4.2. Logaritmos marchosos

Diccionario

Arqueología

La imagen muestra las Pirámides de Egipto.

Definición: Ciencia que estudia los cambios que se producen en las sociedades desde la antigüedad hasta hoy.
Ejemplo: La Arqueología es una ciencia de la antigüedad.

Astronomía

La imagen muestra la galaxia Andrómeda.

Definición: Ciencia que estudia los cuerpos celestes del universo.
Ejemplo: La función logarítmica se utiliza en la Astronomía.

Bisectriz

La imagen muestra un ángulo recto y su bisectriz.

Definición: Segmento de la recta que divide a un ángulo en dos partes iguales.
Ejemplo: Dibuja la bisectriz de un ángulo de 90 grados.

Decibelios

La imagen muestra un sonómetro midiendo los decibelios de un sonido.

Definición: Unidad que se utiliza para medir la intensidad del sonido.
Ejemplo: En el restaurante se registraron 60 decibelios.

Umbral

La imagen muestra un ruido molesto.

Definición: Intensidad mínima de un estímulo que despierta la sensación de dolor.
Ejemplo: El oído humano entra en el umbral del dolor a partir de 120 decibelios.

Bueno, bueno Afunción, vamos a estudiar los logaritmos. Para ello, te propongo salir esta noche por Pradollano. ¿Te apetecería cenar en un buen restaurante, después tomar unos refrescos en un pub y para finalizar, ir a bailar a la discoteca? Será una buena forma de explicarte esta nueva función.

La respuesta afirmativa de Afunción no se hizo esperar, le gustaba salir y, además, estaba intrigada sobre lo que le iba a enseñar Rectoparábolo y cómo lo haría.

Lectura facilitada

Afunción vas a estudiar los logaritmos.

Rectoparábolo le propone a Afunción salir por Pradollano.

Cenar en un restaurante.
Tomar algún refresco en un pub.
Bailar en una discoteca.

Kardia dice... ¿Te has preguntado cómo se mide el sonido?

La imagen muestra un retrato de Graham Bell

El oído humano es capaz de percibir un rango enorme de intensidades sonoras, este rango varía de una persona a otra, considerándose el de audición de . Para poder medir la intensidad de los sonidos, se utilizan los belios y , en honor a Alexander Graham Bell. Se aplica esta escala porque aunque la intensidad crece de forma geométrica, la sensación percibida lo hace de forma aritmética. Esta escala se basa en la función logarítmica, de crecimiento más lento, en concreto del logaritmo en base 10, proporcionando una forma de medir más adecuada para magnitudes cuyos rangos de variación son muy grandes. Así, por ejemplo, si no consideramos el logaritmo, la x varía entre $10^{-12}$ hasta $1$; al considerar el decibelio, que es varía de 0 a 120 decibelios, que es el umbral del dolor.

Lectura facilitada

El oído humano es capaz de percibir diversas intensidades sonoras.

El nivel mínimo de un sonido para percibirlo es de $ 10^{-12}\ watios/m^2$.

La intensidad del sonido se mide con los $watios/m^2$.

Los $watios/m^2$ es una unidad del sistema internacional.

Para medir la intensidad de los sonidos se utilizan los belios y decibelios.

Esta unidad de medida se llama así en honor a Alexander Graham Bell.

Esta escala se basa en la función logarítmica en base 10

para medir magnitudes muy grandes.

Sin considerar el logaritmo.
- La $x$ varía entre $10^{-12}$ hasta 1.
Al considerar el decibelio.
- El decibelio es $10\cdot \log(10^{12}\cdot x)$.
- Varía de 0 a 120 decibelios.
- 120 decibelios es el umbral del dolor.

1. Logaritmos ruidosos

Rectoparábolo dice... Fíjate Afunción, durante esta salida nocturna hemos estado en tres lugares diferentes. En el restaurante, dónde podíamos mantener una conversación tranquila y el ruido era mínimo, había unos 50 decibelios. Después en el pub, ya hemos tenido problemas para podernos escuchar y hablábamos más fuerte, aquí la intensidad del sonido era de 70 decibelios. Para finalizar la noche, estuvimos en una discoteca, hablábamos a voces y no escuchábamos nada, había 110 decibelios.

