4.3. ¿Irracionalizamos?

Diccionario

Binomio

La imagen muestra una suma y una diferencia de dos términos.

Definición:: Expresión algebraica formada por la suma o la diferencia de dos términos o monomios.
Ejemplo:: Dado el binomio \(x+7\) calcula su cuadrado

Identidad notable

La imagen muestra el cuadrado de una suma con rectángulos y cuadrados.

Definición:: Regla matemática que permite calcular de manera directa operaciones con forma polinomios.
Ejemplo:: La identidad notable más común es el cuadrado de una suma.

Signo radical

La imagen muestra una raíz cuadrada.

Definición:: La raíz cuadrada de un número \(x\) es aquel número \(y\) que al ser multiplicado por sí mismo da como resultado el valor \(x\).
Ejemplo:: La raíz cuadrada de 64, es 8 dado que 8 x 8 = 64.

Pierre dice...

Ahora Megan, nos encontramos la \(x\) bajo el paraguas del signo radical. Puedes pensar que es muy complicado, pero ya veras como con mi ayuda llegarás a hacerlas sin pensar, "coser y cantar".

Te voy a mostrar cómo resolver aquellas ecuaciones que tienen por índice de la raíz el 2.

Lectura facilitada

Megan te encuentras la \(x\) bajo el signo radical.

Sigue los pasos para resolver las ecuaciones irracionales.

Vas a resolver ecuaciones que tienen por índice de la raíz el 2.

1. Ecuaciones irracionales con un radical

Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita, la x, dentro del signo radical.

A la hora de resolverlas, es importante seguir los pasos que te damos a continuación, tal y como hacemos con la siguiente ecuación:

\sqrt{x-1}+2=x-1

Paso 1

Dejamos el radical en uno de los dos miembros de la ecuación, pasando al otro miembro el resto de términos, y reduciendo los términos semejantes.

\sqrt{x-1}=x-1-2

\sqrt{x-1}=x-3

Paso 2

Elevamos los dos miembros de la ecuación al índice de la raíz. En nuestro caso, los elevamos a 2.

(\sqrt{x-1})^2=(x-3)^2

Al elevar el miembro de la izquierda al cuadrado, se elimina la raíz.

Paso 3

Realizamos las operaciones indicadas. Puede aparecernos una identidad notable, por lo que hay que recordar cómo se efectuaban éstas.

Si es el cuadrado de la diferencia de los dos términos de un binomio, es igual al cuadrado del primer término, más cuadrado del segundo término, menos el doble producto del primer por el segundo término.
Si es la suma de los dos términos de un binomio, es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el doble producto del primer por el segundo término.

x-1=x^2+3^2-2\cdot{x}\cdot{3}

x-1=x^2+9-6x

x^2+9-6x-x+1=0

x^2-7x+10=0

Paso 4

Resolvemos la ecuación resultante.

x=\frac{7\pm{\sqrt{(-7)^2-4\cdot{1}\cdot{10}}}}{2\cdot{1}}

x=\frac{7\pm{\sqrt{49-40}}}{2}

x=\frac{7\pm{\sqrt{9}}}{2}

x=\frac{7\pm{3}}{2}

x_{1}=\frac{10}{2}=5

x_{2}=\frac{4}{2}=2

Paso 5

Sustituimos la solución o soluciones obtenidas en la ecuación de partida para comprobar que efectivamente son soluciones de nuestra ecuación, ya que al elevar al cuadrado los miembros de la ecuación, pueden aparecer soluciones que no sean válidas para la ecuación de partida.

\sqrt{x-1}+2=x-1

\sqrt{5-1}+2=5-1

\sqrt{4}+2=4

2+2=4

Por lo tanto, el 5 sí es solución de la ecuación irracional.

\sqrt{x-1}+2=x-1

\sqrt{2-1}+2=2-1

\sqrt{1}+2\neq{1}

Sin embargo, el 2 no es solución de la ecuación irracional.

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2. Ecuaciones irracionales con dos radicales

A continuación, resolveremos ecuaciones irracionales en las que aparezcan dos radicales. En este caso, también el índice de la raíz va a ser 2.

