Es el momento de aprender un nuevo tipo de funciones, las funciones de proporcionalidad inversa.
Estas funciones son diferentes a todas las estudiadas hasta ahora, dado que tienen dos trozos...
Uhhh ¡qué curioso!
Aprende las funciones de proporcionalidad inversa.
Estas funciones tienen dos trozos.
¡Es curioso!
Una función de proporcionalidad inversa es una función en la qué el producto de las dos variables es constante \( (x\ \cdot\ y\ =\ k\ )\)
Por lo tanto son funciones que responden a la ecuación \( y=\Large{ {k} \over {x}} \) y se representan mediante hipérbolas, su gráfica es:
.png "Función de proporcionalidad inversa")
El producto de las dos variables es constante en la función de proporcionalidad inversa \((x \cdot y\ =\ k )\)
Las funciones de proporcionalidad inversa responden a la ecuación \(y\ =\ \Large\frac{k}{x}\).
Las funciones de proporcionalidad inversa se representan mediante hipérbolas.
Fíjate en la gráfica de la función de proporcionalidad inversa.
Vamos ahora a estudiar las propiedades de estas funciones a partir de la función más sencilla: \( y=\Large\frac{1}{x}\)
Las funciones de proporcionalidad inversa no están definidas para x=0.
Cuando la función se acerca a 0, por valores muy próximos a este valor toma valores cada vez más grandes. Lo mismo ocurre al alejarnos de 0, en este caso la función disminuye de valor. Por ello, tiene una asíntota vertical en x=0.
Las funciones de proporcionalidad inversa nunca se anulan.
Cuando tomamos valores muy grandes (tanto positivos como negativos) va tomando valores cada vez más pequeños. Por ello, tiene una asíntota horizontal en y=0.
Vas a estudiar las propiedades de las funciones de proporcionalidad inversa.
.png "Asíntota horizontal")
Asíntotas
Una función es simétrica si una parte de la función es imagen especular de la otra parte.
Las funciones son simétricas respecto al origen de ordenadas.
Para cualquier punto de la función f(-x)=-f(x)
Las funciones son simétricas respecto al eje de ordenadas.
Para cualquier punto de la función f(-x)=f(x)
Definición
División de una imagen o figura por su eje central, de forma que se vea que ambos lados son iguales.
EjemploLa función es simétrica.
Son muchas las curvas que pertenecen a la familia de las hipérbolas. Vamos a ver cada una de ellas utilizando el siguiente Geogebra.
.png "Función 3/x")
Es la modificación más sencilla de la hipérbola. En ella no se modifica ni el dominio ni el recorrido. Mantiene las mismas asíntotas.
Al aumentar el valor de k (valor absoluto) la gráfica se va separando del origen de coordenadas.
Al cambiar el signo de k cambian los cuadrantes en los que se representa.
.png "Función 3/(x-1)")
En esta modificación la gráfica se desplaza en la horizontal. Se modifica el dominio de la función qué es R-{a}. La asíntota vertical se sitúa en x=a.
Si a>0, la gráfica se desplaza hacia la izquierda, a unidades.
Si a<0, la gráfica se desplaza hacia la derecha, a unidades.
.png "Función (3/x)+1")
En esta modificación la gráfica se desplaza en la vertical. Se modifica el recorrido de la función que es R-{b}. La asíntota horizontal se sitúa en y=b.
Si b>0, la gráfica se desplaza hacia arriba, b unidades.
Si b<0, la gráfica se desplaza hacia abajo, b unidades.
.png "Función (3/(x-1)-1")
Este es el caso más complejo, dado qué la gráfica se desplaza tanto en horizontal como en vertical.
Por lo tanto se modifica, tanto el el dominio de la función qué pasa a ser R-{a}, domo el recorrido de la función qu é pasa a R-{b}.
La asíntota horizontal se sitúa en y=b. La asíntota vertical se sitúa en x=a.
La gráfica se desplaza hacia arriba b unidades (si b<0 lo hace hacia abajo) y hacia la izquierda a unidades (si a>0 hacia la derecha).
Son muchas las curvas que pertenecen a la familia de las hipérbolas. Vamos a ver cada una de ellas utilizando el siguiente Geogebra.
Definición
Software de matemáticas para todos los niveles educativos.
EjemploRealiza la actividad utilizando Geogebra.
Comprueba todo lo aprendido sobre las hipérbolas utilizando el siguiente Geogebra.
Afunción, como has visto las funciones de proporcionalidad inversa son muy interesantes y tienen propiedades nunca vistas hasta ahora. Practica con ellas, hasta dominarlas.
Te apuntas tú también...
Sigue las instrucciones de la actividad y encuentra la función que aparece representada en cada uno de los casos.
https://www.geogebra.org/m/zghbsvnn (Ventana nueva)
Como ves hay muchas posibilidades para prácticar hasta que las domines.
Dadas las hipérlolas:
\(y=\Large{2\over x}\)
\(y=\Large{{-2}\over{(x-2)}}\)
\(y=\Large{\left ( 3\over x \right )} \normalsize +3\)
\(y=\Large{\left ( {-3} \over {(x-3)} \right )} \normalsize +2\)
Represéntalas en tu cuaderno
Una bombona de butano contiene 12,5 l. de gas a una presión de 3 atm., teniendo en cuenta que la Presión y el Volumen de un gas mantienen una relación de proporcionalidad inversa, contesta a estas cuestiones.
Utiliza cada uno de estos valores para representar la relación P-V de dicho gas.
Son multiples los parámetros de la física, la química, biología, ... que guardan entre sí una relación de proporcionalidad inversa.
Encuentra tres fórmulas en las que dos de sus variables guaden entre sí una relación de proporcionalidad inversa. Recoge las fórmulas en tu cuaderno y trabaja por parejas para ver si habéis coincido o no.
Hay muchas situaciones de la vida cotidiana cuyas variables guardan entre sí una relación de proporcionalidad inversa. Te muestro alguna de ellas.
Tenemos un cuadrilátero de lados a y b.
El área del cuadrilátero: \(A=a*b\)
Para un área constante al aumentar el lado a, disminuye el b
Para un gas a temperatura constante, el volumen es inversamente proporcional a la presión sobre éste.
\(P*V=cte.\)
Cuando aumenta la presión, el volumen baja, mientras que si la presión disminuye, el volumen aumenta.
Establece que la diferencia de potencial V que aplicamos entre los extremos de un conductor es directamente proporcional a la intensidad de la corriente I que circula por el citado conductor, dicho factor de proporcionalidad es la resistencia R, del mismo.
\( V=I*R\ \to\ I=\Large{V\over R}\normalsize\ \to\ R=\Large{V\over I}\)
Se define el caudal como el volumen de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo.
\(Q=\Large{V\over T}\)
Seguro que recuerdas otros ejemplos de otras asignaturas. ¡Anímate y busca funciones inversas consultando tus libros de ciencias!
Es un polígono con cuatro aristas y cuatro vértices.
EjemploMide los lados del cuadrilátero.
Magnitud que se define como la derivada de la fuerza con respecto al área.
EjemploMide la presión del gas.
Cantidad de espacio que ocupa un objeto tridimensional.
EjemploCalcula el volumen de un prisma.
Es muy frecuente que cuando estamos trabajando hablemos en silencio con nosotros mismos. Es una forma de comprender mejor lo que hacemos y de buscar soluciones a las tareas o actividades.
Te aconsejo que lo hagas con mucha frecuencia porque te ayudará a:
Habla contigo mismo y aprenderás mejor.
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