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2. Experimentando con la probabilidad

Diccionario

Diagrama

La imagen muestra un diagrama de barras

Definición:

Es un dibujo geométrico que representa ideas, procesos, mecanismos o soluciones para facilitar su comprensión.

Ejemplo:

Utiliza un diagrama para representar cuántas veces ha salido la cara y la cruz de la moneda.

Entresijos

La imagen muestra a una persona resolviendo una operación complicada.

Definición:

Tener muchas dificultades difíciles de entender o desatar.

Ejemplo:

Me gustaría conocer todos los entresijos de la probabilidad.

Heterogéneos

La imagen muestra un grupo con personas diferentes.

Definición:

Diversa naturaleza.

Ejemplo:

Los equipos de trabajo son heterogéneos.

Porcentaje

La imagen muestra el signo del porcentaje.

Definición:

Número que representa una cantidad sobre un total de 100. Su símbolo es %.

Ejemplo:

El porcentaje de aciertos ha sido mayor en este juego.

Portavoz

La imagen muestra una persona elegida de entre todo el grupo de trabajo para que hable en público sobre el procedimiento que han llevado para realizar dicho trabajo.

Definición:

Persona que tiene autoridad para representar a un grupo o a una colectividad y hablar en su nombre por haber sido elegida para ello.

Ejemplo:

Elegimos un portavoz para comunicar al resto de la clase los resultados del grupo.

Pedro Laplaza dice..

Pedro Laplaza ha quedado con Fortunata Lajusta para que le vaya explicando algunas cuestiones acerca de la probabilidad. Aunque él sabía algo, de la época en la que rodó su película “Kasino Real”, sin embargo, le gustaría saber más, ya que va a invertir su dinero en el montaje del Kasino.


Fortunata quiere ir paso a paso, así que le va a recordar cómo se “contaba” en Matemáticas antes de enseñarle los entresijos de la probabilidad.

La imagen muestra a una persona resolviendo una operación complicada. Definición:

Tener muchas dificultades difíciles de entender o desatar.

Ejemplo:

Me gustaría conocer todos los entresijos de la probabilidad.

Lectura facilitada

Pedro Laplaza ha quedado con Fortunata Lajusta. 

Fortunata Lajusta va a explicar a Pedro el concepto de la probabilidad.

Pedro Laplaza aprendió algunas cuestiones de la probabilidad 

cuando rodó su película Kasino Real. 

A Pedro Laplaza le gustaría saber más sobre la probabilidad

para montar el casino. 

Fortunata quiere ir paso a paso. 

Fortunata va a recordar cómo se contaba en Matemáticas. 

Después Fortunada enseñará a Pedro más contenidos sobre la probabilidad.  

1. Tirando la moneda

La imagen muestra unas monedas

Este experimento está diseñado para llevarlo a cabo en grupo. Tu grupo y tú trabajaréis siguiendo la técnica de trabajo colaborativo “Aprender juntos”. 

Dividiremos la clase en 5 grupos lo más heterogéneos posibles. Entre los componentes del grupo elegirán a un portavoz, que será el que comunique al resto de la clase los resultados del grupo. A cada grupo se le asignará un número del 1 al 5 para facilitar su identificación del resto. 

Cada grupo debe contar con una moneda, preferiblemente de uno o dos euros en las que fácilmente se identifique una cara y una cruz. La experiencia consistirá en lanzar la moneda 20 veces y anotar los resultados obtenidos por el grupo y posteriormente por la clase.

La imagen muestra un grupo con personas diferentes.         Definición:

Diversa naturaleza.

Ejemplo:

Los equipos de trabajo son heterogéneos.

Lectura facilitada

La imagen muestra unas monedas

Vas a trabajar en grupo para hacer este experimento.  

La clase se divide en 5 grupos lo más heterogéneos posibles.

Los componentes del grupo elegirán a un portavoz

El portavoz será quien comunique al resto de la clase los resultados del grupo. 

A cada grupo se le asignará un número del 1 al 5 para identificarse. 

Cada grupo debe tener una moneda. 

La moneda puede ser de uno o dos euros y tener una cara y una cruz. 

La experiencia consistirá en: 

Tu grupo y tú debéis lanzar la moneda 20 veces.

Tu grupo y tú anotaréis los resultados de vuestro grupo 

y los resultados de los otros grupos de la clase. 

Tú grupo y tú anotaréis el número de veces que salga la cruz o la cara.

La imagen muestra un grupo con personas diferentes.

Definición:

Diversa naturaleza.

Ejemplo:

Los equipos de trabajo son heterogéneos.

La imagen muestra una persona elegida de entre todo el grupo de trabajo para que hable en público sobre el procedimiento que han llevado para realizar dicho trabajo.

