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4.5.1. La gráfica del quesito

Diccionario

Expresión Algebraica

Imagen de una expresión algebraica escrita en una pizarra.

Definición

Es una combinación de letras y números relacionadas por operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación y división. A las letras les llamamos incógnitas porque no sabemos su valor.

Ejemplo

3x o x-7

Ecuación

Imagen de una ecuación escrita en una pizarra

Definición

Una ecuación son dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). Las incógnitas de una ecuación tienen un valor concreto que tienes que averiguar.

Ejemplo

2x-5=8x

Directamente proporcional

Imagen de sectores cuya área es proporcional a la frecuencia que representa

Definición

Dos cantidades son proporcionales cuando una de las cantidades al hacerse más grande o más pequeño, la otra cantidad lo hace en la misma proporción.

Ejemplo

La frecuencia absoluta de un valor de la variable es 4 y el ángulo que le corresponde es 20º, entonces si la frecuencia absoluta de otro valor es 8, el ángulo que le corresponde es 40º.

Proporcional

Imagen del precio proporcional de una compra según el número de botellas que compres

Definición

Es la relación que existe entre dos magnitudes  como el peso o la longitud cuando tienen una proporción o razón constante, es decir, el resultado de dividir dos valores relacionados es siempre el mismo.

Ejemplo

1 botella vale 0,60 €.

0,60=0,60*1

2 botellas valen 1,20 €.

1,20=0,60*2

5 botellas valen 3 €.

3=0,60*5

El precio es proporcional al número de botellas.

¿Necesitas recordar qué es un Diagrama de Sectores?

Tabla para construir un diagrama de sectoresEste gráfico puede realizarse con cualquier tipo de variable. Se trata de un círculo en el que señalamos varios sectores. 

diagrama de sectores

Cada uno de ellos representa una modalidad de la variable, de forma que su amplitud es proporcional a su frecuencia absoluta. 

Para realizar un gráfico de sectores añadimos a la tabla de frecuencias dos nuevas columna. Una con las frecuencias relativas y otra en la multiplicamos la frecuencia relativa por 360º, para obtener la amplitud del sector correspondiente.

Imagen del precio proporcional de una compra según el número de botellas que compres

Definición:

Es la relación que existe entre dos magnitudes  como el peso o la longitud cuando tienen una proporción o razón constante, es decir, el resultado de dividir dos valores relacionados es siempre el mismo.

Ejemplo:

1 botella vale 0,60 €.

5 botellas valen 3 €.

3=0,60*5

El precio es proporcional al número de botellas.

Easier to read

Diagrama de sectores.

Este gráfico puede realizarse con cualquier tipo de variable. 

El diagrama de sectores es el gráfico de un círculo dividido en varias partes.     

Estas partes se llaman sectores.                                                                                       

Cada sector representa un valor de la variable.                                                         

El ángulo del sector es proporcional al número de veces que se repite el dato. 

El diagrama de sectores se usa para representar porcentajes.

Por ejemplo:     diagrama des sectores


Para realizar un gráfico de sectores añade: 

  • Una columna de frecuencia relativa.

  • Otra columna de amplitud del sector.

    donde se multiplica cada frecuencia relativa por 360º.
LUGAR

FRECUENCIA ABSOLUTA 

(NÚMERO DE

VOTOS)

FRECUENCIA

RELATIVA

AMPLITUD DEL SECTOR
CABO DE GATA 5

5 : 15 = 0,33

0,33 · 360º = 118,8º

SIERRA DE

CAZORLA

 2 

2 : 15 = 0,13

0,13 · 360 = 46,8º

SIERRA DE

ARACENA

  4

4 : 15 = 0,27

  0,27 · 360 = 97,2º
COSTA DEL SOL 4

4 : 15 = 0,27

0,27 · 360 = 97,2º
 

SUMA TOTAL=

15

  SUMA TOTAL = 1 360º

El resultado de cada multiplicación es la parte correspondiente a cada sector.

1. De sectores va la actividad

Rétor dice...¡Anímate a elegir más de una de las siguientes opciones de esta actividad! En cada una de ellas descubrirás las características y la utilidad de los diagramas de sectores para representar datos de una encuesta. 

Opción A: Representando la información con sectores

¿Recuerdas como elegimos el destino al que queríamos ir de viaje?. Después de votar elegimos el destino más votado.

El director del periódico del centro te ha pedido una gráfica para incluirla en el artículo que informa sobre ello, pero no le ha convencido. mucho como ha quedado.

¿Por qué no le haces un diagrama de sectores?

Lugar al que vamos de viaje Frecuencia
Francia 20
Italia 27
Alemania 13
Portugal 10

Opción B: ¿Dónde vamos de viaje?

