Te presento la función irracional (en rojo) y la potencial (en azul), representadas en la misma gráfica. Hay una peculiaridad en esta representación y es que a través del deslizador que tienes puedes modificar n, es decir el índice de la raíz o el exponente de la potencial. Fíjate cómo varían a medida que aumentan o disminuyo esa n, porque seguidamente vamos a ver una serie de características.

¿Qué has observado?. Te voy a dar una serie de puntos a investigar:

1. Fíjate en el dominio de la función ¿Qué ocurre cuando el índice pasa de par a impar?
2. ¿Qué ocurre a las funciones de índice par cuando éste aumenta cada vez más?.
3. ¿Qué ocurre a las funciones de índice impar cuando éste aumenta cada vez más?.
4. Tienes representadas la función potencia de n y raíz de índice n ¿Qué observas entre ellas? ¿Por qué crees que la función y=x está señalada?
5. ¿A la función potencia de exponente n le ocurre lo mismo que a la función irracional cuando pasa de par a impar su exponente? ¿por qué?.
6. ¿Recuerdas lo que es la simetría? Ya conoces algunas funciones simétricas de páginas anteriores ¿Se podría hablar aquí de simetrías? ¿Y de funciones recíprocas o funciones inversas?
7. ¿Qué pasa con los máximos de las funciones irracionales? 
8. Si recuerdas, la raíz cuadrada de un número es doble. Es decir, la raíz cuadrada de 4 es +2 y -2. Entonces, ¿no crees que la gráfica de la raíz cuadrada debería ser una parábola tumbada, simétrica respecto del eje x? ¿por qué entonces no sale y solo está la mitad positiva, no la mitad negativa?

Para ayudarte en estas cuestiones, te propongo esta ficha para hacerlas y una representación en papel milimetrado. Si quieres comprobar la solución de estas cuestiones tendrás que hacer la actividad de la Opción A. 

Puedes descargar la ficha y rellenarla. Acuérdate de guardarla cuando acabes. También puedes imprimirla y rellenarla en papel.

De todas las funciones irracionales, las que más habitualmente se ven y utilizan, son las de índice 2 y 3, es decir las cuadradas y las cúbicas. Así que vamos a detenernos en ellas y vamos a estudiarlas más en detalle. Para ello vamos a ayudarnos de este Geogebra de José Antonio Delgado Trujillo.

¿Has visto qué curioso? te voy a preguntar algunas cosas para que te pares a pensar Afunción:

1. Mueve el deslizador k. ¿Qué diferencias observas para k >0 y k <0?

2. Manteniendo k >0, ¿qué le ocurre a la gráfica al variar k?

3. Sitúa el índice en impar. ¿Qué simetrías observas?

4. Manteniendo índice impar, mueve el deslizador k ¿Cómo va cambiando la gráfica?

Si quieres descubrir las respuestas a estas cuestiones, tendrás que hacer la actividad de la Opción B.

Para aprender qué le pasa a las raíces cuando multiplicamos por números diferentes, o sumamos o restamos dentro de la raíz por un número, o sumamos o restamos fuera de la raíz por otro número, te traigo este geogebra de José Castellano. Fïjate bien porque después de que estés investigando el comportamiento de la función, te propongo una serie de puntos para reflexionar.

Contesta en la ficha que tienes más abajo:

1. Un cambio en la variable a ($a\sqrt{x}$). ¿Qué supone?. ¿Y si cambia el signo de la x ($a\sqrt{-x}$)?.

2. Un cambio en la variable b ($\sqrt{x+b}$). ¿Qué supone?. ¿Y si cambia el signo de la x ($\sqrt{-x+b}$)?.

3. Un cambio en la variable c ($\sqrt{x}+c$). ¿Qué supone?. ¿Y si cambia el signo de la x ($\sqrt{-x}+c$)?.

4. ¿Qué ocurre si la a=0?. ¿Y si a=0 y cambio b?. ¿Y si a=0 y cambio c?.

5. ¿Qué pasa si fijo a (por ejemplo a 3) y cambio b y c?. ¿Y si cambio el signo de la x ($\sqrt{-x}$)

6. ¿Serías capaz de encontrar la ecuación de la siguiente función (pincha aquí)?. Cuando la tengas, comprueba con geogebra.

7. Pinta en la ficha siguiente y en el papel milimetrado, la función $1'5 \sqrt{x-3}+2$.

Si quieres encontrar la respuesta a estas cuestiones, tendrás que hacer la actividad de la Opción C.

Puedes descargar la ficha y rellenarla. Acuérdate de guardarla cuando acabes. También puedes imprimirla y rellenarla en papel.

¿Sabías que por culpa de las raíces se llegó a una de las primeras CRISIS de la historia de las matemáticas?.

La escuela pitagórica

Los Pitagóricos, pensaban que el mundo estaba organizado y dominado por lo que ellos concebían como número, lo que hoy son nuestros números racionales. Pero se dieron cuenta que no todas las medidas de segmentos eran conmensurables, es decir, que había ocasiones en las que al medir un segmento tomando otra de patrón no era posible encontrar un número que lo midiera y esto es lo que se llamó LA CRISIS DE LOS RACIONALES.

Los irracionales

A partir de aquí nacieron los números irracionales y con ellos lo que los griegos llamaron "la quinta operación de la aritmética", que es lo que hoy llamamos la raíz cuadrada. Pero no te voy a hablar más de los radicales desde este punto de vista "aritmético" quiero que veas cómo son los radicales desde un punto de vista funcional. ¿Qué pasa cuando en una función intervienen radicales?.

Unas veces raíz, otras veces radical, ¡qué lío!, ¿verdad?

El símbolo que hoy utilizamos por "operador radical" \( \sqrt{\hphantom{50}}  \) fue introducido en 1525, que como operación aritmética es llamado Radicación. De esta manera al proceso de obtención de las raíces de un polinomio de grado 2 se le llama "Resolución por radicales". Los polinomios de hasta grado 4 tienen resolución por radicales, pero a partir de ahí no es posible. Se le llama raíz al resultado de la operación aritmética.

Definición

Que puede ser medido o valorado.

Ejemplo

Las medidas de las figuras eran conmensurables.