Diccionario
Recomendable
¡Un viaje por Andalucia!
5.3. ¡Nos organizamos!
1. La descomposición de números ayuda a organizarnos mejor
Para realizar la compra de entradas, desplazarnos a comer o visitar monumentos, hemos tenido que formar diferentes grupos.
En este apartado aprenderás y practicarás la descomposición factorial de un número natural y cómo nos puede ayudar a la hora de formar grupos.
Además, saber si un número es primo o compuesto nos puede ayudar a conocer si es posible realizar determinadas agrupaciones.
Descomposición de un número en producto de otros
La descomposición factorial de un número consiste en descomponer dicho número en producto de otros que llamamos factores. Así por ejemplo, una posible descomposición factorial del número 30 sería: 30 = 2 x 3 x 5
Para descomponer un grupo en grupos más pequeños (subgrupos), nos viene muy bien conocer la descomposición de un número natural en producto de dos números. Así por ejemplo, si queremos hacer subgrupos de un grupo de 30 personas podríamos hacer 30 = 3 x 10 y contar con 3 grupos de 10 personas o bien con 10 grupos de 3 personas.
También podríamos escribir 30 = 6 x 5 y decir que se pueden hacer 6 grupos de 5 personas o 5 grupos de 6 personas.
De forma general, si nos preguntaran: ¿cuántos grupos del mismo tamaño se pueden formar con 30 personas? contestaríamos:
Como 30 = 3 x 10 → Se pueden formar tres grupos de 10 personas o diez grupos de 3 personas
Como 30 = 6 x 5 → Se pueden formar seis grupos de 5 personas o cinco grupos de 6 personas
Como 30 = 2 x 15 → Se pueden formar dos grupos de 15 personas o quince grupos de 2 personas
Como 30 = 30 x 1 → Se pueden formar treinta grupos de una persona o un grupo de 30 personas
Números primos y compuestos
Cuando hacemos repartos para planificar nuestro viaje, es interesante tener claro qué son los números primos y los números compuestos para intentar hacerlos de manera exacta.
Los números primos son aquellos que solo se pueden dividir de manera exacta entre sí mismo y entre 1. Tienen, pues, dos divisores.
Un número compuesto, además de poder dividirse entre sí mismo y entre 1, también se puede dividir de manera exacta por al menos otro número. Tienen, pues, más de dos divisores.
Sobre mí, el número 1, os cuento que no soy ni un número primo ni compuesto, ya que solo tengo un divisor, yo mismo.
Descomposición de un número en producto de factores primos (factorizar)
Partiendo de las descomposiciones que hicimos anteriormente, ahora se trata de descomponer los números intentando que los factores de la descomposición sean siempre números primos. Esto nos facilitará muchos las cosas tanto para encontrar los divisores de un número como para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números.
Fíjate en el siguiente ejemplo, se trata de la descomposición del número 64:
\begin{array}{r|r} 64 &2 \\ 32 &2\\ 16 &2 \\ 8 &2 \\ 4 &2 \\ 2&2\\ 1 \end{array}
Observa que vamos dividiendo el número 64 entre el primer número primo, el 2, y el resultado, 32, lo colocamos en la parte de la izquierda, luego volvemos a dividir otra vez entre 2,... y así una y otra vez, hasta que llegamos a la unidad, el número 1, y ahí termina.
Una vez terminado este proceso, escribiríamos 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26
Fíjate en el siguiente ejemplo ahora, en el que trataremos de descomponer en producto de factores primos el número 300:
\begin{array}{r|r} 300 &2 \\ 150 &2\\ 75 &3 \\ 25 &5 \\ 5 &5 \\ 1 \end{array}
Podemos empezar a dividir por el primer número primo, el 2, ya que 300 es un número par. Y seguimos intentando dividir el resultado, en este caso 150, otra vez entre 2. En el caso de que ya no se pudiera dividir entre 2, probaríamos con el 3, tantas veces como fuera necesario, luego con el 5...siempre con números primos, hasta llegar dividiendo a la mínima expresión que es el número 1.
Una vez terminado el proceso de factorización, escribiríamos 300 = 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 22 x 3 x 52
Hay que decir que no es obligatorio empezar a intentar dividir por 2, luego por 3, luego por 5, en ese orden, aunque sí es recomendable intentar dividir por los números primos en el orden natural en que aparecen.
Definición:
Algo que te animan a realizar porque es bueno, agradable o tiene beneficios positivos.
Ejemplo:
Es recomendable hacer deporte.
Lectura facilitada
En este apartado aprenderás y practicarás:
- descomposición factorial de un número natural.
- creación de grupos a través de la descomposición factorial.
- conocimiento de números primos y compuestos.
- realizar agrupaciones tomando como referencia si se trata de números primos o compuestos.
Además, sabrás realizar ejercicios sobre:
1. La descomposición factorial.
Consiste en descomponer un número en el producto de otros.
Así por ejemplo, una posible descomposición factorial del número 30 sería: 30 = 2 x 3 x 5
2. Identificar números primos y números compuestos.
Los números primos son aquellos que solo se pueden dividir de manera exacta entre sí mismo y entre 1.
Los números compuestos, además de poder dividirse entre sí mismo y entre 1, también se puede dividir de manera exacta por al menos otro número.
3. Factorizar
Consiste en descomponer los números intentando que los factores de la descomposición sean siempre números primos.
2. ¿Sabías que....?