Definición:

Persona que tiene autoridad para representar a un grupo o a una colectividad y hablar en su nombre por haber sido elegida para ello.

Ejemplo:

Elegimos un portavoz para comunicar al resto de la clase los resultados del grupo.

Para facilitar el recuento y evitar equivocaciones podemos ir anotando cada suceso en la columna de Recuento parcial; se puede ir marcando con una barra “|” por cada caso favorable. Una vez completado el proceso, se hará un recuento y se anotarán  las ocurrencias en la columna de Total ocurrencias; por último la columna de porcentaje “%” mostrará el tanto por ciento de las ocurrencias de cada suceso.

Una vez que todos los grupos hayan completados la actividad, el portavoz de cada grupo anotará los resultados de su grupo en la pizarra para que todos los grupos puedan completar la tabla de los resultados de la clase. En esta tabla cada grupo debe volver a calcular los totales de ocurrencias y porcentajes correspondientes a cada suceso.

Una vez finalizado el experimento, cada grupo debe responder cómo han deducido las probabilidades de que la moneda salga cara o salga cruz. 

Te dejamos una ficha con la tabla de recuento por grupo y para la clase. Puedes descargar la ficha y rellenarla. Acuérdate de guardarla cuando acabes. También puedes imprimirla y rellenarla en papel

Portada de Tirando la moneda

La imagen muestra el signo del porcentaje. Definición:

Número que representa una cantidad sobre un total de 100. Su símbolo es %.

Ejemplo:

El porcentaje de aciertos ha sido mayor en este juego.

La imagen muestra una persona elegida de entre todo el grupo de trabajo para que hable en público sobre el procedimiento que han llevado para realizar dicho trabajo.        Definición:

Persona que tiene autoridad para representar a un grupo o a una colectividad y hablar en su nombre por haber sido elegida para ello.

Ejemplo:

Elegimos un portavoz para comunicar al resto de la clase los resultados del grupo.

Lectura facilitada

Tu grupo y tú anotad cada suceso en la columna de recuento parcial. 

Tu grupo y tú podéis marcar con una barra | cada caso favorable. 

Después haced un recuento y anotad las ocurrencias 

en la columna de total ocurrencias. 

Por último la columna de porcentaje mostrará el tanto por ciento 

de las ocurrencias de cada suceso.

El porcentaje se representa con este símbolo %.  

El portavoz de cada grupo anotará los resultados de su grupo en la pizarra.

Todos los grupos completaréis la tabla de los resultados de la clase.

Cada grupo debe calcular los totales de ocurrencias y

porcentajes de cada suceso.

Al finalizar el experimento tu grupo y tú debéis responder 

cómo los demás grupos han deducido las probabilidades 

de que la moneda salga cara o salga cruz. 

Puedes usar la tabla recuento por grupo y de toda la clase 

qué encontrarás en este documento

La imagen muestra la portada del documento Tirando la moneda

La imagen muestra el signo del porcentaje.

Definición:

Número que representa una cantidad sobre un total de 100. Su símbolo es %.

Ejemplo:

El porcentaje de aciertos ha sido mayor en este juego.

La imagen muestra unos dados

Seguro que te has divertido lanzando la moneda, pero y si lanzamos ahora un dado regular (6 caras), ¿puedes predecir cuántas veces va a salir un uno o un seis si lanzamos el dado 40 veces? 

Podéis usar los mismos grupos que ya habíais formado para el lanzamiento de la moneda y realizar el experimento que se detalla en este. 

Te dejamos una ficha para este experimento. Puedes descargar la ficha y rellenarla. Acuérdate de guardarla cuando acabes. También puedes imprimirla y rellenarla en papel

Portada de Lanzando un dado

Lectura facilitada

La imagen muestra unos dados

Seguro que te has divertido lanzando la moneda.

Puedes probar a lanzar un dado.

¿Puedes saber cuántas veces va a salir un uno o un seis 

al lanzar el dado 40 veces? 

Puedes hacer este experimento con tu grupo.  

El experimento se explica en este documento.

La imagen muestra la portada de Lanzando un dado

2. Las matrículas de los coches

Pedro Laplaza dice..

Seguro que todos los días ves decenas de matrículas de los coches y vehículos que te rodean. Te has preguntado porque utilizan esa codificación con números y letras, ¿has visto alguna vez una matrícula distinta al resto?

