cdot{p(A/B)}

Por lo tanto, si tienes que calcular la probabilidad de la intersección de dos sucesos, lo primero que tienes que pensar es si son dependientes o independientes. A continuación, te muestro un ejemplo para que puedas apreciar la diferencia y aprendas a calcular la probabilidad de la intersección de sucesos.

La imagen muestra una mano con una baraja de cartas. Definición:

Está formado por cartas que tienen algo en común y se agrupan en una misma pila.

Ejemplo:

Observa la carta e introdúcela en el mazo.

Lectura facilitada

Recuerda lo que has aprendido en el apartado anterior 1. ¿Nos condicionamos?.

Ahora deduce cuál es la probabilidad de la intersección de dos sucesos. 

Debes diferenciar dos casos:

  • Si los dos sucesos A y B son independientes, 
    la probabilidad de la intersección de los dos sucesos es:

p(A\cap{B})=p(A)\cdot{p(B)}

  • Si los sucesos A y B son dependientes, 
    la probabilidad de la intersección es:

p(A\cap{B})=p(B)\cdot{p(A/B)}

Para calcular la probabilidad de la intersección de dos sucesos tienes 

que pensar si los sucesos son dependientes o independientes. 

Observa el siguiente ejemplo para calcular 

la probabilidad de la intersección de sucesos.

La imagen muestra una mano con una baraja de cartas.

Definición:

Está formado por cartas que tienen algo en común y se agrupan en una misma pila.

Ejemplo:

Observa la carta e introdúcela en el mazo.

3. Me expreso mejor con una tabla de contingencia

Es una herramienta, muy útil,  que se utiliza para clasificar los datos de un problema y poder resolver los ejercicios más fácilmente. Es una tabla de doble entrada dónde se clasifica la información de un grupo de individuos de una población a partir de dos características diferentes, que a su vez se dividen en varias modalidades. 

Cada una de las casillas de la última columna, de la tabla, son la suma de los datos de la fila correspondiente; y cada una de las casillas de la última fila, de la tabla, son la suma de los datos de las columnas correspondientes. El esquema de la tabla de contingencia sería el siguiente:

A, B, C, D... son las diferentes modalidades de cada uno de los caracteres. Pueden ser más de dos, por ello, ponemos puntos suspensivos. 

¡Vamos a practicar!

Lectura facilitada

Una tabla de contingencia es una herramienta muy útil.

La tabla de contingencia se utiliza para clasificar los datos de un problema

y resolver los ejercicios de manera más fácil. 

Es una tabla de doble entrada.

En la tabla de contingencia se clasifica la información de un grupo de personas

de una población a partir de dos características diferentes.

Las dos características diferentes se dividen en varias modalidades. 

Cada una de las casillas de la última columna de la tabla 

son la suma de los datos de la fila correspondiente.

Cada una de las casillas de la última fila de la tabla 

son la suma de los datos de las columnas correspondientes.

 El esquema de la tabla de contingencia es el siguiente:

A, B, C, D y otras, son las diferentes modalidades de cada uno de los caracteres. 

Pueden ser más de dos modalidades. 

¡Ahora practica!

4. Hora de ejercitarnos

Pedro Laplaza dice..

Creo que ya lo tengo todo entendido y que he alcanzado un buen nivel en esto de calcular probabilidades, que por cierto, es algo más útil de lo que había imaginado jamás. Sí, me ha gustado mucho. 

¡Demostremos lo que sabemos!

Opción A: Desafío de condicionada

Resuelve todos los retos y completa el desafío.

1

La combinación de una caja consta de 4 números. Cada uno de ellos es el numerador de las probabilidades que tendrás que calcular en cada uno de los cuatro retos. Por ejemplo, si la probabilidad que calcules en el reto es 3/7, el número que tienes que coger para la combinación de la caja, es el 3.

Cuando hayas conseguido todos los números, escríbelos consecutivamente y podrás terminar el desafío. 

¡Tienes 8 minutos!

En un taller hay 5 coches con problemas mecánicos, 7 coches con problemas eléctricos, y 4 coches con problemas mecánicos y eléctricos. Elegimos al azar un coche que tiene problemas mecánicos, ¿cuál es la probabilidad de que tenga problemas eléctricos?