 Teniendo en cuenta la tabla de frecuencias del enunciado y la siguiente relación de colores, colorea cada zona del diagrama de sectores que te ha entregado el profesor/a.

Francia --> Azul

Italia --> Rojo

Alemania --> Naranja

Portugal --> Verde

Una vez coloreado el diagrama de sectores, escribe en tu cuaderno cuál es la opción correcta para nuestro ejemplo. No olvides anotar los porcentajes que se indican.

Puedes ayudarte del siguiente ejercicio interactivo.

                              

Descarga de Diagrama de sectores en blanco

Retroalimentación

Piensa que la opción con más frecuencia, tendrá un mayor porcentaje, y ocupará mayor espacio en el diagrama.

Opción C: Utilizamos el quesito

Observa la tabla y contesta a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el total de alumnos y alumnas que han participado en la encuesta?

b)¿Qué porcentaje de alumnado quiere ir a cada país?

c) Indica el color que corresponde a cada país.   

Imagen de un diagrama de sectores donde se muestran los porcentajes de las distintas opiniones sobre dónde ir de viaje

       

     

Comprueba tus resultados

a) ¿Cuál es el total de alumnos y alumnas que han participado en la encuesta?

Para averiguar el total de alumnos y alumnas que han participado, debemos sumar todas las frecuencias:

Total alumnado: 16+21+18+15=70

b)¿Qué porcentaje de alumnado quiere ir a cada país?

Para calcular el porcentaje de alumnos y alumnas que han elegido cada país, basta con ver qué proporción del total tiene cada opción. 

Luego:

Francia= \( \frac{20}{70}\)

Italia= \( \frac{27}{70}\)

Alemania= \( \frac{13}{70}\)

Portugal= \( \frac{10}{70}\)

¿Puedes calcular ya, el porcentaje asociado a cada país?

c) Indica el color que corresponde a cada país.   

 El orden de colores y países de mayor a menor, atendiendo a los porcentajes obtenidos es:

Italia: Rojo

Alemania: Naranja

Francia: Azul

Portugal: Verde

Opción E: Ordena tu información

Ordena las siguientes frases de forma que quede claro el procedimiento a seguir en la elaboración de un diagrama de sectores.

  • En un diagrama de sectores, cada zona es proporcional
  • a la frecuencia de cada valor de la variable
  • Por tanto, para realizar el diagrama de sectores, necesitamos averiguar
  • la frecuencia relativa de los valores de la variable
  • A continuación, tenemos que multiplicar dicha frecuencia
  • por 360º para averiguar el ángulo que abarca cada sector
  • Una vez calculados los ángulos
  • con un transportador de ángulos podremos
  • construir nuestro diagrama de sectores

Comprobar

¡Correcto!

No es correcto... Respuesta correcta:

Opción F: ¡Sigue al "Chef"!

Vamos a elaborar un diagrama de sectores para incluir en el artículo del periódico.

Debes ser una elaboración propia, así que antes de que empieces a hacerlo con los datos de de tú encuesta, debes leer y comprender el siguiente ejemplo.

Cómo sabes en un diagrama de sectores, cada zona es proporcional a la frecuencia correspondiente a cada variable.

Supongamos que preguntamos en el instituto por el color favorito de cada compañera o compañero. Los resultados obtenidos son:

Color Favorito ni
Azul 4
Rojo 13
Amarillo 5
Naranja 6
Verde 20

Paso 1

Averiguamos el total de personas que han contestado, para ello sumamos todas las frecuencias: T=4+13+5+6+20=48

Paso 2

Calculamos el porcentaje de cada respuesta:

Azul: \(\frac{4}{48} \) \(\cdot\) \(100\)=\(8,3\)

Rojo: \(\frac{13}{48} \) \(\cdot\) \(100\)=\(27,1\)

Amarillo: \(\frac{5}{48} \) \(\cdot\) \(100\)=\(10,4\)

Naranja: \(\frac{6}{48} \) \(\cdot\) \(100\)=\(12,5\)

Verde: \(\frac{20}{48} \) \(\cdot\) \(100\)=\(41,7\)

Paso 3

Añadimos la frecuencia relativa a nuestra tabla:

Color Favorito ni fi
Azul 4 0,08
Rojo 13 0,27
Amarillo 5 0,1
Naranja 6 0,13
Verde 20 0,42

Observa que hemos redondeado, para facilitar los cálculos posteriores.

Paso 4

Como el diagrama de sectores es un círculo que abarca 360º, basta con calcular el porcentaje correspondiente a cada valor de 360º. Para ello multiplicamos 360 por la frecuencia relativa. Obtenemos entonces el ángulo que le corresponde a cada color.