La imagen muestra unas personas bailando

Para medir la intensidad sonora se utiliza una unidad de medida diferente, que quizás no has visto en Física todavía, se llama watios por metro cuadrado. Así, si yo midiera la intensidad en watios/m² en el restaurante, obtendría que es igual que 10^-7, no es un número muy bonito para trabajar; pero si yo aplico la función que utilizamos para calcular los decibelios, (con logaritmos)

f(x) = 10 \cdot log \left ( \frac {x}{10^{-12}} \right ) = 10 \cdot log (10^{12}x),\ con\ x\ en\ watios/m^2

Obtendremos: $10 \cdot log(10^{12} \cdot 10^{-7} )=50$. ¡¡¡Se simplifican mucho los cálculos y es tenemos un número natural para trabajar!!!

Te enseño la gráfica de la función $f(x)=10 \cdot log( 10^{12}x) $.

Lectura facilitada

Afunción y Rectoparábolo han estado en tres lugares diferentes.

En el restaurante podían hablar tranquilamente y había poco ruido.
- La intensidad del sonido del restaurante era de 50 decibelios.
En el pub había más ruido.
- La intensidad del sonido del pub era de 70 decibelios.
En la discoteca hablaban a voces.
- La intensidad del sonido de la discoteca era de 110 decibelios.

Mide en el restaurante la intensidad en $watios/m^2$.

Obtienes que es igual que $10^{-7}$.

Aplica la función logarítmica que utilizas para calcular los decibelios

f(x) = 10 \cdot log \left ( \frac {x}{10^{-12}} \right ) = 10 \cdot log (10^{12}x),\ con\ x\ en\ watios/m^2

Obtienes $10 \cdot log(10^{12} \cdot 10^{-7} )=50$

50 es un número natural.

Fíjate en la gráfica de la función $f(x)=10 \cdot log( 10^{12}x) $.

2. Definición de función logarítmica

La función logarítmica es aquella función cuya expresión algebraica es $ f(x)=log_a(x)$ con $a>0$ y $a\neq1$. Cuya gráfica es:

La imagen muestra la representación gráfica de la función.

Lectura facilitada

La función logarítmica es una función.

La expresión algebraica de la función logarítmica es $ f(x)=log_a(x)$

$a>0$.
a es mayor que 0.
$a\neq1$.
a es distinto de 1

Fíjate en la gráfica.

La imagen muestra la representación gráfica de la función.

3. Características

A continuación, vamos a estudiar las características de esta nueva función $f(x)=\log_a x$, esto nos ayudará a diferenciarla de las otras funciones.

Dominio

Está formado por el conjunto de todos los números reales que hacen que el argumento de la función sea mayor que cero. Hay que recordar que no se pueden realizar los logaritmos de números negativos o del cero.

Siempre que la expresión de la función sea de la forma $f(x)=log_a(x)$, su dominio estará formado por todos los valores que hagan que la variable independiente $x>0$, es decir, el dominio estará formado por todos los números positivos, $Dom(f(x))=(0,+\infty)$.

En el caso en que en la función logarítmica no apareciera sola la $x$, tendríamos que resolver la inecuación de primer grado que resulta para poder obtener su dominio.

La imagen muestra la gráfica de la función — Para la función $ f(x)=log_5(3x-9)$, su dominio será el conjunto de los números reales que hagan que $3x-9>0$. Cuando resuelves la inecuación obtienes que $x>3$, por lo tanto el $Dom(f(x))=(3,+\infty)$

Recorrido o imagen

El recorrido o imagen de esta función es el conjunto de los números reales, $Img(f(x))=\ \mathfrak{R}$.

Puntos de corte

Si la función logarítmica tiene por expresión $f(x)=log_a(x)$, no va a cortar nunca al eje Y. Mientras que al eje X lo cortará en el punto (1,0).