Nuestro protagonista Pedro Laplaza que tiene un coche clásico cuya matrícula tiene una codificación diferente de la actual, en concreto su matrícula es: 

Sin embargo el coche de  Fortunata Lajusta es un modelo eléctrico matriculado hace unos meses con un formato completamente diferente y cuya matrícula es esta: 

Esta tarea tendréis que realizarla en grupo y consistirá en contestar a las siguientes preguntas:

  • ¿Cuál es el formato de matriculación por provincias que existía en España?
  • ¿En cuántas provincias se podían matricular los vehículos en España?
  • ¿Cuántas matrículas distintas se podrían formar en una provincia con el sistema antiguo de matriculación por provincias?
  • ¿Cuál es el formato actual de matriculación? 
  • ¿En qué año se produjo el cambio de un sistema a otro?
  • ¿Cuántas matrículas se pueden formar con el nuevo sistema?
  • ¿Cuál de los sistemas tiene mayor capacidad para la matriculación de vehículos?

3. Vamos a contar

Fortunata dice...

Saber contar variantes de un problema se llama combinatoria, y te ayudará a resolver problemas de probabilidad. Para poder calcular las probabilidades de un suceso necesitas contar cuántos casos favorables hay o cuántos casos posibles existen al realizar un experimento aleatorio.

Por ejemplo imaginas que has olvidado parte de la clave de tu correo electrónico, te faltan los tres últimos caracteres que eran 3 números y tan solo recuerdas que acababa en 3 o en 5. Puedes contestar a preguntas como:

  • ¿Cuántas combinaciones son posibles?
  • Si dispones de 3 intentos, ¿qué probabilidad tienes de acertar la clave?

Para poder resolver situaciones como la del ejemplo, lo primero que tendrás que recordar son tus conocimientos sobre técnicas de recuento y combinatoria. A veces para contar viene bien hacer algún diagrama en árbol, un esquema o un dibujo.

¿Te animas con estas actividades para poner en práctica tus conocimientos previos?

La imagen muestra un diagrama de barras Definición:

Es un dibujo geométrico que representa ideas, procesos, mecanismos o soluciones para facilitar su comprensión.

Ejemplo:

Utiliza un diagrama para representar cuántas veces ha salido la cara y la cruz de la moneda.

Lectura facilitada

Combinatoria se llama a saber contar variantes de un problema. 

La combinatoria te ayudará a resolver problemas de probabilidad. 

Necesitas contar cuántos casos favorables hay al realizar un experimento aleatorio

para poder calcular las probabilidades de un suceso. 

Observa este ejemplo.

Imagina que has olvidado parte de la clave de tu correo electrónico.

Te faltan los tres últimos caracteres que son 3 números. 

Sólo recuerdas que la clave acaba en 3 o en 5. 

Contesta a estas preguntas: 

  • ¿Cuántas combinaciones son posibles? 
  • Sólo tienes 3 intentos para poner la clave correcta. 
  • ¿Qué probabilidad tienes de acertar la clave? 

Para poder resolver situaciones como la anterior tienes que: 

  • Recordar conocimientos sobre técnicas de recuento y combinatoria. 
  • Hacer algún diagrama en árbol, un esquema o un dibujo. 

¿Te animas con estas actividades para poner en práctica lo que sabes?

La imagen muestra un diagrama de barras
Definición:

Es un dibujo geométrico que representa ideas, procesos, mecanismos o soluciones para facilitar su comprensión.

Ejemplo:

Utiliza un diagrama para representar cuántas veces ha salido la cara y la cruz de la moneda.

Ayuda con la combinatoria

En los problemas de combinatoria tienes que identificar dos aspectos clave: 

  • Si influye el orden de selección de los elementos o no.
  • Si se pueden repetir o no dichos elementos. 

Si necesitas algo de ayuda te dejamos esta infografía para que te aclares.

Opción A: ¿Variaciones, combinaciones o permutaciones?

Responde verdadero o falso a las siguientes cuestiones sobre combinatoria y comentad en clase el porqué son verdaderas o falsas:

Pregunta 1

  • En las variaciones con repetición se pueden repetir los elementos pero no influye el orden.

Sugerencia

Recuerda que para que una pregunta sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Pregunta 2

  • Los diagramas en árbol son muy útiles para el cálculo de probabilidades, pero no aporta nada sobre el orden de las posibles soluciones.

Sugerencia

Recuerda que para que una pregunta sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Pregunta 3

  • Cuando influye el orden en el que elegimos los elementos en un problema entonces utilizaremos las variaciones.

Sugerencia

Recuerda que para que una pregunta sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Pregunta 4

  • Cuando influye el orden en el que elegimos algunos de los elementos de un problema de combinatoria y además se pueden repetir los elementos utilizaremos las permutaciones sencillas.

Sugerencia

Recuerda que para que una pregunta sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Pregunta 5

  • Cuando en un problema de combinatoria no influye el orden en el que se eligen los elementos, estamos hablando de combinaciones.

Sugerencia

Recuerda que para que una pregunta sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Pregunta 6

  • Supongamos que queremos ordenar en fila india a un grupo de 5 amigos de todas las formas posibles; en este caso necesitaremos recurrir a las combinaciones.

