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4.5. La \( X \) por todo lo alto

Diccionario

Exponente

La imagen muestra las partes de un número con exponente.

Definición:

El exponente es el número que señala la cantidad de veces que la base debe multiplicarse por sí misma.

Ejemplo:

La potencia se representa con una base y un exponente.

Potencia

La imagen muestra una potencia de base 5 y de exponente 3.

Definición: 

Es multiplicar varias veces el mismo número por sí mismo. El número que multiplicamos se llama base, y el exponente es el número de veces que se multiplica.

Ejemplo:

5 x 5 x 5 se expresa en forma de potencia como \(5^3\).

Pierre dice...

Pues sí, la \( x \) la puedes encontrar también en el exponente.

Querida Megan, estás ante las…


ECUACIONES EXPONENCIALES


Un nombre que impone pero que, verás, que no es lo que parece. Te enseñaré un par de  tipos de  ecuaciones exponenciales, cada una por separado y, así, lo verás más claro.

La imagen muestra las partes de un número con exponente. Definición:

El exponente es el número que señala la cantidad de veces que la base debe multiplicarse por sí misma.

Ejemplo:

La potencia se representa con una base y un exponente.

Lectura facilitada

La \(x\) la puedes encontrar también en el exponente. 

Las ecuaciones exponenciales son las ecuaciones que tienen la x en el exponente. 

Vas a aprender dos tipos de ecuaciones exponenciales. 

La imagen muestra las partes de un número con exponente.

Definición:

El exponente es el número que señala la cantidad de veces que la base debe multiplicarse por sí misma.

Ejemplo:

La potencia se representa con una base y un exponente.

1. Bajando la \(x\) a ras de suelo

En ocasiones encontrarás ecuaciones exponenciales en las que con algunas transformaciones conseguirás que la incógnita no esté en el exponente.

Lo verás muy claro con un ejemplo. Tratemos de resolver esta ecuación:

2^{x^2-4}=\frac{1}{8}

Para que sea más claro todavía lo veremos pasito a pasito. Ve siguiendo los pasos a la vez que tomas apuntes en tu cuaderno.

Paso 1:

Observamos que la base de la potencia del primer miembro es 2. 

Vemos que en el segundo miembro aparece una potencia de 2, es decir, el 8.

¿Por qué no factorizas el 8?

Quedaría así, ¿verdad?

2^{x^2-4}=\frac{1}{2^3}

Paso 2:

¿Podemos conseguir que en el segundo miembro de la igualdad haya otra potencia cuya base sea también 2?

Espero que se te haya ocurrido. Usamos las propiedades de las potencias y tenemos lo siguiente:

2^{x^2-4}=2^{-3}

Paso 3:

Observa como ha quedado la ecuación:

2^{x^2-4}=2^{-3}

Tenemos una igualdad entre potencias, en las que las bases son iguales.

Por tanto, ¿cómo han de ser los exponentes?

IGUALES

¡Claro que sí!

Y como los exponentes son iguales, podemos afirmar que se cumple:

x^2\ -\ 4\ =\ -3

Paso 4:

Sólo queda resolver la ecuación:

x^2\ -\ 4\ =\ -3

En este caso es una ecuación de segundo grado. La resolvemos y ya tendremos el valor de \(x\) que es lo que vamos buscando. Hacemos lo siguiente:

x^2\ -\ 4\ +\ 3\ =\ 0 \\ x^2\ - 1\ =\ 0 \\ x^2\ =\ 1 \\ x\ =\ \sqrt{1} \\ x\ =\ \pm 1

Así que tenemos 2 soluciones: \(x\ =\ 1\)   y  \(x\ =\ -1\).

La imagen muestra una potencia de base 5 y de exponente 3. Definición: 

Es multiplicar varias veces el mismo número por sí mismo. El número que multiplicamos se llama base, y el exponente es el número de veces que se multiplica.

Ejemplo:

5 x 5 x 5 se expresa en forma de potencia como \(5^3\).

Lectura facilitada

Puedes realizar transformaciones en las ecuaciones exponenciales 

para que la incógnita no esté en el exponente. 

Observa el ejemplo.

Resuelve esta ecuación: 

2^{x^2-4}=\frac{1}{8}

Sigue los pasos. 

Toma apuntes en tu cuaderno.

Paso 1:

La base de la potencia del primer miembro es 2. 

En el segundo miembro aparece una potencia de 2. 

La potencia de 2 es el 8.

Factoriza el número 8. 

Recuerda que factorizar es descomponer en factores un número. 

Por ejemplo: 

8 = 2\ \cdot \ 2\ \cdot \ 2 \\ 8\ =\ 2^3\\ 2^{x^2-4}=\frac{1}{2^3}

Paso 2:

Consigue que en el segundo miembro de la igualdad aparezca otra potencia de base 2. 

