Potencias
La segunda parte del adiestramiento se centra en las potencias de números.
¿Recuerdas cómo conseguiste la electricidad necesaria para poder disfrutar de tu móvil durante todo el viaje?. Cuando tirabas un neutrón a cada núcleo, se partía en otros dos núcleos y salían dos nuevos neutrones que a su vez partían a otros dos núcleos, y el proceso se repetía.
En cada paso, el número de núcleos que se dividían se doblaba. Para calcular los choques que producíamos en el paso 50 teníamos que multiplicar 16 veces el número 2, es decir:
2•2•2•2•2•2•2•2•2•2•2•2•2•2•2•2
Para escribir esta multiplicación de forma más sencilla, utilizaremos el Poder de la Potencia.
La potencia de un número es una forma abreviada de escribir la multiplicación de ese número varias veces.
El número que se multiplica recibe el nombre de base.
Las veces que se multiplica se llama exponente.
En nuestro ejemplo, la multiplicación 16 veces del número 2, se escribirá: 216
Base
El número que se multiplica se conoce como base.
En nuestro caso, la base es 2
Exponente
El número de veces que se multiplica la base, se llama exponente.
En nuestro caso, el exponente es 16
Resultado
Podemos hacer las multiplicaciones y el resultado es 65.536
Así que 216 = 65.536
Muchas veces la potencias se dejan indicadas y no se realiza la operación hasta que necesitemos el resultado, y esa es una de sus ventajas.
Vamos a adentrarnos un poco más en este mundo. Os voy a enseñar unos trucos muy útiles.
Potencia de una multiplicación
Si tenéis que hacer la potencia a una multiplicación, se puede hacer de dos formas:
- Hacéis la multiplicación y luego la potencia del resultado, o
- Hacéis la potencia a cada factor y luego multiplicáis las potencias.
Ejemplo: Vamos a calcular (2•5)3
Podemos hacerlo de la primera forma
(2•5)3=103
o de la segunda forma
(2•5)3= 23•53
Los resultados coinciden, pues:
103 = 10•10•10 = 100•10 = 1.000
y
23•53 = 8• 125 = 1.000
Parece que la primera forma va a ser siempre más sencilla y la segunda es más complicada, pero más adelante, si queréis usar la Magia de la Simplificación la segunda será la que necesitéis. Además cuando estéis en el mundo de las ecuaciones no podréis usar la primera forma muchas veces.
Potencia de una división.
Si tenéis que hacer la potencia a una división, se puede hacer de dos formas:
- Hacéis la división y luego la potencia, o
- Hacéis la potencia a cada factor y luego dividís las potencias.
Ejemplo: Vamos a calcular (8÷2)3
Podemos hacerlo de la primera forma
(8÷2)3=43
o de la segunda forma
(8÷2)3= 83÷23
Los resultados coinciden, pues:
43= 4•4•4 = 16•4 = 64
y
83 ÷23 = 512• 8 = 64
Parece que la primera forma va a ser siempre más sencilla y la segunda es más complicada, pero más adelante, si queréis usar la Magia de la Simplificación, la segunda será la que necesitéis.
Cuando estéis en el mundo de las ecuaciones no podréis usar la primera forma muchas veces.
Además este truco os permitirá hacer la potencia de una fracción,
Potencia de una fracción
Para realizar la potencia de una fracción, utilizaremos lo que hemos visto en la potencia de una división.
Según hemos visto antes, tendremos que:
Elevar el numerador al exponente, y ese será el nuevo numerador.
Elevar el denominador al exponente, y ese será el nuevo denominador.
Ejemplo
Potencia de una potencia
Este poder es tan maravilloso que no podrás parar de usarlo. Por ello te tendré que instruir para cuando lo uses una vez tras otra.
Cuando hagas una potencia de otra potencia:
- La base del resultado será la misma.
- El exponente del resultado lo sacarás de multiplicar los dos exponentes.
Ejemplo: Vamos a calcular (23)4
Sabemos que la base del resultado va a ser 2, que es la base de la potencia.
Para obtener el exponente del resultado, tendremos que multiplicar los dos exponentes
es decir 3•4 = 12
Luego el resultado será 212
(23)4=212
Potencias de base 10
El número 10 es el Rey de la Potencia. Para contar hemos usado los dedos de nuestra mano, que son 10, por eso escribimos los números en base 10.
Por ello, las potencias de 10 son las más fáciles para trabajar, porque:
- Para realizar una potencia de base 10, sólo hay que poner un 1 seguido de tantos 0 como nos diga el exponente.
Ejemplo: Vamos a calcular 105
Tendremos que poner un 1 seguido de cinco 0
por tanto: 105=100.000
Operaciones con potencias
Cómo las potencias son una forma abreviada de multiplicación, se llevan muy bien con sus parientes. Por ello muchas veces se pueden hacer la operaciones de forma muy sencilla, por ejemplo:
| Multiplicación | División | |
| Misma Base | Se deja la base y se suman los exponente | Se deja la base y se restan los exponentes |
| Mismo Exponente | Se multiplican las bases y se deja el exponente | Se dividen las bases y se deja el exponente |
Ejemplos:
| Multiplicación | División | |
| Misma Base | 23 • 25 = 2(3+5) = 28 | 45 ÷ 43 = 4(5-3) = 42 |
| Mismo Exponente | 32 • 42 = (3•4)2 = 122 = 144 | 123 ÷ 63 = (12 ÷ 6)3 = 23 |
Sin embargo, cuando hay sumas o restas por en medio, no podemos usar trucos porque no ser llevan muy bien. Por ejemplo:
24+23≠27
57-54≠53
46+56≠206
163-83≠23
Lectura facilitada
El segundo adiestramiento es conocer la potencia de números.
