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4.3. Experimentos compuestos, dependencias y compatibilidades

Diccionario

Diagrama de Venn

La imagen muestra la probabilidad de la unión de dos sucesos A y B.

Definición:

Esquema usado en la teoría de conjuntos. Muestra conjuntos de elementos por medio de líneas cerradas.

Ejemplo:

Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn.

Número primo

La imagen muestra una tabla con números primos.

Definición:

Número que solo es divisible por 1 y por sí mismo. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

Ejemplo:

Para reducir fracciones uso los números primos.

Fortunata dice...

Seguro que ya conoces muchos tipos de sucesos y cómo calcular sus probabilidades para experimentos simples, ahora vamos a estudiar los experimentos compuestos, aquellos que están formados por más de un suceso.

Además conocerás la diferencia entre sucesos independientes y sucesos incompatibles y también cómo calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos cualesquiera.

Empezamos ...

Lectura facilitada

Ya conoces:

  • Varios tipos de sucesos. 
  • Cómo calcular las probabilidades de los sucesos para experimentos simples. 

Ahora vas a estudiar:

  • Los experimentos compuestos que están formados por más de un suceso. 
  • Conocerás la diferencia entre sucesos independientes y sucesos incompatibles. 
  • Cómo calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos cualesquiera. 

1. La probabilidad en los experimentos compuestos

La probabilidad de un suceso de un experimento compuesto es el producto de las probabilidades de los sucesos simples que lo forman.

La imagen muestra el diagrama de árbolPor ejemplo si lanzamos una moneda dos veces y consideras el suceso A: "Obtener dos caras", el suceo A es un suceso compuesto está formado por dos sucesos más simples (C1: "Obtener cara en la 1ª moneda" y C2: "Obtener cara en la 2ª moneda") cuyas probabilidades son sencillas de calcular usando la regla de Laplace:

  • \( P (C_1) = \Large\frac{1}{2} \)

  • \( P (C_2) = \Large\frac{1}{2} \)

Y por tanto la probabilidad de A será igual al producto de las anteriores probabilidades:

  • \( P(A) = P(C_1)\ \cdot P(C_2) = \Large\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \normalsize = \Large\frac{1}{4} \)

En este caso también puedes calcular fácilmente la probabilidad de A utilizando la regla de Laplace; si te ayudas del diagrama en árbol que se adjunta puedes contar fácilmente que hay un caso favorable de cuatro posibles, por tanto la probabilidad de A será:

  • \( P(A) = \Large\frac{1}{4} \)

Lectura facilitada

La probabilidad de un suceso de un experimento compuesto 

es el producto de las probabilidades de los sucesos simples que lo forman.

Por ejemplo.

  • Lanza una moneda dos veces.
  • Considera el suceso A: Obtener dos caras.
  • El suceso A es un suceso compuesto 
    porque está formado por dos sucesos más simples.

Los sucesos más simples son:

  • C1: Obtener cara en la 1ª moneda.
  • C2: Obtener cara en la 2ª moneda.

Usa la regla de Laplace para calcular las probabilidades. 

  • P(C1) = ½
  • P(C2) = ½

La probabilidad de A será igual al producto de las probabilidades (C1) y (C2). 

  • P(A) = P(C1) · P(C2) = ½ · ½ = ¼

La imagen muestra el diagrama de árbol

También puedes calcular la probabilidad de A.  

Utiliza la regla de Laplace.

Ayúdate de este diagrama en árbol.

Observa que hay un caso favorable de cuatro posibles.

 Por tanto la probabilidad de A será:

  • P(A) = ¼

En la práctica

Un experimento compuesto puede ocurrir cuando realices dos o más experimentos simples de manera simultanea o uno detrás de otro.

Y la probabilidad de un suceso de un experimento compuesto es el producto de las probabildades de los sucesos simples que lo forman.

2. Dependencia e independencia de sucesos

Veamos en qué consiste la dependencia de sucesos, dos sucesos A y B son dependientes cuando la realización de B está condicionada por la realización de A. Se escribe de la siguiente manera B / A (B dependiente de A).

Por tanto, dos sucesos A y B son independientes si la realización de B no está condicionada por la realización de A.