Usa las propiedades de las potencias.

Recuerda que el cociente de 1 entre la potencia es igual a la misma potencia con exponente negativo. 

2^{x^2-4}=2^{-3}

Paso 3:

Observa cómo ha quedado la ecuación:

2^{x^2-4}=2^{-3}

Hay una igualdad entre potencias. 

Las bases de los miembros son iguales. 

Los exponentes también deben ser iguales.

x^2\ -\ 4\ =\ -3

Paso 4:

Resuelve la ecuación.

x^2\ -\ 4\ =\ -3

Es una ecuación de segundo grado. 

Cuando resuelves la ecuación obtienes el valor de x.

x^2\ -\ 4\ +\ 3\ =\ 0 \\ x^2\ - 1\ =\ 0 \\ x^2\ =\ 1 \\ x\ =\ \sqrt{1} \\ x\ =\ \pm 1

Tienes dos resultados.

\(x\ =\ 1\)

\(x\ =\ -1\).

La imagen muestra una potencia de base 5 y de exponente 3.

Definición: 

Es multiplicar varias veces el mismo número por sí mismo. El número que multiplicamos se llama base, y el exponente es el número de veces que se multiplica.

Ejemplo:

5 x 5 x 5 se expresa en forma de potencia como \(5^3).

Apoyo visual

La imagen muestra el apoyo visual de este apartado

Un poco más de información adicional que te servirá para ecuaciones similares

Recuerda que las raíces también se pueden transformar en potencias. Por ejemplo:

\sqrt [3] {5}\ =\ 5^{\small{\frac{1}{3}}}

No olvides que los decimales también se pueden transformar en fracciones. Por ejemplo:

0,0001\ =\ \frac{1}{10000}

No olvides esta información, seguro que será de utilidad.

2. Los logaritmos en nuestro auxilio

Para este tipo de ecuaciones exponenciales necesitaremos ayuda: los logaritmos serán nuestro recurso para poder resolverlas.

Te lo mostraré con este ejemplo:

1\ +\ 7^x\ =\ 49

Lo haremos, al igual que antes, paso a paso. Toma apuntes en tu cuaderno a la vez que ves la resolución.

Paso 1

En primer lugar comenzamos a dejar la x lo más sola posible. Pasamos el 1 del primer al segundo miembro.

Quedaría así, ¿verdad?:

7^x\ =\ 49\ -\ 1

Observa que en este primer paso hemos procedido como en cualquier ecuación de primer grado, pasando número a un miembro y dejando las incógnitas en el otro.

Paso 2

Simplificamos en el segundo miembro por lo que tendremos:

7^x\ =\ 48

Date cuenta de que el número 48 no es una potencia de 7, es decir, no podemos poner ambos miembros de la igualdad como potencias de la misma base (estamos, por tanto, ante un caso distinto al anterior).

Paso 3

¿Qué hacer entonces para que la x abandone el exponente? Ahora sí, les toca el turno a los logaritmos.

Toma logaritmos en ambos miembros de la igualdad (da igual si son decimales, neperianos o en cualquier otra base). Por comodidad (los hace la calculadora) los tomaremos decimales o neperianos.

Debe quedar así:

\log 7^x\ =\ \log 48

¿Recuerdas a qué es igual el logaritmo de una potencia? Tenemos esto en el primer miembro. Antes de ver el siguiente paso… trata de recordarlo.

Paso 4

Creo que te habrás acordado de la propiedad que necesitamos. Es esta:

\log a^b\ =\ b \cdot \log a

Por tanto, nuestra ecuación queda así:

x \cdot \log 7\ =\ \log 48

Sólo queda despejar la incógnita y calcular su valor. Lo tienes en el paso siguiente.

Paso 5

Despejamos la incógnita.

x \cdot \log 7\ =\ \log 48 \\ x\ =\ \frac {\log 48}{\log 7}

Y utilizando la calculadora resolvemos y calculamos el valor de la incógnita:

x\ =\ 1,9894

Lectura facilitada

Resuelve esta ecuación exponencial utilizando logaritmos. 

Observa el ejemplo.

1\ +\ 7^x\ =\ 49

Sigue los pasos. 

Toma apuntes en tu cuaderno.

Paso 1

Tienes que poner los números en un miembro y las incógnitas en el otro miembro. 

Deja la x lo más sola posible. 

Pasa el 1 del primer miembro al segundo miembro. 

Recuerda que si está con signo positivo pasa al otro miembro con signo negativo. 

7^x\ =\ 49\ -\ 1

Paso 2

Simplifica el segundo miembro. 

7^x\ =\ 48

El número 48 no es una potencia de 7.