Además, todas estas funciones pasan por el punto (a,1), ya que, por las propiedades de los logaritmos, $log_a(a)=1$.

La imagen muestra los puntos de corte — Puntos de corte para $f(x)=log_3(x)$

Simetría

La función logarítmica no tiene simetría.

Monotonía

Para estudiar su monotonía, hay que tener en cuenta si la base del logaritmo es mayor o menor que 1.

Si $a>1$, entonces será creciente.

Si $0<a<1$ entonces será decreciente.

$La imagen muestra la monotonía con $0<a<1$$

Máximos y mínimos relativos

Esta función no tiene ni máximos, ni mínimos.

Curvatura

La curvatura es una propiedad o característica de las funciones. La curvatura de una función es la desviación que tiene la gráfica de la función respecto de una recta. Hay dos tipos de curvatura cóncava y convexa. Estudiar la curvatura de una función es obtener los intervalos en los que la función es cóncava o convexa. En la figura están representadas dos parábolas, una cóncava y otra convexa; ya que con esta función es más fácil de entender el concepto de cóncavo y convexo.

La imagen muestra la representación de una función cóncava frente a una convexa

En el caso de nuestra función, y al igual que sucedía en la monotonía, hay que distinguir si $a$ es mayor o menor que 1.

Si $a>1$, entonces será cóncava.

Si $0<a<1$ entonces será convexa.

$La imagen muestra la monotonía con $0<a<1$$

Continuidad

Es una función continua en todo su dominio de definición.

Asíntotas

En ocasiones, interesa conocer cómo se comporta una función cuando la variable x se aproxima a un determinado valor. Las asíntotas verticales son rectas a las que la función se va aproximando sin llegar a tocarla.

La imagen muestra la representación gráfica de la función $f(x)=log_10(x-2)$ — En este caso, la asíntota vertical es la recta x=2 (la rosa).

La función logarítmica siempre tiene una asíntota vertical. En el caso en que la expresión algebraica de la función sea $f(x)=log_a(x)$, la asíntota es el eje Y, $x=0$. Si en la función la variable independiente, $x$, no aparece sola, la asíntota se obtiene igualando a cero el argumento de la función.

Ejemplo:

Sea la función $f(x)=\log_5(3x-9)$ , para obtener su asíntota resolvemos la ecuación $3x-9=0$, obteniendo que $x=3$, que será la asíntota vertical de la función.

La imagen muestra la gráfica de la función del enunciado

Lectura facilitada

Vas a estudiar las características de la función $f(x)=\log_a x$.

Dominio

Está formado por el conjunto de todos los números reales

que hacen que el argumento de la función sea mayor que cero.

Recuerda que no se pueden realizar los logaritmos de números negativos o del cero.

En esta función $f(x)=log_a(x)$,

el dominio está formado

por todos los números positivos.

$Dom(f(x))=(0,+\infty)$.

Si en la función logarítmica no aparece sola la x.

Resuelve la inecuación de primer grado para poder obtener su dominio.

Observa el ejemplo.

Sea la función $ f(x)=log_5(3x-9)$

Su dominio es el conjunto de los números reales que hagan que $3x-9>0$.

Resuelve la inecuación y obtienes que $x>3$

El dominio es $Dom(f(x))=(3,+\infty)$.

Recorrido o imagen

El recorrido o imagen de esta función es el conjunto de los números reales.

$Img(f(x))=\ \mathfrak{R}$.

Puntos de corte

La función logarítmica tiene por expresión $f(x)=log_a(x)$.

No corta al eje Y.

Corta al eje X en el punto (1,0).

Todas las funciones pasan por el punto (a,1).

Se cumple que $log_a(a)=1$.

Puntos de corte para $f(x)=log_3(x)$

Simetría

La función logarítmica no tiene simetría.

Monotonía

Observa si la base del logaritmo es mayor o menor que 1.

Si $a>1$ es creciente.

Si a es mayor que 1.

Es creciente

Si $0<a<1$ entonces será decreciente.

Si $0<a<1$ es decreciente.

Es decreciente.

