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4.4. Ecuaciones con logaritmos

Diccionario

Logaritmo neperiano

La imagen muestra la representación del logaritmo neperiano.

Definición:

Es el logaritmo cuya base es el número e. El logaritmo neperiano de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para obtener x.

Ejemplo:

Pulsa el botón ln de la calculadora para calcular el logaritmo neperiano.

Megan dice...

Los logaritmos son una invención matemática que permite simplificar cálculos numéricos. Ahora es el momento de que estudies las ecuaciones logarítmicas.

Son fáciles de identificar ya que son aquellas ecuaciones en las que la incógnita (la \(x\) normalmente) aparece en la base o en el argumento de un logaritmo.

Lectura facilitada

Los logaritmos son una invención matemática

que permite simplificar cálculos numéricos. 

Vas a estudiar las ecuaciones logarítmicas.

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones 

en las que la incógnita aparece en la base o 

en el argumento de un logaritmo.

1. Haz memoria

Recuerda las partes de un logaritmo: 

La imagen muestra los componentes de un logaritmo

Para resolver este tipo de ecuaciones tendrás que saber aplicar muy bien las propiedades de los logaritmos y tener en cuenta que si:  

log A = log B ↔ A = B 

Finalmente tendrás que comprobar que la solución o soluciones son válidas ya que los logaritmos sólo están definidos para los números positivos.

Lectura facilitada

Vas a estudiar las ecuaciones logarítmicas. 

Las ecuaciones logarítmicas son ecuaciones con una incógnita (x).

La incógnita (x) puede aparecer en la base o en el argumento del logaritmo.

Recuerda las partes de un logaritmo: 

La imagen muestra las partes de un logaritmo

Aplica las propiedades de los logaritmos para resolver las ecuaciones. 

Observa esta propiedad.

log A = log B ↔ A = B 

El logaritmo de un número (A) es igual al logaritmo de otro número (B).

Por lo tanto A es igual B. 

Un logaritmo tiene como solución un número positivo. 

Herramientas logarítmicas

Para poder afrontar la resolución de ecuaciones logarítmicas tienes que conocer la definición de logaritmo y sus propiedades:

Definición de logaritmo:

logb a = c ↔ bc = a

(se lee logaritmo en base b del argumento a es igual a c)

ejemplo log2 8 = 3 porque 23= 8

Logaritmo del producto:

logb (x·y) = logb x + logb y

ejemplo log (70x) = log 70 + log x

Logaritmo del cociente:

logb (x/y) = logb x - logb y

ejemplo log (x/2) = log x + log 2

Logaritmo de una potencia:

logb (xy) = y · logb x

ejemplo log (8x) = x · log 8

Recuerda que el argumento de un logaritmo no puede ser negativo ni cero.

2. Saca la calculadora

Las calculadoras científicas más recientes disponen de una tecla que permite calcular el logaritmo en cualquier base, sin embargo, en otras tan sólo podrás encontrar dos tipos de logaritmos, los logaritmos en base 10 (tecla log) y los logaritmos neperianos (tecla ln). Pero ¿qué ocurre si quieres calcular un logaritmo en otra base?
La imagen muestra la representación del logaritmo neperiano. Definición:

Es el logaritmo cuya base es el número e. El logaritmo neperiano de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para obtener x.

Ejemplo:

Pulsa el botón ln de la calculadora para calcular el logaritmo neperiano.

Lectura facilitada

Algunas calculadoras tienen una tecla 

para calcular el logaritmo con cualquier base.

Otras calculadoras tienen dos teclas para calcular: 

  • Los logaritmos en base 10. 
             Tienes que pulsar la tecla log. 
  • Los logaritmos neperianos. 
             Tienes que pulsar la tecla In. 

Tienes que saber realizar un cambio de base 

para calcular un logaritmo en otra base. 

Elige en la calculadora uno de los dos logaritmos.  

La tecla log corresponde a los logaritmos en base 10. 

La tecla ln corresponde a los logaritmos neperianos. 