No puedes poner ambos miembros de la igualdad 

como potencias de la misma base. 

Paso 3

Para que la x abandone el exponente tienes que utilizar logaritmos.

Toma logaritmos en ambos miembros de la igualdad.

Utiliza la calculadora.

Tecla log o tecla ln. 

\log 7^x\ =\ \log 48

¿Recuerdas a qué es igual el logaritmo de una potencia?

Paso 4

Utiliza esta propiedad. 

\log a^b\ =\ b \cdot \log a

La ecuación queda así. 

x \cdot \log 7\ =\ \log 48

Despeja  la incógnita x.

Calcula su valor.

Paso 5

Despeja  la incógnita.

x \cdot \log 7\ =\ \log 48 \\ x\ =\ \frac {\log 48}{\log 7}

Utiliza la calculadora y calcula el valor de la incógnita. 

x\ =\ 1,9894

Apoyo visual

La imagen muestra el apoyo visual correspondiente a este apartado

3. Incrementamos exponencialmente el conocimiento

Pierre dice...

Ahora te toca a ti. Te invito a resolver esta serie de actividades. Si has prestado atención a las explicaciones no tendrás inconvenientes.

Opción A: Pienso, luego evalúo

Pregunta

A. Sin resolver la ecuación asocia el valor o valores que son solución.

\(4^{x^2-4x}\ =\ \Large\frac{1}{64}\)

Respuestas

1

-2

3

-4

Retroalimentación

Pregunta

B. Sin resolver la ecuación asocia el valor o valores que son solución.

\(100^{3x-2}\ =\ 50 \)

Respuestas

\(\Large\frac{2}{3} \)

\(\Large\frac{3}{2}\)

-2,169

0

Retroalimentación

Pregunta

C. Sin resolver la ecuación asocia el valor o valores que son solución.

\(5^{2x+3}\ =\ \sqrt[3]{25}\)

Respuestas

\(-\Large\frac{7}{6}\)

\(\Large\frac{3}{2}\)

2,169

1,269

Retroalimentación

Pregunta

D. Sin resolver la ecuación asocia el valor o valores que son solución.

\(3^{x^2+1}\ =\ 527\)

Respuestas

2,169

-2,169

\(\Large\frac{3}{2}\)

\(-\Large\frac{3}{2}\)

Retroalimentación

Opción B: Pienso, luego creo

Inventa 3 ecuaciones, cada una de las cuales tenga por solución:

A. 1

B. \(\Large\frac{1}{3}\)

C. Un número decimal.

Una vez las tengas, intercambia las ecuaciones con un compañero. Comprobad cada uno el trabajo del otro y comentad aciertos, errores y posibles mejoras.

Opción C: Discurro, luego resuelvo

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

A. \(0,0001\ =\ 10^{5x+2}\)

C. \( (\sqrt{3})^{2x-1}\ =\ \Large\frac{1}{\sqrt{27}}\)

B. \( e^{x^2-3}\ =\ 1\)

D. \( \Large{\frac{1,5^x}{2}}\normalsize{ - \ 3\ =\ 10}\)

Soluciones

A. \(-\Large\frac{6}{5}\)

B. \(\pm\sqrt{3}\)

C. -1

D. 8,035

Opción D: Aplico, luego soluciono

Resuelve el siguiente problema en el que necesitarás aplicar lo aprendido sobre ecuaciones exponenciales.

Se ha cometido un crimen. Cuando la policía científica llega al lugar de los hechos, lo hace con el avezado inspector Arístides Matematicon. Este dice que es capaz de determinar el tiempo que hace que falleció la víctima con el uso de las matemáticas, nada más y nada menos. 

La imagen muestra a Rambo

“Mis queridos colegas” - dice Arístides - “este es un sencillo caso de uso de la Ley de enfriamiento de Newton. Dejadme a mí. Tenemos al criminal acorralado”.

Dicho esto Arístides saca su cuaderno de apuntes, y tras unos breves cálculos y escribe con tiza en la pared la siguiente fórmula:

T = 25 + 12 e^{-0,0816t}

“Muchachos, Como estamos a 25º C, esta es la fórmula de la Ley de enfriamiento de Newton que usaremos.
\(T\) es la temperatura del cadáver tras el número de horas que hayan pasado desde que se cometió el crimen, \(e\) es el número \(e\) (valga la redundancia), base de los logaritmos neperianos, cuyo valor es aproximadamente 2,71828… y \(t\) es el tiempo en horas transcurrido desde que se cometió el asesinato”.

“Con esto muchachos hemos de resolver las siguientes preguntas”:

  1. Calcular la temperatura de la víctima en el momento del crimen (tened en cuenta que no ha transcurrido ningún tiempo).