La imagen muestra una urna con 10 bolasMira este ejemplo: supongamos que disponemos de una urna con 10 bolas y extraemos dos de ellas, ¿Cuál es la probabilidad de que la 1ª bola sea un número par y la 2ª un número primo? ¿el resultado cambiará si devolvemos la 1ª bola a la urna?

Si consideras que el suceso A: "La 1ª bola es el número dos" y el suceso B: "La 2ª bola extraida es un número primo". Usando la regla de Laplace es fácil de calcular la probabilidades de A: P(A) = 1/10 = 0'1.

Sin embargo la probabilidad de B depende de si devolvemos o no la 1ª bola a la urna:

CON DEVOLUCIÓN

La probabilidad de B no cambia, porque estarán en la urna todos los números; existirían 4 casos favorables a B (el 2, el 3, el 5 y el 7) y por tanto P(B) = 4/10 = 0'4.

Concluimos que los sucesos A y B son independientes porque la probabilidad no cambia.

SIN DEVOLUCIÓN

 Si la primera bola ha salido un 2, es decir, ha ocurrido el suceso A, para la segunda extracción solo quedarán 3 números primos disponibles (el 3, el 5 y el 7) y el total de bolas también habrá cambiado, ahora sólo habría 9 casos posibles. En este caso el resultado de A condiciona el de B y por eso decimos que B es dependiente de A. Por tanto P(B/A) = 3/9 = ⅓.

Por tanto, los sucesos A y B son dependientes porque cambia la probabilidad.

La imagen muestra una tabla con números primos. Definición:

Número que solo es divisible por 1 y por sí mismo. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

Ejemplo:

Para reducir fracciones uso los números primos.

Lectura facilitada

Dos sucesos A y B son dependientes cuando la realización de B 

está condicionada por la realización de A. 

Se escribe de la siguiente manera B / A.

B dependiente de A.

Dos sucesos A y B son independientes si la realización de B

 no está condicionada por la realización de A.

Mira este ejemplo:

La imagen muestra una urna con 10 bolas

  • Dispones de una urna con 10 bolas.
  • Extrae dos bolas.
  • ¿Cuál es la probabilidad de que 
    la primera bola sea un número par?.
  • ¿Cuál es la probabilidad de que 
    la segunda bola sea un número primo?.
  • ¿El resultado cambiará si devuelves 
    la primera bola a la urna?

Considera el suceso A: 

  • La primera bola es el número dos. 

Considera el suceso B: 

  • La segunda bola extraída es un número primo.

Usa la regla de Laplace para calcular la probabilidad de A: 

  • P(A) = 1/10 = 0'1.

La probabilidad de B depende de si devuelves o no la primera bola a la urna.

CON DEVOLUCIÓN

  • La probabilidad de B no cambia.
  • Estarán en la urna todos los números.
  • Existirían 4 casos favorables a B (el 2, el 3, el 5 y el 7).
  • La probabilidad de B:
          P(B) = 4/10 = 0'4.
  • Concluimos que los sucesos A y B son independientes
    porque la probabilidad no cambia.

SIN DEVOLUCIÓN

  • Saca una bola.
  • Sale el número 2. 
  • Ha ocurrido el suceso A.
  • Saca la segunda bola. 
  • Solo quedan 3 números primos (el 3, el 5 y el 7).
  • El total de bolas habrá cambiado. 
  • Sólo habría 9 casos posibles.
  • En este caso el resultado de A condiciona el resultado de B.
  • Por tanto B es dependiente de A. 
  • P(B/A) = 3/9 = ⅓.

Los sucesos A y B son dependientes porque cambia la probabilidad.

La imagen muestra una tabla con números primos.

Definición:

Número que solo es divisible por 1 y por sí mismo. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

Ejemplo:

Para reducir fracciones uso los números primos.

