Relación

¿Recuerdas cómo escribías los mensajes secretos utilizando la escritura jeroglífica?

Si te das cuenta, todo consiste en relacionar cada letra de nuestro abecedario con un símbolo egipcio. 

En Matemáticas, una relación es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, de manera que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde, al menos, uno del conjunto final.

Representando

Podrás representar las relaciones de varias formas, mediante:

• Un diagrama con flechas. Se representan los dos conjuntos, y se unen con flechas los elementos relacionados
• Una tabla de valores. En una tabla de dos columnas, se ponen uno junto al otro los elementos relacionados.
• Pares ordenados de números. Se hacen parejas con los elementos relacionados. Es habitual que se pongan entre paréntesis y separados por comas.

En tu ejemplo del código jeroglífico:

Necesitamos más

Pero cualquier relación no te servirá para diseñar un código.

Imagínate que algunas letras estuviesen relacionadas con varios símbolos jeroglíficos,

sería muy difícil que mandases y descifrases mensajes. Por ello, para diseñar un código no es suficiente con establecer una relación.

Función

Para crear un código, tendrás que relacionar cada elemento del primer conjunto con uno, y no más de uno, del segundo.

Necesitas una función.

Una función es una relación donde, a cada elemento del conjunto inicial, le corresponde un elemento del conjunto final.

En la siguiente ejemplo, inventamos un código en el que asignamos un único color a cada letra

El código de colores es una función, porque cada letra o símbolo tiene relacionado un color.

No es suficiente

Pero con una función no es suficiente. Mira este ejemplo de código de colores:

En este caso tienes una relación que también es función.

Todas las letras están relacionadas con colores.

Es decir, todos los elementos del primer conjunto están relacionados con algún elemento del segundo.

Pero cuando quieras descifrar el mensaje no vas a saber si el amarillo se corresponde con la letra A, o con la letra I.

Función uno a uno

Entonces, para crear un código, necesitarás que cada elemento del primer conjunto se relacione con uno del segundo, pero sin repetir ninguno de ellos. Necesitarás una función uno a uno.

Una función uno a uno, o inyectiva, es aquella en la que cada elemento del primer conjunto, está relacionado con uno distinto del segundo.

Aquí tienes dos ejemplos de función, usando códigos de colores;

Es posible, que en el segundo conjunto tengamos elementos que no estén relacionados con los del primero.

En ese caso, al crear el código, los elementos del segundo conjunto que no estén relacionados, no significarán nada.

Así que con ayuda de las funciones uno a uno, ya puedes diseñar tu propio código.

¿Cómo definir una función?

Definir una función, puede ser muy complicado. A veces, es posible que los conjuntos sean infinitos, por lo que la función está formada de infinitas relaciones. Además, los conjuntos pueden ser de cualquier cosa.

Vamos a ver distintas formas de definir una función, con un ejemplo de función. Dependiendo de qué función sea, podrán utilizarse o no estas formas.

En Matemáticas estudiamos mucho las funciones en las que los dos conjuntos están formados por números. Son las conocidas funciones numéricas. Para este caso siempre se pueden usar estas formas de definir la función.

Vamos a ver dichas maneras de definir una función usando el ejemplo de la relación que asocia a cada número, el número siguiente.

Enunciado

Mediante un enunciado, podemos definir una función:

Tabla de valores

Mediante una tabla de valores (tabularmente), colocamos en la primera columna los valores del primer conjunto y en la segunda, junto a cada uno de ellos el que está relacionado con él.

En nuestro ejemplo, La primera columna de la tabla está formada por los números naturales positivos: 1, 2, 3, 4... y la segunda columna por sus siguientes: 2, 3, 4, 5,... 

A la letra "x" que va variando en el conjunto de los números naturales positivos (dominio), se le designa variable independiente y a la letra "y" que toma los valores en los números naturales positivos a partir de 2 (recorrido) se le llama variable dependiente, ya que su valor depende del valor asignado a la "x".

Gráfica

Mediante su representación gráfica (gráficamente). Ponemos en los ejes los valores del primer conjunto(horizontal) y del segundo(vertical), y utilizamos las coordenadas cartesianas para representarlos.

En  nuestro ejemplo:

• Los números del Eje horizontal (eje de abscisas), de color marrón representan los elementos del primer conjunto.
• Los números del Eje vertical (eje de ordenadas), de color azul, representan las elementos del segundo conjunto con los que están relacionados.
• Se representan con puntos(cuadrados en este caso) sobre la cuadrícula los pares formados por un elemento y su relacionado, y juntos representan a la gráfica de la función.

Fórmula analítica

Mediante una expresión o fórmula (analíticamente).

Para utilizar esta forma de definir una función, cada elemento del primer conjunto debe estar relacionado con uno del segundo, mediante una fórmula.

Utilizaremos una incógnita, generalmente "x" para el valor del primer conjunto.

Utilizaremos f(x), generalmente, para representar el elemento del segundo conjunto con el que está relacionado x. Aunque también se utiliza la incógnita "y"

La expresión de la función de nuestro ejemplo será:

f(x) = x +1

f(x)=x+1  o  y=x+1

Al 1 le correspondería f(1)=1+1= 2  

Al 2 le correspondería f(2)=2+1=3  

...

y así sucesivamente.