Máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.)
En los apartados anteriores hemos estado planificando un viaje y hemos tenido que hacer grupos.
Gracias al máximo común divisor (en adelante m.c.d.) se pueden hacer grupos del mayor número de personas posibles considerando clases diferentes.
El mínimo común múltiplo (en adelante m.c.m.) nos puede servir para controlar el paso de los vehículos por un determinado sitio y así saber cada cuánto tiempo tardarán en volver a coincidir en su ruta.
El m.c.m. de dos o más números es el menor múltiplo común de esos números.
El m.c.d. de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de esos números.
Hay varias formas de calcular el m.c.m y el m.c.d. de dos o más números, que veremos a continuación
Cálculo del m.c.d. y el m.c.m. de varios números sin descomponerlos en producto de factores
Para calcular el m.c.m. de dos o más números deberemos conocer los múltiplos de cada número y seleccionar el menor múltiplo común a todos.
Para calcular el m.c.d. deberemos encontrar primero los divisores de cada número y seleccionar el mayor de ellos que sea común a todos.
Ejemplo: Calcula el m.c.m. de 20 y 50
Múltiplos de 20={20, 40, 60, 80, 100, 120,...}
Múltiplos de 50={50, 100, 150,...}
El m.c.m. de 20 y 50 es 100. Se suele poner m.c.m. (20, 50)=100
Ejemplo: Calcula el m.c.d. de 20 y 50
Divisores de 20: D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Divisores de 50: D(50) = {1, 5, 10, 25, 50}
El m.c.d. de 20 y 50 es 10. Se suele poner m.c.d.(20, 50) = 10
Cálculo del m.c.d. y el m.c.m. de varios números descomponiéndolos en producto de factores primos
Descompondríamos los números en productos de factores primos como hemos visto ya en el apartado anterior y luego, para calcular el m.cm, cogeríamos el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y para el m.c.d. nos quedaríamos con el producto de los factores comunes elevados al menor exponente.
Ejemplo: Calcula, descomponiendo en producto de factores, el m.c.d. y el m.c.m. de 64 y 300.
- Primero descomponemos ambos números en producto de factores primos
\begin{array}{r|r} 64 &2 \\ 32 &2\\ 16 &2 \\ 8 &2 \\ 4 &2 \\ 2&2\\ 1 \end{array}
\begin{array}{r|r} 300 &2 \\ 150 &2\\ 75 &3 \\ 25 &5 \\ 5 &5 \\ 1 \end{array}
- A continuación escribimos la descomposición factorial de ambos números:
64 = 26
300 = 22 x 3 x 52
- Finalmente, calculamos el m.c.d. y el m.c.m. eligiendo el producto de factores que mencionábamos anteriormente:
Para el m.c.m.: producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
Para el m.c.d.: producto de los factores comunes elevados al menor exponente.
m.c.d. (64,300) = 22 (el único factor común es el 2 y el de menor exponente es 22)
m.cm. (64,300) = 26 x 3 x 52 (el factor común es el 2 y elegimos el de mayor exponente, esto es 26, y los factores no comunes hay que seleccionarlos también, elevados al mayor exponente que aparecen.