3. Sucesos incompatibles

Ahora vas a estudiar la incompatibilidad entre sucesos. Dados dos sucesos A y B correspondiente a un experimento aleatorio, diremos que A y B son incompatibles si no tienen ningún elemento en común, es decir, que la intersección de A y B es vacía. En otro caso A y B serían compatibles porque tienen elementos en común. Fórmula con la probabilidad de un suceso La imagen muestra una urna con bolas Siguiendo con el ejemplo de la urna con 10 bolas numeradas del 1 al 10; en este caso vamos a realizar el experimento aleatorio que consiste en extraer una bola de la urna, si observas los sucesos:

  • A: "La bola extraida es un número par" ⇒ A = {2, 4, 6, 8, 10}
  • B: "La bola extraida es un número primo" ⇒ B = {2, 3, 5, 7}
  • C: "La bola extraida es un número impar"⇒ C = {1, 3, 5, 7, 9}

Y estudias la compatibilidad o incompatiblidad de estos sucesos por parejas, puedes ver que:

  • A y B son compatibles porque tienen un elemento en común que es el número 2 que es par y además un número primo.
  • A y C son incompatibles porque no tienen ningún elemento en común.
  • B y C son compatibles porque tienen varios elementos en común (el 3, 5, y 7).

4. Probabilidad de la unión de sucesos

Una de las probabilidades más habituales que vas a necesitar conocer es la de la unión de sucesos, aparecen en muchos problemas y situaciones reales.

Fijate en el diagrama de Venn asociado para entender que la probabilidad de la unión de dos sucesos A y B es:

La imagen muestra la probabilidad de unión

Seguro que con este ejemplo te aclaras con la fórmula, en esta ocasión el experimento va a consistir en lanzar un dado de 8 caras (octaedro) y anotar el resultado, ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea impar o múltiplo de 3?

La imagen muestra el espacio muestral del experimento El espacio muestral de este experimento estará formado por 8 elementos correspondientes a los 8 números posibles y si consideramos los sucesos A: "Obtener un número impar" y B:"Obtener un número múltiplo de 3", la unión de los dos sucesos estará formada por los números que están en A, en B o en ámbos, fijate que al calcular la probabilidad de la unión de A y B es necesario restar la probabilidad de la intersección porque de otro modo la sumaríamos dos veces, por tanto para calcular la probabilidad de la unión necesitaremos calcular:

  • P(A) = 4/8 = 0'5
  • P(B) = 2/8 = 0'25
  • P(A ∩ B) = 1/8 = 0'125
  • P (A U B) = 0'5 + 0'25 - 0'125 = 0'625

Si observas el diagrama de Venn asociado podemos calcular la probabilidad de la unión usando la regla de Laplace como el cociente entre casos favorables (5) entre casos posibles (8) obteniendo el resultado P (A U B) = 5/8 = 0'625.

La imagen muestra la probabilidad de la unión de dos sucesos A y B. Definición:

Esquema usado en la teoría de conjuntos. Muestra conjuntos de elementos por medio de líneas cerradas.

Ejemplo:

Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn.

Lectura facilitada

Vas a necesitar conocer la probabilidad de la unión de sucesos 

para resolver problemas y situaciones reales. 

Fíjate en el diagrama de Venn asociado 

para entender que la probabilidad de la unión de dos sucesos A y B es:

La imagen muestra la probabilidad de unión

Probabilidad de la unión de los sucesos A y B 

es igual a la probabilidad de A 

más la probabilidad de B 

menos la probabilidad de la intersección de los sucesos A y B. 

Experimento: lanzar un dado de 8 caras y anotar el resultado.

¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea impar o múltiplo de 3?

La imagen muestra el espacio muestral del experimento

El espacio muestral de este experimento está formado por 8 elementos. 

Los 8 elementos son los 8 números posibles del dado de 8 caras. 

Suceso A: Obtener un número impar.

Suceso A: números impares 1,3,5,7.

Suceso B: Obtener un número múltiplo de 3.

Suceso B: Números múltiplos de 3 son el 3 y el 6. 

La unión de los dos sucesos estará formada 

por los números que están en A y en B o en ámbos.

Al calcular la probabilidad de la unión de A y B 

es necesario que restes la probabilidad de la intersección.

  • P(A) = 4/8 = 0'5
  • P(B) = 2/8 = 0'25
  • P(A ∩ B) = 1/8 = 0'125
  • P (A U B) = 0'5 + 0'25 - 0'125 = 0'625

Observa el diagrama de Venn.

Calcula la probabilidad de la unión usando la regla de Laplace.

Calcula el cociente entre el número de casos favorables y casos posibles.