Se extraen dos bolas de forma consecutiva de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de extraer  una bola verde si la primera bola era verde?

Se extraen consecutivamente dos bolas de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea azul si la primera ha sido roja?

Extraigo dos cartas de una baraja española, con devolución, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda carta extraída sea una figura si la primera fue un rey?

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Opción B: Intersección con QuExt

Elija la respuesta correcta

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Opción C: Cada problema con su tabla

Encuentra la pareja formada por el enunciado de un problema y su tabla de contingencia. Cuando concluyas, y si te atreves, puedes usar tu cuaderno para completar la tabla y obtener el resultado del problema. 





Opción D: Laberinto de probabilidades

¡Ahora es tu turno! Debes inventar un laberinto en el que haya dos o más caminos, y dentro de cada uno de ellos, otras dos o más opciones, Invéntate un problema basándote en ese laberinto. A continuación, deberás intercambiar el ejercicio con tu compañero. Cada uno de vosotros intentaréis resolver el laberinto del otro. Finalmente, será el profesor, el que compruebe si tanto la redacción como el resultado son correctos. 

Para finalizar la actividad, podéis realizar un muro virtual, con la aplicación que más os guste, en el que colguéis todos los laberintos con sus enunciados. Resultaría interesante compartir vuestro trabajo en la web del centro. 

5. Probabilidad total y teorema de Bayes

Los teoremas

Teorema de la probabilidad total

Un ratón se encuentra ante una encrucijada de caminos. Puede tomar los caminos A, B y C. Si toma el camino A puede llegar a la casa o encontrarse con un feroz gato. Si toma el camino B puede encontrarse con un bonito pez o con un feroz gato. Finalmente, si toma el camino C, llega a la casa. Nos preguntamos, ¿cuál es la probabilidad de que el ratón se encuentre con el gato?

La imagen muestra un laberinto

1. En primer lugar, como siempre, vamos a definir los sucesos:

A=entrar\, en\, el\, camino\, A\hspace{0.5cm}B=entrar\, en\, el\, camino\, B\hspace{0.5cm}C=entrar\, en\, el\, camino\, C\\G=encontrar\, al\, gato\hspace{0.5cm}Z=encontrar\, al\, pez\hspace{0.5cm}V=llegar\, a\, casa

2. Calculamos las probabilidades de elegir cada uno de los caminos. Como hay tres caminos, la probabilidad de cada uno de ellos, aplicando la regla de Laplace, será un tercio.

P(A)=p(B)=p(C)=\frac{1}{3}

Si estamos en A, la probabilidad de ir a casa o de encontrarse al gato es la misma, y será un medio. 

p(V)=p(G)=\frac{1}{2}

Igual sucede si elige el camino B. La probabilidad de encontrarse al pez es la misma que la de encontrarse al gato e igual a un medio. 

p(Z)=p(G)=\frac{1}{2}

Y si elige el camino C, solo puede ir a la casa, por lo que tendrá probabilidad 1. 

Para saber la probabilidad que nos piden, utilizamos el diagrama de árbol y nos fijamos en las ramas que nos interesa, es decir, en las que llegan al gato.

La imagen muestra el árbol de decisión del laberinto

Por tanto, la probabilidad es:

P(G)=\frac{1}{3}\cdot{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}\cdot{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}

Teorema de Bayes

En este caso, sabemos que el ratón se ha encontrado al gato. Nos preguntamos, ¿cuál ha sido la probabilidad de que haya sido en el camino A? (La probabilidad de encontrarse al gato, ya la hemos calculado anteriormente)

p(A/G)=\frac{p(A\cap{G})}{p(G)}=\frac{\frac{1}{3}\cdot{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}



¿Te has dado cuenta de la cantidad de cosas que has tenido que hacer para completar cada una de las actividades?

Al realizar estas actividades, como por ejemplo la actividad “Cada problema con su tabla”, has tenido que poner en juego todo lo que sabes. A veces para aprender tenemos que trabajar de forma constante. Cuando nos esforzamos mucho, nuestro trabajo es valorado por nuestros profes y familiares. Pero lo más importante es que nos sentimos muy contentos por el trabajo realizado.

Te animo a que sigas trabajando para que puedas aprender y seguir mejorando.