  2. Son las 18:00, ¿A qué hora se cometió el crimen si la temperatura de la víctima es de 29º C en estos momentos?

Soluciones

Solución del apartado a

Partimos de la fórmula:

T = 25 + 12e^{-0,0816t}

Como queremos saber la temperatura de la víctima en el momento del crimen sabemos que \(t=0\), puesto que no ha transcurrido ningún tiempo desde su muerte. Por tanto:

\( T = 25 + 12 e^{-0,0816\cdot 0} \\ T = 25 + 12 e^{0} \quad,\ y\ sabiendo\ que\ e^0=1 \\ T = 25 + 12 \\ T = 37º C\)

37 ºC es la temperatura de la víctima en el momento en el que se comete el crimen.

Solución del apartado b

Partimos de la fórmula:

T = 25 + 12e^{-0,0816t}

Sabemos que el cuerpo de la víctima cuando llega Arístides están a una temperatura de 29 ºC, por tanto: 

\( T\ =\ 29ºC \)

Sustituimos este valor en la fórmula:

\( 29 = 25 + 12 e^{-0,0816t} \)

\( \\ 29 - 25 = 12 e^{-0,0816t} \)

\( \\ 4 = 12e^{-0,0816t} \)

\( \\ \Large\frac{4}{12} \normalsize \ =\ e^{-0,0816t} \)

\( \\ \Large\frac{1}{3} \normalsize\ =\ e^{-0,0816t} \)

\( \\ \ln \Large\frac{1}{3} \normalsize =\ \ln e^{-0,0816t} \)

\( \\ \ln \Large\frac{1}{3} \normalsize =\ -0,0816t \cdot \ln e \quad , y\ sabiendo\ que\ \ln e =1 \)

\( \\ \Large\frac{\ln\frac{1}{3}}{-0,0816} \normalsize = t \)

\( \\ t \simeq 13,5\ horas \)

Son las 18:00 horas, como nos piden la hora a la que se cometió el crimen y sabemos que han transcurrido 13,5 desde que sucedió:

\( 18 - 13,5 = 4,5 \)

Por tanto el asesinato se cometió a las 4 y media de la madrugada.

Opción E: Infiero, luego generalizo

Inventa un problema y crea un algoritmo que lo resuelva.

Solución

Te propongo este posible algoritmo para la resolución de este tipo de problemas. Quizás tu algoritmo no sea idéntico. No importa, fíjate en que tus pasos del algoritmo sean similares y sirvan para facilitar la solución de este tipo de problemas.

Paso 1: Leemos el enunciado comprensivamente, identificamos datos e incógnita.

Paso 2: Haciendo uso de la fórmula, sustituimos los datos en ella y observamos si con ello nos queda una ecuación que seamos capaces de resolver.

Paso 3: Vamos despejando la incógnita, pasando al otro miembro todos los términos que sea posible.

Paso 4: Una vez tenemos aislada en uno de los miembros de la ecuación la potencia con la x en el exponente, identificamos qué tipo de ecuación exponencial es (si podemos igualar las bases de las potencias o debemos usar logaritmos).

Paso 5: Resolvemos usando logaritmos, calculamos el valor de la incógnita, respondemos a lo que nos preguntan y verificamos que nuestra solución tiene sentido con el enunciado.

Una ver realizado el algoritmo, evalúa con un compañero de clase que cumple los requisitos necesarios, con esta Diana de Evaluación.

La imagen muestra el documento de diana de evaluación

4. Reviso lo que aprendo

Reflexiona un momento sobre todo lo que has aprendido hasta llegar aquí. 

Y completa el PASO 3 de tu Diario de Aprendizaje (Reviso lo aprendido). 

Recuerda:

  • Pregunta a tu profesor o profesora si la rellenarás en papel o en el ordenador.

  • Si la rellenas en el ordenador, ¡no te olvides de guardarla en tu ordenador cuando la termines!

¡Ánimo, que lo harás genial!

Motus dice... ¿Te has sentido confiado o confiada en la realización de estas actividades?

Cuando tenemos que hacer alguna actividad, como por ejemplo la actividad de “Aplico, luego soluciono”,  podemos tener dudas sobre si seremos capaces de hacerlo.

Para poder vencer a estos miedos en las nuevas actividades que tengas que hacer sigue estos consejos:

  1. Hay cosas que haces muy bien. Úsalas para hacer la actividad.

  2. Hay cosas que te cuestan un poco hacerlas. Inténtalo y cree en ti mismo o en ti misma . Seguro que te sorprende lo que puedes conseguir.

  3. Hay cosas que son muy difíciles. Fíjate en algún ejemplo, pregunta a tu compañero o compañera. Pide ayuda a tu profe.