La potencia de números es una operación matemática que consiste en multiplicar el mismo número tantas veces como indique otro número.
Por ejemplo en la multiplicación 2 • 2 • 2.
El poder de la potencia nos ayudará a hacer esta multiplicación de forma más sencilla.
La multiplicación 2 • 2 • 2 con el poder de la potencia se escribiría 2 3.
Base
La base es el número que multiplica.
En nuestro caso, la base es el número 2.
Exponente
El exponente es el número de veces que tenemos que multiplicar la base.
La base es el número 2.
El exponente de la potencia sería el número 3.
Ejemplo
En este problema lo verás más claro.
Un constructor ha construido 2 torres.
En cada torre hay 2 pisos.
En cada piso hay 2 balcones.
¿Cuántos balcones hay en total?
2 • 2 • 2 = 2 3 = 8
En total hay 8 balcones.
Vamos a adentrarnos más en el mundo de las Potencias.
Vas a aprender unos trucos muy útiles:
Potencia de una multiplicación
Recuerda que una multiplicación es el resultado
de sumar un número tantas veces como indique otro.
Por ejemplo 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 • 5 = 10
Una potencia era multiplicar el mismo número
tantas veces como indique otro número.
Por ejemplo 2 3 = 2 • 2 • 2 = 6
Para hacer la potencia de una multiplicación podemos hacerla de 2 formas:
1º Resuelves la multiplicación
Luego haces la potencia del resultado:
Por ejemplo en la potencia ( 2 • 5 ) 3
2 • 5 =10
10 3 = 1000
Es decir ( 2 • 5 ) 3 = 10 3
El resultado de ( 2 • 5 ) 3 = 1000
2º Haces la potencia a cada número (factor) de la multiplicación
Luego multiplicas las potencias.
Por ejemplo:
( 2 • 5 ) 3 = 2 3 • 5 3
(2 • 2 • 2) • (5 • 5 • 5) =
8 • 125 = 1000
El resultado de ( 2 • 5 ) 3 = 1000
Potencia de una división.
Una división es partir un número en partes iguales.
Por ejemplo 8 ÷ 2 = 4
La potencia de una división se puede hacer de 2 formas:
1º Resuelves la división y luego haces la potencia.
Por ejemplo en la potencia ( 8 ÷ 2 ) 3
8 ÷ 2 = 4
4 3 = 4 • 4 • 4 = 16 • 4 = 64
El resultado de ( 8 ÷ 2 ) 3 = 64
2º Haces la potencia de cada número (factor)
luego divides las potencias.
Por ejemplo en la potencia ( 8 ÷ 2 ) 3
( 8 ÷ 2 ) 3= 8 3÷ 2 3
8 3= 8 • 8 • 8 = 512
y
2 3 = 2 • 2 • 2 = 8
512 ÷ 8 = 64
El resultado de ( 8 ÷ 2 ) 3 = 64
Potencia de una fracción
Recuerda que una fracción se forma
al dividir un número entero en partes iguales.
Para realizar la potencia de una fracción
vas a usar lo aprendido en la potencia de una división.
Por ejemplo en la fracción 3 2
Primero elevamos la potencia a numerador.
El numerado es el número de arriba de la fracción 3 2 = 9
Luego elevamos a potencia al denominador.
El denominador es el número de debajo de la fracción 5 2 = 25
De esta forma tendremos 
El resultado de la fracción es 0,36.
Potencia de una potencia
Este poder es increíble y muy sencillo.
Vamos a verlo.
Por ejemplo en ( 2 3 ) 4
Lo que tienes que hacer es mantener la base.
En este caso la base de la potencia es el número 2
luego multiplicas los exponentes, que son 3 y 4.
Multiplicamos los exponentes 3 • 4 = 12
Mantenemos la base. que es 2.
El resultado será 2 12
( 2 3 ) 4= 2 12
El resultado sería 4096.
Potencias de base 10
El número 10 es el Rey de las potencias.
Las potencias de base 10 son muy fáciles.
Para resolverlas solo tienes que añadir tantos 0 a la derecha como te indique el exponente.
Por ejemplo en la potencia 10 5
Tienes que poner un 1 seguido de cinco 0
Por tanto 10 5= 100.000
El resultado es 100.000.
Operaciones con potencias
Las potencias son una forma reducida de multiplicar.
Con ellas se pueden hacer las operaciones de forma muy sencilla, por ejemplo:
| Multiplicación | División | |
| Misma Base | Se deja la base y se suman los exponente | Se deja la base y se restan los exponentes |
| Mismo Exponente | Se multiplican las bases y se deja el exponente | Se dividen las bases y se deja el exponente |
Ejemplos:
| Multiplicación | División | |
| Misma Base | 23 • 25 = 2(3+5) = 28 | 45 ÷ 43 = 4(5-3) = 42 |
| Mismo Exponente | 32 • 42 = (3 • 4)2 = 122 = 144 | 123 ÷ 63 = (12 ÷ 6)3 = 23 |
Cuando hay sumas o restas
no podemos usar estos trucos.
Las sumas y las restas no se llevan bien con las potencias.
Si has superado el reto, has conseguido la Insignia de la Estrella. Con ella en tu poder podrás usarla para construir vuestro Emblema Numerorum. No olvides incluirla en el cuaderno de bitácora.