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4.1. Números para grandes y pequeñas cosas

Diccionario

Exponente

La imagen muestra las partes de un número con exponente.

Definición:

El exponente es el número que señala la cantidad de veces que la base debe multiplicarse por sí misma.

Ejemplo:

La potencia se representa con una base y un exponente.

Tiki-Rétor dice...

Una de las características del buen matemático es saber expresar el número de forma que la información que aporta sea lo más clara posible.

Eso es lo que nos proporciona la notación científica, pues nos permite escribir números muy grandes o muy pequeños con unas pocas cifras.

Lectura facilitada

Un buen matemático o una buena matemática debe expresar 

los números de forma clara. 

La notación científica te permite escribir números muy grandes o 

muy pequeños con pocas cifras.

1. Lo que sí es

Recordemos cuándo un número está escrito en notación científica. El número…

A \cdot 10^n

está en notación científica si se cumple lo siguiente:

1\ \le\ A\ <\ 10 \\ ~ \\ n\ \in\ Z

Por cierto, el exponente \(n\) es lo que se llama el orden de magnitud del número en notación científica. Por ejemplo, \( 3,72 \cdot 10^{-5} \), es un número cuyo orden de magnitud es -5.

La imagen muestra las partes de un número con exponente.         Definición:

El exponente es el número que señala la cantidad de veces que la base debe multiplicarse por sí misma.

Ejemplo:

La potencia se representa con una base y un exponente.

Lectura facilitada

Un número está escrito en notación científica 

cuando el número entre 1 y 10 se multiplica por una potencia de 10. 

El número \( A \cdot 10^n \) está en notación científica cuando se cumple \( 1 ≤ A < 10 \).

\( A \) es un número mayor o igual que 1 y menor que 10. 

\( n ∈ Z \)

\( n\) pertenece al conjunto de número enteros. 

\(n\) es el exponente de la potencia.

Recuerda que los números enteros son el conjunto formado por:

  • Los números enteros positivos.
  • El cero. 
  • Los números enteros negativos. 

\(n\) es lo que se llama el orden de magnitud del número en notación científica.

Por ejemplo.  

\( 3,72 \cdot 10^{−5} \)  es un número cuyo orden de magnitud es -5.

La imagen muestra las partes de un número con exponente.

Definición:

El exponente es el número que señala la cantidad de veces que la base debe multiplicarse por sí misma.

Ejemplo:

La potencia se representa con una base y un exponente.

2. Ejemplificando

Taka-Rétor dice...
Pero, ¿cómo escribo un número en notación científica? ¿y cuándo?

Números muy muy grandes

La imagen muestra el sistema solar Si decimos que  distancia de la Tierra al Sol es de

149.597.870.700 metros

estamos dando un valor que resulta excesivamente preciso por dos motivos:

  1. La distancia de la Tierra al Sol es variable (depende del lugar en que la Tierra se encuentre en su órbita alrededor del Sol).
  2. El cálculo de la distancia es una estimación, pues la distancia exacta no es posible calcularla. Por lo que muchas de las cifras carecen de interés.

Estos son los motivos por los que es conveniente escribir esta distancia en notación científica. Hagámoslo:

144.597.870.700\ metros\ =\ 14,96\ \cdot \ 10^7\ metros

Observa que hemos tomado sólo 4 cifras significativas (con su correspondiente redondeo) y, las otras 7 cifras, quedan representadas por el exponente de la potencia de base 10.

Prueba a hacerlo tú, compara con tus compañeros y corrobora el resultado con el profesor, con el siguiente número que representa toda la superficie terrestre: 510.064.471,9 Km2

La imagen muestra una foto desde satélite de la tierra

Números muy muy pequeños

La imagen muestra una célula

El peso de una célula es de…

0,000000003 gramos 

Obviamente, este número hemos de expresarlo en notación científica. Quedaría así:

0,000000003\ gramos\ =\ 3 \cdot\ 10^{-9}\ gramos

Observa que el exponente de la potencia de base 10 es negativo. Eso quiere decir que hemos de dividir el 3 nueve veces entre diez para obtener el número inicial.

3\ \cdot\ 10^{-9}\ =\ \frac{3}{10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot}=0,000000003\ gramos

Prueba a hacerlo tú, compara con tus compañeros y corrobora el resultado con el profesor, con el siguiente número que representa el diámetro de un virus: 0,00000001 m

La imagen muestra un coronavirus



Lectura facilitada

¿Cómo escribes un número en notación científica?

¿Cuándo escribes un número en notación científica?  

Números muy muy grandes

La distancia de la Tierra al Sol es de 149.597.870.700 metros. 

La distancia de la Tierra al Sol es de ciento cuarenta y nueve mil, 

quinientos noventa y siete millones, 

ochocientos setenta mil setecientos metros. 

149.597.870.700 metros es un valor muy preciso por dos motivos:

  1. La distancia de la Tierra al Sol es variable.
    Depende del lugar en que la Tierra se encuentre 
    en su órbita alrededor del Sol.
  2. El cálculo de la distancia es una estimación.
    La distancia exacta no es posible calcularla. 
    Muchas de las cifras carecen de interés.