La imagen muestra la representación del logaritmo neperiano.

Definición:

Es el logaritmo cuya base es el número e. El logaritmo neperiano de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para obtener x.

Ejemplo:

Pulsa el botón ln de la calculadora para calcular el logaritmo neperiano.

Para eso tienes que saber realizar un cambio de base tomando como referencia en la calculadora alguna de los dos logaritmos de los que disponemos (logaritmos en base 10 o logaritmos neperianos). Utiliza la siguiente identidad:

La imagen muestra un cambio de base

En el siguiente vídeo puedes ver cómo se utiliza la calculadora para el cálculo de logaritmos.

Por si los necesitas, aquí tienes los subtítulos del vídeo.

Lectura facilitada

Utiliza la siguiente identidad:

La imagen muestra una identidad

Logaritmo en base b de x es igual 

a la división del logaritmo decimal de x 

dividido entre el logaritmo decimal de b. 

Es tu turno, ¿puedes calcular log2 18?

3. Hora de resolver ecuaciones logarítmicas

Ya estás preparado para resolver ecuaciones logarítmicas sencillas, ten presente la definición de logaritmo y sus propiedades.

Veamos cómo se resuelve el siguiente ejemplo: log x + log 20 = log 100

Despejamos log x:

log x = log 100 - log 20

Aplicamos propiedad de los logaritmos (en concreto para la diferencia):

 log x = log (100/20)

Simplificamos:

log x = log 5

Comprobamos solución:

Por tanto la solución es x= 5 que es válida ya que es un número positivo.

Ten en cuenta que para resolver algunos tipos de ecuaciones logarítmicas también tendrás que recordar cómo se resuelven otros tipos de ecuaciones, como las polinómicas a las que se llega después de aplicar las propiedades de los logaritmos. 

Apoyo visual

4. Manos a la obra

Megan dice...

Ahora te toca poner en práctica todos tus conocimientos sobre ecuaciones logarítmicas. Seguro que será muy divertido.

Opción A: Ordena para resolver

Ordenar los pasos para resolver la siguiente ecuación logarítmica: 

log ( x+1) - log x = 1

Opción B: Resuelve y contesta

Pregunta

1) Resuelve la siguiente ecuación logarítmica en tu cuaderno y contesta:

3 log x = 3

Respuestas

x=2

x=-1

No tiene solución

x=10

Retroalimentación

Pregunta

2) Resuelve la siguiente ecuación logarítmica en tu cuaderno y contesta:

log x2 - log x = 3

Respuestas

x=-4

x=1000

x=0

x=10

Retroalimentación

Pregunta

3) Resuelve la siguiente ecuación logarítmica en tu cuaderno y contesta:

2 log x - log(x-6)=0

Respuestas

x=3

No tiene solución

x=10

x=-3

Retroalimentación

Opción C: Los cambios de variable

Una herramienta muy frecuente en Matemáticas para resolver algunos tipos de ecuaciones consiste en utilizar un cambio de variable. Investiga en qué consiste esta herramienta y cómo puedes utilizarla para resolver la siguiente ecuación logarítmica:

Opción D: Cambiamos de base

Ya sabes cómo realizar un cambio de base, pero ahora tendrás que utilizarlo para resolver aquellas ecuaciones logarítmicas en las que dos o más de los términos logarítmicos no estén en la misma base.

Copia en tu cuaderno la siguiente ecuación logarítmica, soluciónala y comprueba la solución.

Motus dice... ¿Te has dado cuenta de la cantidad de cosas que has tenido que hacer para completar cada una de las actividades?

Al realizar estas actividades, como por ejemplo la actividad “Cambiamos de base”, has tenido que poner en juego todo lo que sabes. A veces para aprender tenemos que trabajar de forma constante. Cuando nos esforzamos mucho, nuestro trabajo es valorado por nuestros profes y familiares. Pero lo más importante es que nos sentimos muy contentos por el trabajo realizado.

Te animo a que sigas trabajando para que puedas aprender y seguir mejorando.