Sugerencia

Recuerda que para que una pregunta sea verdadera es necesario que sean ciertas todas sus afirmaciones y no parte de ellas.

Opción B: Hora de contar y ordenar

Pregunta

  • Carrera de 100 metros femenino: En la final del mundo de 100 metros lisos femenino participan las 8 corredoras más rápidas, ¿de cuántas maneras se pueden repartir las medallas?

Respuestas

De 56 formas

De 336 formas

De 24 formas

Se resuelve utilizando las variaciones sin repetición

Se resuelve utilizando las variaciones con repetición

Se resuelven utilizando las permutaciones

Se resuelven utilizando las combinaciones

Retroalimentación

Pregunta

  • Amigos en el parque: Cinco amigos van al parque y deciden sentarse en un banco de 5 asientos, ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?

Respuestas

De 5 maneras

De 20 maneras

De 120 maneras

Se resuelven utilizando las permutaciones

Se resuelven utilizando las combinaciones

Se resuelve utilizando las variaciones sin repetición

Se resuelve utilizando las variaciones con repetición

Retroalimentación

Pregunta

  • El código binario: los ordenadores utilizan el código binario, formado únicamente por ceros y unos, cada uno de estos dígitos (es decir un 1 o un 0) es un bit. La información se agrupa en conjunto de 8 bits llamados byte. ¿Cuántos bytes diferentes se pueden formar?

Respuestas

64 bytes diferentes

16 bytes diferentes

256 bytes diferentes

Se resuelven utilizando las combinaciones

Se resuelven utilizando las variaciones con repetición

Se resuelven utilizando las variaciones sin repetición

Se resuelven utilizando las permutaciones

Retroalimentación

Pregunta

  • Batido de frutas: queremos preparar un batido con 4 tipos de frutas, para hacerlo tenemos en la nevera plátanos, manzanas, peras, naranjas, uvas, piña y kiwi. ¿Cuántos batidos diferentes podremos preparar?

Respuestas

35 batidos diferentes

28 batidos diferentes

50 batidos diferentes

Se resuelven utilizando las permutaciones

Se resuelven utilizando las variaciones sin repetición

Se resuelven utilizando las variaciones con repetición

Se resuelven utilizando las combinaciones

Retroalimentación

Opción C: Elige sólo una

Pregunta

  • Los botes de pintura: Si tenemos 5 botes de pintura de distintos colores, ¿Cuántas posibles mezclas de 3 colores se pueden hacer?

Sugerencia

Primero debes decidir si influye o no el orden, segundo si se pueden repetir o no los elementos, por último haz el cálculo apropiado.

Respuestas

15 mezclas posibles

10 mezclas distintas

20 mezclas distintas

125 mezclas distintas

Retroalimentación

Pregunta

  • ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar usando solo las cifras pares?

Sugerencia

Primero debes decidir si influye o no el orden, segundo si se pueden repetir o no los elementos, por último haz el cálculo apropiado.

Respuestas

125 números diferentes

15 números diferentes

300 números diferentes

500 números diferentes

Retroalimentación

Opción D: El pin del móvil

Fortunata dice...

Fortunata ha olvidado el PIN de su móvil, de los cuatro dígitos sólo recuerda dos cosas, que empieza por 3 y que el resto de números son todos pares, también recuerda que ninguno de ellos es repetido. Ella quiere saber cuántos números diferentes son posibles.

¿Puedes ayudarla a averiguar cuántos números diferentes puede probar?

Si quieres ordenar ideas puedes seguir estas indicaciones:

Pista 1

Empieza por 3, por tanto el primer digito es fijo.

Pista 2

Los 3 dígitos restantes son números pares, es decir, que dispones de 5 cifras pares para los tres dígitos siguientes.

Pista 3

Los dígitos no están repetidos (sin repetición).

Después de aclarar las pistas seguro que sabes encontrar la estrategia más apropiada para resolver el problema.

¿Te has equivocado en algo al hacer las actividades?

Cuando queremos aprender algo, lo normal es equivocarse al principio. Fallar forma parte de aprender. ¿Recuerdas cuando montaste en bici por primera vez? ¿o cuando intentabas nadar en el agua? Seguro que al principio no fue fácil, pero cada vez que fallabas, lo intentabas de nuevo. Con cada fallo aprendemos del error y lo mejoramos para la vez siguiente.

Para aprender de tus errores sigue estos consejos:

  1. Me doy cuenta de en qué parte he fallado.
  2. Busco la forma de mejorar ese error.
  3. Lo intento de nuevo.
  4. Entiendo que el error es importante para aprender.

No lo olvides: cuando te equivocas una vez, aprendes para el siguiente intento.