Tendremos que seguir los pasos, tal y como lo hacemos con la siguiente ecuación:

\sqrt{x+10}-\sqrt{x+19}=-1

Paso 1

Aislamos uno de los radicales en uno de los miembros de la ecuación, si alguno de ellos es negativo, aislamos, mejor, el positivo. Pasamos el resto de los términos al otro miembro de la ecuación. Operamos los términos semejantes.

\sqrt{x+10}-\sqrt{x+19}=-1

Paso 2

Se elevan los dos miembros de la ecuación al índice de la raíz y realizamos las operaciones.

(\sqrt{x+10})^2=(\sqrt{x+19}-1)^2

x+10=(\sqrt{x+19})^2+1^2-2\cdot{1}\cdot{\sqrt{x+19}}

x+10=x+19+1-2\cdot{\sqrt{x+19}}

-10=-2\cdot{\sqrt{x+19}}

Paso 3

Si en alguno de los dos miembros de la ecuación obtuviéramos, al operar, una raíz, procederíamos como en el caso de las ecuaciones con un radical, es decir, aislaríamos la raíz en uno de los miembros de la ecuación y elevaríamos los dos miembros al índice de la raíz, resolviendo, finalmente, la ecuación obtenida.

(-10)^2=(-2\cdot{\sqrt{x+19}})^2

100=2^2\cdot{(\sqrt{x+19}})^2

100=4\cdot{(x+19)}

\frac{100}{4}=x+19

25-19=x

x=6

Paso 4

Comprobamos la solución o soluciones obtenidas en la ecuación inicial.

\sqrt{x+10}-\sqrt{x+19}=-1

\sqrt{6+10}-\sqrt{6+19}=-1

\sqrt{16}-\sqrt{25}=-1

4-5=-1

Por lo tanto, el 6 es solución de la ecuación irracional.

Audio

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3. Irracionalizemos juntos

Pierre dice...

Ahora es tu turno. Vamos a comprobar lo que has aprendido de ecuaciones irracionales y a afianzar estos conocimientos.

¡Adelante!

Opción A: ¿Qué sabes de ecuaciones irracionales?

Opción B: Encuentra la solución

Opción C: Aprendemos a distinguir los problemas

Opción D: ¡A resolver!

Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones irracionales. No te olvides de comprobar la solución.

a. \sqrt{5x+1}+x=7

b. 2x=7+\sqrt{x-3}

c. \sqrt{2x-1}-\sqrt{5x}=-2

d. \sqrt{5x+9}-5=-\sqrt{2x+4}

¿Necesitas ayuda?

Paso 1

Recuerda que tienes que aislar una raíz en uno de los miembros de la ecuación.

Paso 2

Eleva ambos miembros al índice de la raíz y opera.

Paso 3

Si no quedan más raíces, resuelve la ecuación obtenida. Si hay una raíz, vuelve al paso 1.

Paso 4

Para finalizar, siempre debes comprobar las soluciones en la ecuación inicial.

Opción E: Crea tu algoritmo

Fíjate en el siguiente problema, que utiliza ecuaciones irracionales para su resolución:

“Las edades de dos hermanas suman 35. Sabiendo que la raíz cuadrada de la edad de la mayor aumentada en 5 es igual a la edad de la menor, ¿cuántos años tiene cada hermana?”

Ayudándote de todo lo aprendido hasta ahora, plantea un algoritmo para la resolución del problema anterior.

Si eres un poco más osado, puedes inventarte tú el problema y crear el algoritmo para tu problema, pero recuerda que debes de usar ecuaciones irracionales para su resolución.

Una ver realizado el algoritmo, evalúa con un compañero de clase que cumple los requisitos necesarios, con esta Diana de Evaluación.

Motus dice... ¿Has hablado contigo mismo para resolver estas actividades?

Es muy frecuente que cuando estamos trabajando hablemos en silencio con nosotros mismos. Es una forma de comprender mejor lo que hacemos y de buscar soluciones a las tareas o actividades.

Te aconsejo que lo hagas con mucha frecuencia porque te ayudará a:

- Recordar algunos pasos que necesites para realizar la actividad.

- Hacerte preguntas para entender mejor la información.

- Animarte a terminar la actividad, mantenerte concentrado...

- Saber cómo te sientes ante la actividad.

Habla contigo mismo y aprenderás mejor.

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