Los números primos sexis
- Los números primos sexis son parejas de números primos que se diferencian en 6 unidades
- Se llaman así porque 6 en latín se escribe SEX, y en inglés se escribe SIX.
- Por ejemplo el 5 y el 11 son una pareja de números primos sexis pues si los restamos 11-5, nos da 6.
- La siguiente pareja de números primos sexis es 7 y el 13.
- ¿Sabrás averiguar cuál será la siguiente pareja de números primos sexis? Seguro que si, piensa un poco y comparte tu descubrimiento con tus compañeros y compañeras.
¡Qué bonitos y sexis son los números!
3. Practicando la descomposición factorial de números
Ahora vamos a poner en práctica lo aprendido en este apartado, esto es, la descomposición de números y los números primos y compuestos.
Opción A: Queremos organizarnos y formar grupos
Opción B: Ayúdate de la descomposición a la hora de multiplicar números
La descomposición en producto de factores nos puede ayudar a la hora de multiplicar. Por ejemplo para multiplicar 12 x 15 podemos hacer 12 x 15 = (3 x 4) x (3 x 5) = (agrupando convenientemente) = 9 x 20 = 180
Retroalimentación
Verdadero
Agrupando convenientemente los factores tendríamos el desarrollo y resultado pedido.
8 x 25 = (2 x 4) x (5 x 5) = (2 x 5) x (4 x 5) = 10 x 20 = 200
Opción C: En busca del código secreto
Este año algunas de las clases de 1º de ESO van a ir de excursión. Se ha decidido que irán aquellas en las que se puedan organizar pequeños grupos del mismo tamaño. Pero antes deben escribir correctamente un código secreto.
El alumnado de cada grupo es el que se indica:
1ºESO A: 29 1ºESO B: 26 1ºESO C: 30 1ºESO D: 27 1ªESO E: 19 1ºESO F: 28 1ºESO G: 23 1ºESO H: 31
Para que estas clases puedan ir de excursión, ¿te atreverías a encontrar el código dando los grupos (letras en orden alfabético) en los que no se pueden formar pequeños grupos con un mismo número de personas, es decir, cuyo cardinal (número de estudiantes) es un número primo?
Opción D: Hazlo aquí: practica la descomposición factorial
- Practica la descomposición de un número en la siguiente actividad.
- Pulsa el botón de otro número para cambiar el número que quieres factorizar.
- Rellena las casillas con los números primos tal y como te hemos indicado anteriormente.
- Pulsa en Corregir para ver los resultados.
https://www.geogebra.org/m/kjmckpjj (Ventana nueva)
¡Seguro que con la práctica te va a salir estupendamente!
Opción E: Analiza y toma la decisión correcta
Lee y selecciona la opción que creas correcta.
Opción F: Juega y aplica lo aprendido en este apartado
Selecciona las respuestas correctas y pulsa sobre el botón "responder"
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4. Algunos datos biográficos
¿Sabes quién fue Eratóstenes?
- Eratóstenes fue un sabio griego que nació hacia el año 276 a.C. en la ciudad griega de Cirene.
- La criba de Eratóstenes es un método para calcular los números primos menores que un cierto número, por ejemplo hasta 120.
- Para ello se comienza con escribir en una tabla los números del 2 al 120.
- Se considera el primer número primo, el 2, y se tachan todos los múltiplos de 2.
- De los números que nos quedan, el primero de ellos que es el 3, es primo, y se tachan todos sus múltiplos.
- De los números que quedan sin tachar, el primero de ellos, el 5, es primo y se tachan todos sus múltiplos.
- El siguiente número primo es el 7, así que, tachamos todos sus múltiplos.
- Y así sucesivamente.
En la siguiente imagen puedes comprobar cómo se realiza la criba para los primeros números primos menores de 120.
Ahh! y no solo se le conoce a Eratóstenes por su famosa criba, también fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra así como la inclinación del eje terrestre.
Los números primos de Sophie Germain
- La matemática francesa Sophie Germain (1776-1831) realizó importantes aportaciones a la teoría de números.
- En su época tuvo que hacerse pasar por un hombre para poder estudiar, así que se inscribió en la Escuela Politécnica de París con un nombre falso de hombre, Antoine-August Le Blanc.
- Una de las aportaciones más importantes fue el estudio de los números que se denominan números primos de Germain.
- Un número natural es un número primo de Germain si el número es primo y además si lo multiplicas por 2 y le sumas 1, dicho número también es primo.
- Por ejemplo, el número 2 es un número primo de Germain pues si lo multiplicamos por 2 y le sumamos 1, nos sale, 2·2+1 es 5, que también es un número primo.
- El siguiente número primo de Germain es el 3, vamos a multiplicarlo por 2 y sumarle 1, tendríamos la siguiente operación 2·3+1, que es 7 y también es un número primo.
¿Te atreves a encontrar mas números primos de Germain?
¡Seguro que en encuentras muchos! Compara tus resultados con tus compañeros y compañeras.
Motus dice: ¡Ya has terminado la actividad!
¿Te has dado cuenta de la cantidad de cosas que has tenido que hacer para completar la actividad?
Al realizar esta actividad has tenido que poner en juego todo lo que sabes. A veces para aprender tenemos que trabajar de forma constante. Cuando nos esforzamos mucho nuestro trabajo es valorado por nuestros profes y familiares.
Pero lo más importante es que nos sentimos muy contentos por el trabajo realizado. Te animo a que sigas trabajando para que puedas aprender y seguir mejorando.
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