Color Favorito ni fi Ángulo
Azul 4 0,08 0,08·360=28,8º≈ 29º 
Rojo 13 0,27 0,27·360=97,2º≈ 97º
Amarillo 5 0,1  0,1·360=36º
Naranja 6 0,13 0,08·360=46,8º≈ 47º 
Verde 20 0,42

0,08·360=151,2º≈ 151º

Importante: Ten en cuenta que para trazar los ángulos, debes de tener en cuenta una de las rectas utilizadas en la construcción del ángulo anterior.

Paso 5

Utilizando un compás y un transportador de ángulos, dibuja tu diagrama de sectores con los datos de ángulos que has obtenido en el paso 4. En nuestro ejemplo hemos obtenido:

ES TU TURNO

Con los datos obtenidos de la encuesta ¿Dónde vamos de viaje?, realiza en tu cuaderno los cálculos oportunos y dibuja el diagrama de sectores.

¡Es tu turno!

Supongamos que preguntamos en el instituto por el color favorito de cada compañera o compañero. Los resultados obtenidos son:

País ni
Francia 16
Italia 21
Alemania 18
Portugal 15

Paso 1: Averiguamos el total de personas que han contestado, para ello sumamos todas las frecuencias: T=16+21+18+15=70

Paso 2: Añadimos la frecuencia relativa a nuestra tabla:

Para ello dividimos cada valor de la variable entre el total de datos

País ni fi
Francia 16 0,23
Italia 21 0,3
Alemania 18 0,26
Portugal 15 0,21

Observa que hemos redondeado, para facilitar los cálculos posteriores.

Paso 4: Como el diagrama de sectores es un círculo que abarca 360º, basta con calcular el porcentaje correspondiente a cada valor de 360º. Para ello multiplicamos 360 por la frecuencia relativa. Obtenemos entonces el ángulo que le corresponde a cada color.

Color Favorito ni fi Ángulo
Francia 16 0,23 360º· 0,23=82,8
Italia 21 0,3 360º·0,3=108
Alemania 18 0,26 360º· 0,26=93,6
Portugal 15 0,21 360º· 0,21=75.6

Importante: Ten en cuenta que para trazar los ángulos, debes de tener en cuenta una de las rectas utilizadas en la construcción del ángulo anterior.

Paso 5: Utilizando un compás y un transportador de ángulos, dibuja tu diagrama de sectores con los datos de ángulos que has obtenido en el paso 4. En nuestro ejemplo hemos obtenido:

Debes obtener algo así:

Opción G: Aprende del error

Uno de los grupos ha realizado los siguientes cálculos a partir de los datos del enunciado. 

Cuando han ido a construir el diagrama de sectores, los números no les han cuadrado. ¿Sabes identificar el error?

Revisa el procedimiento para encontrar y corregir los posibles errores que contiene.

% Francia: \( \frac{20}{100}\cdot70\)

% Italia: \( \frac{27}{100}\cdot70\)

% Alemania: \( \frac{13}{100}\cdot70\)

% Portugal: \( \frac{10}{100}\cdot70\)

Elabora un vídeo para tus clase explicando donde está el error y explicando cómo hacerlo correctamente.

Cálculos

Observa que el error está en la forma que han calculado el porcentaje. Han dividido entre 100 y han multiplicado el resultado por 70.

La forma correcta de hacerlo es justamente al contrario. Dividimos entre el total de datos, en este caso 70, y multiplicamos por 100 para obtener el porcentaje.

Vídeo

Ten en cuenta que el vídeo debe ser corto (Máximo 3 minutos, y debe ir "directo al grano"). Como recomendación, puedes resolver primero el ejercicio en un papel de forma clara y detallando todos los pasos y a continuación haces una grabación explicando cómo lo has resuelto.

Opción H: Ayuda a tus compañeros

En un instituto cerca del tuyo, también han realizado una encuesta para intentar decidir el destino de su viaje de fin de curso. Sus resultados los han recogido en la siguiente tabla, que como puedes observar tiene algunas casillas vacías.

Un amigo tuyo de ese centro, te ha pedido ayuda para completar la tabla.


a) Con los datos que figuran en la tabla ¿Puedes ayudarles a completar los huecos que hay?
Detalla todos los cálculos en tu cuaderno.

Lugar al que vamos de viaje

Lugar al que vamos de viaje

Frecuencia 

Absoluta

Frecuencia

Relativa

Ángulo

Francia

22

Italia

0.29

104

Alemania

86

Portugal

58

Total de datos

70


b) Analiza el procedimiento que has seguido en el apartado anterior y deduce una expresión algebraica  que permita calcular el valor de la frecuencia absoluta

expresión algebraicaDefinición:

Es una combinación de letras y números relacionadas por operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación y división. A las letras les llamamos incógnitas porque no sabemos su valor.

Ejemplo:

3x o x-7