Es conveniente escribir esta distancia en notación científica.

144.597.870.700\ metros\ =\ 14,96\ \cdot \ 10^7\ metros

Observa que se ha tomado sólo 4 cifras y se ha redondeado. 

Las otras 7 cifras quedan representadas

por el exponente de la potencia de base 10.

  • Prueba a hacerlo tú con el siguiente número 
    que representa toda la superficie terrestre: 510.064.471,9 Km2
  • Compara con tus compañeros y compañeras.
  • Confirma el resultado con el profesor o profesora.

La imagen muestra una foto desde satélite de la tierra

Números muy muy pequeños

La imagen muestra una célula

El peso de una célula es de 0,000000003 gramos 

Este número se expresa en notación científica.

0,000000003\ gramos\ =\ 3 \cdot\ 10^{-9}\ gramos

Observa que el exponente -9

de la potencia de base 10 es negativo. 

Tienes que dividir el 3 nueve veces entre diez 

para obtener el número inicial.

3\ \cdot\ 10^{-9}\ =\ \frac{3}{10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot}=0,000000003\ gramos

  • Prueba a hacerlo tú con el siguiente número 
    que representa el diámetro de un virus: 0,00000001 m.
  • Compara con tus compañeros y compañeras.
  • Confirma el resultado con el profesor o profesora. 

La imagen muestra un coronavirus



3. Y, ¿qué tal con la calculadora?

La imagen muestra unca calculadora científica

Las calculadoras nos ofrecen la posibilidad de trabajar en notación científica. Aquí tienes la imagen de una calculadora bastante común. Observa las teclas marcadas porque son las que vamos a usar.

Tiki-Rétor dice...

Veamos cómo escribir un número en notación científica. Usa tu calculadora y sigue los pasos.

Si  queremos escribir el número: 3,0710-12  seguimos la siguiente secuencia de teclas.

  1. Tecleamos: 3,07

  2. Pulsamos la tecla: 

  3. Pulsamos la tecla: 

  4. Tecleamos: 12

4. Sumar y restar. Dos caras de la misma moneda

Toko-Rétor dice...

Pero, ¿cómo operamos con números en notación científica?

Veamos primero cómo sumar y restar. Lo haremos con este ejemplo:

1,25\ \cdot\ 10^3\ +\ 2,8\ \cdot\ 10^{-2}\ -\ 6,1\ \cdot\ 10^2

Paso 1

Igualamos todos los exponentes de las potencias de 10. Por ejemplo, en este caso, elegimos escribir todo con exponente 3. Quedaría así:

\( 1,25\ \cdot\ 10^3\ +\ 0,000028\ \cdot\ 10^3\ -\ 0,61\ \cdot\ 10^3 \)

Paso 2

Sacamos factor común la potencia de 10. Queda así:

\( (1,25\ +\ 0,000028\ -\ 0,61)\ \cdot\ 10^3 \)

Paso 3

Realizamos las operaciones del paréntesis. Queda lo siguiente:

\( 0,640028\ \cdot\ 10^3 \)

Paso 4

Expresamos el resultado en notación científica.

\( 6,40028\ \cdot\ 10^2 \)

Prueba a hacerlo tú...

Haz tú lo mismo con la siguiente operación. Comprueba tu resultado con los compañeros y corrobora con el profesor el resultado correcto.

-7,0398\ \cdot\ 10^2\ +\ 9,038\ \cdot\ 10^3\ -\ 6,21\ \cdot\ 10^4

5. Multiplicar y dividir: más fácil todavía

Toko-Rétor dice...

Veamos cómo multiplicar y dividir con este ejemplo:

5,06\ \cdot\ 10^2\ \cdot\ (-1,317\ \cdot\ 10^{-3}) \ \div\ 8,75\ \cdot\ 10^4

Paso 1

Agrupamos por un lado los números en notación estándar y, por otro lado, agrupamos los que están en notación científica. Aquí lo tienes:

\( (5,06\ \cdot\ (-1,317)\ \div\ 8,75)\ \cdot\ (10^2\ \cdot\ 10^{-3}\ \div\ 10^4) \)

Paso 2

Operamos cada paréntesis por separado. Queda así:

\( -0,7616\ \cdot\ 10^{-5} \)

Paso 3

Ponemos el resultado en notación científica.

\( -7,616\ \cdot\ 10^{-6} \)

Prueba a hacerlo tú...

Haz tú lo mismo con la siguiente operación. Comprueba tu resultado con los compañeros y corrobora con el profesor el resultado correcto.

-7,0398\ \cdot \ 10^2\ \div\ 9,038\ \cdot\ 10^3\ \cdot\ 1,01\ \cdot\ 10^{-2}

6. Un menú variado

Taka-Rétor dice...

Pero, ¿qué ocurre si tengo que resolver una operación combinada con números en notación científica?

Ningún problema. Hemos de aplicar el orden de operaciones que ya conocemos. Veamos este ejemplo:

\frac { 2,845\ \cdot\ 10^2\ +\ 1,05\ \cdot\ 10^3\ \cdot\ 5,27\ \cdot\ 10^{-1}}{\left(4,94\ \cdot\ 10^{-2}\right)^2}

Paso 1

En el numerador realizamos la multiplicación y en el denominador la potencia.