$La imagen muestra la monotonía con $0<a<1$$

Máximos y mínimos relativos

Esta función no tiene ni máximos, ni mínimos.

Curvatura

La curvatura es una propiedad o característica de las funciones.

La curvatura de una función es la desviación

que tiene la gráfica de la función respecto de una recta.

Hay dos tipos de curvatura cóncava y convexa.

La curvatura de una función se calcula estudiando

los intervalos en que esta función es cóncava o convexa.

En la figura están representadas dos parábolas.

una cóncava y otra convexa.

Distingue si $a$ es mayor o menor que 1.

Si $a>1$

Si $a$ es mayor que 1 la función es cóncava.

Si $0<a<1$, entonces será convexa.

0 es menor que $a$

a es menor que 1

La función es convexa

$La imagen muestra la monotonía con $0<a<1$$

Continuidad

Es una función continua en todo su dominio de definición.

Asíntotas

La función logarítmica siempre tiene una asíntota vertical.

En $f(x)=\log_a(x)$, la asíntota es el eje Y.

El eje $x=0$.

Si en la función la variable independiente $x$ no aparece sola,

la asíntota la obtienes igualando a cero el argumento de la función.

Por ejemplo.

Sea la función $f(x)=\log_5(3x-9)$.

Resuelve la ecuación $3x-9=0$ para obtener su asíntota.

Obtienes que $x=3$

$x=3$ es la asíntota vertical de la función.

La imagen muestra la gráfica de la función del enunciado

En este gráfico, la asíntota es la recta verde.

Audio

Apoyo visual

4. La inversa de la función logarítmica

La función logarítmica, $f(x)=log_a(x)$, es la inversa de la función exponencial, $g(x)=a^x$, por tanto, sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer-tercer cuadrante.

De forma análoga, la función logarítmica, $f(x)=log_{\frac{1}{a}}(x)$, es la inversa de la función exponencial, $ g(x)=\left ( \Large \frac{1}{a} \right )^x$, y sus gráficas también van a ser simétricas respecto de la bisectriz del primer-tercer cuadrante.

La imagen muestra la gráfica de la función

Lectura facilitada

La función logarítmica, $f(x)=log_a(x)$

La función exponencial, $g(x)=a^x$.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Las gráficas de la función logarítmica y

las gráficas de la función exponencial son simétricas

respecto de la bisectriz del primer-tercer cuadrante.

La imagen muestra la gráfica de la función

La función logarítmica $f(x)=log_{\frac{1}{a}}(x)$ es la inversa

de la función exponencial $ g(x)=\left ( \Large \frac{1}{a} \right )^x$

Las gráficas

de la función logarítmica y

las gráficas de la función exponencial son simétricas

respecto de la bisectriz del primer-tercer cuadrante.

La imagen muestra la gráfica de la función

5. Transformaciones

$f(x)=\ b\ \cdot \log_a(x)$

La primera transformación que hacemos con la función logarítmica es multiplicarla por un número: $f(x)=\ b\ \cdot \log_a(x)$. Si el número $b>0$, entonces la función tiene las mismas características que la de partida, en lo único que difiere es que su crecimiento es más rápido a medida que $b$ es más grande.
Si $b$ es negativo, la función pasa de ser creciente a decreciente y, al igual que sucedía en el caso anterior, la función decrece más rápidamente si $b$ es menor.

$f(x)=log_a(x) \pm c$

La segunda transformación que realizamos, consiste en sumar o restar un número al logaritmo, $f(x)=log_a(x) \pm c$. Según sea $c$ positivo o negativo, la función se desplaza arriba o abajo.

$f(x)=\log_a(d \cdot x)$

En la tercera transformación, multiplicamos la variable independiente, $x$, del argumento, por un número, la expresión de la función es $f(x)=\log_a(d \cdot x)$. Cuanto mayor sea $d$, en valor absoluto, más se va a aproximar la función al eje Y.