  • Los casos favorables son 5.
  • Los casos posibles son 8. 
  • Obtienes el resultado P (A U B) = 5/8 = 0'625.
  • El resultado de la probabilidad de la unión de los sucesos A y B es 0’625. 

La imagen muestra la probabilidad de la unión de dos sucesos A y B.

Definición:

Esquema usado en la teoría de conjuntos. Muestra conjuntos de elementos por medio de líneas cerradas.

Ejemplo:

Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn.

5. Hora de calcular probabilidades

Fortunata dice...

Después de este repaso, seguro que ya estás preparado para entrenarte en el cálculo y problemas sobre probabilidades, dependencia e incompatibilidades de sucesos.

¡Estás preparado!

Opción A: Nos aclaramos con la probabilidad

Selecciona verdadero o falso según corresponda.

Pregunta 1

  • Los experimentos compuestos ocurren cuando realizamos un experimento detrás de otro y su probabilidad de un suceso de un experimento compuesto es la suma de las probabilidades de los sucesos simples que lo forman.

Sugerencia

Recuerda que para que una afirmación sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Pregunta 2

  • Dos sucesos A y B son compatibles si la intersección de ambos no es vacía.

Sugerencia

Recuerda que para que una afirmación sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Pregunta 3

  • Dos experimentos son dependientes si la realización del segundo está condicionada a la ocurrencia del primero.

Sugerencia

Recuerda que para que una afirmación sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Pregunta 4

  • Observa la siguiente urna y los sucesos que en ella aparecen, podemos afirmar que A y C son independientes porque no tienen ningún elemento en común.

Sugerencia

Recuerda que para que una afirmación sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Pregunta 5

  • La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de las probabilidades de los sucesos que lo forman.

Sugerencia

Recuerda que para que una afirmación sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Pregunta 6

  • Si dos sucesos son independientes la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades de dichos sucesos.

Sugerencia

Recuerda que para que una afirmación sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Pregunta 7

  • Observa la siguiente urna y los sucesos que en ella aparecen, podemos afirmar que A y B son independientes porque no tienen ningún elemento en común.

Sugerencia

Recuerda que para que una afirmación sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Opción B: Cada problema con su probabilidad




Opción C: Lanzando moneda y dado

Considera el experimento que consiste en lanzar una moneda y a continuación un dado regular de 6 caras. Y los sucesos siguientes:

  • A: "Se ha obtenido una cara"
  • B: "Se ha obtenido una cruz"
  • C: "Se ha obtenido un número impar"
  • D: "Se ha obtenido un número menor de 3"

Toma tu cuaderno y copia el enunciado del ejercicio, haz un diagrama en árbol en tu cuaderno donde se refleje la información del experimento planteado y contesta a las siguientes cuestiones:

  1. ¿De qué tipo es el experimento descrito?
  2. ¿Cómo son los sucesos A y B?
  3. Calcula la probabilidad de los sucesos A, B, C y D y de los sucesos contrarios.
  4. Calcula la probabilidad de que la moneda sea cara y el número obtenido en el dado sea impar.
  5. Calcula la probabilidad de que la moneda sea cruz y el número obtenido en el dado sea mayor o igual que 3.

¿Necesitas ayuda?

El siguiente diagrama en árbol te ayudará a tener una visión completa del experimento descrito:

La imagen muestra el árbol del dado y moneda

Opción D: Probabilidad Geométrica

Algunos experimentos aleatorios pueden admitir una representación geométrica de tal manera que las probabilidades se calculan en función de las áreas de los sucesos. Utilizando esta representación contesta al siguiente problema:

Pedro Laplaza y Fortuna Lajusta han quedado en su casino para trabajar entre las 9 y las 10 de la mañana. El primero que llegue debe esperar al otro durante 20 minutos y si no llega el otro debe marcharse. Calcula la probabilidad de que Pedro Laplaza y Fortuna Lajusta se encuentren en el casino si cada uno de ellos elige al azar la hora de llegada en dicho intervalo de tiempo.

Una ayuda con la representación

Puedes utilizar un gráfico con dos ejes coordenados, donde en el eje X se señala la hora de llegada de Pedro Laplaza y en el eje Y la hora de llegada de Fortuna Lajusta.

La imagen muestra el planteamiento del problema

Scratch para calcular probabilidades

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