\(\Large \frac{2,845\ \cdot\ 10^2\ +\ 5,5335\ \cdot\ 10^2}{2,44036\ \cdot\ 10^{-3}} \)

Nota

Ten en cuenta que la potencia de un número en notación científica es la potencia de un producto. Recuerda la propiedad:

\( (a \cdot b )^n = a^n \cdot b^n \)

Por lo que:

\( (4,94 \cdot 10^{-2})^2=4,94^2\cdot(10^{-2})^2 = \\ 24,4036 \cdot 10^{-4} = 2,44036\cdot 10^{-3} \)

Paso 2

Sumamos en el numerador.

\(\Large \frac{8,3785\ \cdot\ 10^2}{2,44036\ \cdot\ 10^{-3}} \)

Paso 3

Realizamos la división y expresamos en notación científica.

\( 3,42875\ \cdot\ 10^{5} \)

Prueba a hacerlo tú...

Haz tú lo mismo con la siguiente operación. Comprueba tu resultado con los compañeros y corrobora con el profesor el resultado correcto.

\frac {5,45 \cdot 10^3 - 8,35 \cdot 10^4 \cdot 7,16\cdot 10^{-2}}{\left(4,94\cdot 10^{-2}\right)^2}

7. Un poquito de training

Tiki-Rétor dice...

Para ser competitivos hemos de entrenar duro. Aquí os dejo un buen abanico de actividades con las que coger la forma adecuada.

Opción A: Más vale aplicar

Con esta app de Geogebra podrás comprobar si efectivamente tienes la notación científica bajo control.

https://www.geogebra.org/m/etsesucw (Ventana nueva)

Proyecto%20REA%20Andaluc%EDa,https%3A//www.geogebra.org/m/etsesucw,GG_MAT4ESO_REA06_Enunciados%20en%20notaci%F3n%20cient%EDfica,0,Autor%EDa

Opción B: Más vale comprender

Pregunta

1.- Si el número \(3,0008 \cdot 10^a\) escrito en notación estándar es \(300080\), el valor de \(a\) debe ser:

Respuestas

6

5

-5

Retroalimentación

Pregunta

2.- El número \(-0,075\cdot 10^{-4}\) no está correctamente escrito en notación científica porque:

Respuestas

El número decimal debe estar entre 1 y 10 (sin incluir el 10)

El exponente es negativo.

Las dos anteriores son correctas.

Retroalimentación

Pregunta

3.- Si queremos escribir el número \(8,418\cdot 10^{-4}\) como \( a\cdot 10^3 \), ¿cuál debe ser el valor de \(a\)?

Respuestas

0,0000008418

0,00000008418

8418

Retroalimentación

Pregunta

4.- La Vía Láctea mide un hepámetro. Investiga y señala la respuesta correcta.

Respuestas

\( 10^{21}\) metros.

\(10^{15}\)  metros.

\(10^{-18}\)

Retroalimentación

Pregunta

5.- Un protón mide un femtómetro. Investiga y señala la respuesta correcta.

Respuestas

\(10^{10}\)

\(10^{-12}\)

\(10^{-15}\)

Retroalimentación

Opción C: Más vale calcular como un científico

Realiza las siguientes operaciones en tu cuaderno y da los resultados en notación científica.

  1. \(\Large\frac{0,025\cdot 10^7 -1,45\cdot 10^4\cdot 3.47\cdot10^{-3}}{\left(7,04\cdot10^{-3}\right)^2\cdot0,004\cdot10^{-2}} \)

  2. \(9,03\cdot 10^5+6,8\cdot 10^3-7389,21\cdot 10^{-2}\)

  3. \(\Large\frac{\left(5\cdot10^7- 0,597\cdot 10^4\right)^2\cdot 4,7\cdot 10^{-6}}{4\cdot 10^{-2}\cdot 8,51|cdot 10^{15}}\)

Soluciones

  1. \(1,2608\cdot 10^{14}\)

  2. \(9,097\cdot 10^5\)

  3. \(3,451\cdot 10^{-5}\)

Opción D: Más vale investigar

Toko-Rétor dice...

Es el momento de llevar la notación científica a su parte más práctica.

Investiga con los profesores de Física, Química, Tecnología, Robótica, Informática…, hasta que consigas, al menos, una aplicación de la notación científica en sus disciplinas.

Comparte las aplicaciones de la notación científica con tu clase, explícales tu aplicación. Haced una infografía conjunta con todas las aplicaciones qué hayáis encontrado.

¡Compartir conocimiento nos enriquece!

¡No olvides el espíritu crítico! Escucha las opiniones de los demás. ¡Siempre aprendes!

Clavis dice... Repasa tus respuestas

Cuando realizas una actividad es importante que reflexiones sobre las respuestas que has dado.

Antes de finalizar una actividad es necesario que repases y  corrijas posibles errores o confusiones.

De esta manera cuando entregues el trabajo a tu profesorado estará todo revisado. 

¡Ánimo! ¡Seguro que tu esfuerzo tiene su recompensa!