$f(x)=\log_a(x\pm s)$

Finalmente, transformamos la función sumándole o restándole un número a la variable independiente, $x$, del argumento, por lo que obtenemos una nueva función $f(x)=\log_a(x\pm s)$. Hay un desplazamiento de la función en el eje X, hacia la izquierda si $s$ es negativo, y hacia la derecha si $s$ es positivo.

Lectura facilitada

$f(x)=\ b\ \cdot \log_a(x)$

Multiplica la función logarítmica por un número: $f(x)=\ b\ \cdot \log_a(x)$.
Si el número $b>0$ la función tiene las mismas características que la de partida.
Su crecimiento es más rápido a medida que $b$ es más grande.
Si $b$ es negativo la función pasa de ser creciente a decreciente
La función decrece más rápidamente si $b$ es menor.

$f(x)=log_a(x) \pm c$

Suma o resta un número al logaritmo.
La expresión de la función es $f(x)=log_a(x) \pm c$.
Según sea $c$ positivo o negativo
La función se desplaza arriba o abajo.

$f(x)=\log_a(d \cdot x)$

Multiplica la variable independiente $x$ por un número.
La expresión de la función es $f(x)=\log_a(d \cdot x)$.
Cuanto mayor sea $d$ más se va a aproximar la función al eje Y.

$f(x)=\log_a(x\pm s)$

Suma o resta un número a la variable independiente $x$.
La expresión de la función es $f(x)=\log_a(x\pm s)$.
Hay un desplazamiento de la función en el eje X.
La función se desplaza hacia la izquierda si $s$ es negativo.
La función se desplaza hacia la derecha si $s$ es positivo.

6. Logarítmicas importantes

Existen dos funciones logarítmicas muy importantes y utilizadas en otras disciplinas.

La imagen muestra un retrato de John Napier

La primera de ellas la hemos visto al principio de esta sección, $f(x)=\log (x)$. En este caso, el logaritmo que forma parte de la función es en base 10.
En el caso de la segunda función, $ f(x)=\ln (x) $, el logaritmo que forma parte de ella es de base el número $e$, y se denomina logaritmo natural o neperiano, en honor al matemático John Napier.

Lectura facilitada

Existen dos funciones logarítmicas muy importantes.

Son funciones logarítmicas utilizadas en otras disciplinas.

La imagen muestra un retrato de John Napier

Función logarítmica $f(x)=\log (x)$.
- El logaritmo que forma parte de la función es en base 10.
Función logarítmica $ f(x)=\ln (x) $.
- El logaritmo que forma parte de ella es de base el número $e$.
- Se denomina logaritmo natural o neperiano, en honor al matemático John Napier.

7. Entrenamos las funciones logarítmicas

Rectoparábolo dice...

Afunción, espero que te hayas divertido aprendiendo las funciones logarítmicas, que aunque el nombre puede parecer raro, son muy útiles para todas las disciplinas y fáciles de entender.

Ahora te reto a comprobar que te has enterado bien de todo.

¡Vamos a comprobarlo!

Opción A. Estudio su gráfica

https://www.geogebra.org/m/qabqjzh6 (Ventana nueva)

Proyecto%20REA%20Andaluc%EDa,https%3A//www.geogebra.org/m/qabqjzh6,GG_MAT4ESO_REA3_Logaritmos_marchosos_opcA,0,Autor%EDa

Opción B. Emparejamos logaritmos

Opción C. ¿Cuánto sabes de la función logarítmica?

Opción D: ¡A representar!

Representa en tu cuaderno las siguientes funciones logarítmicas en tu cuaderno.

$f(x)=\log_{10}(x-6)$
$g(x)=\ln (3-x)$
$h(x)=\log_{\frac{1}{3}}(2x-10)$
$s(x)=\log_3(x+5)-4$

Lumen dice... ¿Necesitas ayuda?

Paso 1

Calcula el dominio de la función resolviendo la inecuación que obtienes al hacer el argumento del logaritmos mayor que cero.

Paso 2

Dibuja la asíntota vertical que obtienes al igualar el argumento del logaritmo a cero.

Paso 3

Para finalizar confecciona una tabla de valores y representa los puntos obtenidos. Recuerda que solamente le puedes dar valores del dominio de definición de la función.

