Logaritmo del producto

\(\log_a {(M\cdot N)} = \log_a M + \log_b N \)

Por ejemplo:

\( \log_a (9 \sqrt [4]{3}) = log_3 9 + \log_3 \sqrt[4]{3} = 2 + \large \frac{1}{4} \normalsize= \large \frac{9}{4} \)

Logaritmo del cociente

\( \log_a (M \div N) = \log_a M - \log_b N \)

Por ejemplo:

\(\log_2 \large\left(\frac{32}{\sqrt 8 }\right) \normalsize = \log_2 32 - \log_2 \sqrt 8 = 5 - \large\frac{3}{2} \normalsize = \large\frac{7}{2} \)

Logaritmo de una potencia

\( \log_a (M^N ) = N \cdot \log_a M \)

Por ejemplo:

\( \log_2 \large\left( \frac{1}{4} \right)^5 \normalsize = 5 \cdot \log_2 \large\frac{1}{4} \normalsize = 5 \cdot \log_2 2^{-2} = 5 \cdot (-2) = -10 \)

Logaritmo de una raíz

\( \log_a  \sqrt [N] {M} = \log_a M^{\frac{1}{N}} = \large\frac{1}{N} \normalsize \cdot \log_a M \)

Por ejemplo:

\( \log_3  \sqrt [4] {27} = \log_3 27^{\frac{1}{4}} = \large\frac{1}{4} \normalsize \cdot \log_3 3^3 = \large \frac{1}{4} \normalsize \cdot 3 = \large\frac{3}{4} \)

Cambio de base

\( \log_a M = \large \frac { \log_b M}{\log_b a} \)

Fíjate en que, gracias a esta propiedad, podemos resolver logaritmos en una base cualquiera con la calculadora. Observa el ejemplo y verás que sencillo:

\( \log_4 25 = \large \frac{\log 25}{\log 4} \normalsize \simeq 2,3219 \quad o\ también\quad \log_4 25 = \large\frac{log 25}{ln 4} \simeq 2,3219 \)