Puedes usar la calculadora para obtener los valores de la y. Aunque con la calculadora solo puedes hacer el logaritmo neperiano y el logaritmo en base diez, puedes aplicar un cambio de base y así calcular el logaritmo en cualquier base. La fórmula del cambio es:

\log_a b = \frac {\ln b}{\ln a} \ \ \ \ \text o \ \ \ \ \log_a b = \frac {\log b}{\log a}

Opción E: Temblamos con los logaritmos

La escala de Ritcher se utiliza para medir la magnitud de un terremoto. Su fórmula es $M=\log \left ( \Large \frac {I}{10^{-4}} \right ) $. $M$ es la magnitud del terremoto en la escala Ritcher, $I$ es la intensidad del terremoto medida por la amplitud del sismómetro tomada a 100 km del epicentro y $10^{-4}$ la intensidad de un terremoto estándar.

El uno de noviembre de 1755 se produjo un terremoto en Lisboa de magnitud 8,5 en la escala Ritcher.

¿Sabrías decir cuál fue la intensidad, $I$, de dicho terremoto?
¿Cuál sería la magnitud de un terremoto cuatro veces más fuerte que el de Lisboa?
Dibuja la función magnitud de un terremoto, $M$.

Lumen dice... ¿Puedo ayudarte?

Para la primera pregunta tendrías que resolver una ecuación logarítmica, despejando $I$.

Para la segunda pregunta, considera $4I$, y aplicando las propiedades de los logaritmos, obtén $M$.

8. Las funciones logarítmicas en otras disciplinas

Rectoparábolo dice...

Afunción, seguro que te has planteado si la función logarítmica solo sirve para medir la intensidad de los sonidos. La verdad, es que no te hubiera explicado tan extensamente esta función si solo sirviera para eso. La función logarítmica se utiliza en muchas otras disciplinas que van desde la Astronomía hasta la Arqueología.

Aquí te dejo un vídeo para que puedas ver algunas de sus aplicaciones.

Ahora te toca buscar otros ejemplos de la aplicación de las funciones logarítmicas.

Clavis dice... ¿Cuántas veces te has distraído al hacer las actividades?

Seguro que cuando estabas haciendo las actividades anteriores, como por ejemplo la actividad en la que tienes que emparejar logaritmos, ha ocurrido algo que te ha hecho parar. Puede que te pusieras a pensar en las cosas que ibas a hacer esta tarde, que el profe haya hablado con alguien, que te hayas acordado de algo que hiciste ayer...

Cuando aprendemos estamos rodeados de cosas que nos pueden distraer. Al volver a la actividad te cuesta más trabajo centrarte.

Por eso es importante que aprendas a controlar tus distracciones. Te doy algunos consejos:

Concéntrate bien en la actividad que tienes que realizar.
Si tiene muchos pasos o es muy difícil, haz descansos cortos para descansar.
Si te molesta lo que hay a tu alrededor trata de ver si puedes reducirlo: cierra las ventanas, pide silencio.
Piensa que si te distraes tardarás más tiempo en terminar.

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento No comercial Compartir igual 4.0

Arqueología

Astronomía

Bisectriz

Decibelios

Umbral

Dominio

Recorrido o imagen

Puntos de corte

Simetría

Monotonía

Máximos y mínimos relativos

Curvatura

Continuidad

Asíntotas

Dominio

Recorrido o imagen

Puntos de corte

Simetría

Monotonía

Máximos y mínimos relativos

Curvatura

Continuidad

Asíntotas

\(f(x)=\ b\ \cdot \log_a(x)\)

\(f(x)=log_a(x) \pm c\)

\(f(x)=\log_a(d \cdot x)\)

\(f(x)=\log_a(x\pm s)\)

\(f(x)=\ b\ \cdot \log_a(x)\)

\(f(x)=log_a(x) \pm c\)

\(f(x)=\log_a(d \cdot x)\)

\(f(x)=\log_a(x\pm s)\)

Paso 1

Paso 2

Paso 3