Paso 1
Calcula el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de los denominadores de esta ecuación.
\frac{x+1}{x-2} \ +\ \frac{x}{x+2}\ =\ \frac{7x+2}{x^2+4}
En esta ecuación los denominadores son expresiones algebraicas.
\( m.c.m. (x -2, x+2, x^2 -4) \)
Sigue estos pasos.
- Primero. Factoriza los denominadores
-
\(x-2 = x-2 \\ x+2=x+2 \\ x^2-4 = (x+2)(x-2) \)
- Segundo. Toma los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
-
El mínimo común múltiplo es:
\(m.c.m.(x-2,x+2,x^2-4)=(x+2) \cdot\ (x-2) \)
Paso 2
Escribe todos los términos de la ecuación con el nuevo denominador.
El nuevo denominador es el mínimo común múltiplo que has calculado.
Debes cambiar también los numeradores.
Mira el primer término de la ecuación.
Primer término: \( \Large \frac {x+1}{x-2} \)
El nuevo denominador es el m.c.m.: \( (x+2) \cdot (x-2) \)
Calcula el nuevo numerador.
- Divide el nuevo denominador entre el antiguo.
- Multiplica el resultado por el numerador.
Observa cómo se hace:
- Divide los denominadores:
\( [(x+2) \cdot (x-2)] \div (x-2)= x+2 \)
- El resultado lo multiplicas por el numerador:
\( (x+2) \cdot (x+1) \)
Haz tú lo mismo con los otros dos términos de la ecuación.
Debe quedar así:
\frac{(x+2)(x+1)}{(x+2)(x-2)} +\frac {x (x-2)}{(x+2)(x-2)}= \frac{7x+2}{(x+2)(x-2)}
Paso 3:
Todos los denominadores son iguales.
Quita todos los denominadores.
Observa la ecuación.
Resuelve esta ecuación.
- Multiplica los paréntesis.
- Suma los términos semejantes.
\( x^2+3x+2+x^2-2x=7x+2 \)
\( 2x^2+x+2=7x+2 \)
\( 2x^2-6x=0\)
- Saca factor común de: \( 2x^2-6x=0\)
Factoriza para sacar factor común.
\(2=2\)
\(6=2\cdot 3\)
Calcula el Máximo común divisor que se representa con M.C.D.
\( M.C.D. (2,6)=2\)
Por tanto al sacar factor común obtienes la siguiente ecuación.
\( 2x(x-3)=0 \)
Tienes dos soluciones: \( x=0\) y \( x=3\)
Paso 4:
Comprueba si las dos soluciones que has obtenido son válidas.
Sustituye en la ecuación inicial.
Comprueba que se cumple la igualdad.
Comprueba:
\( x=0 \)
Sustituye el valor \(x=0\) en
\( \Large\frac{x+1}{x-2}\normalsize + \Large \frac {x}{x+2} \normalsize = \Large\frac{7x+2}{x^2-4} \)
\( \Large\frac{0+1}{0-2} \normalsize + \Large\frac{0}{0+2} \normalsize = \Large\frac{7\cdot 0+2}{0^2-4} \)
\(\Large\frac{1}{-2} \normalsize+0=\Large\frac{2}{-4} \)
Igualdad que al simplificar el segundo miembro es cierta.
\( \Large\frac{1}{-2}\normalsize= \Large\frac{1}{-2} \)
Ahora comprueba con el valor \(x=3\).
Observa que al sustituir el valor \( x=3\) en \( \Large\frac{x+1}{x-2}\normalsize + \Large \frac {x}{x+2} \normalsize = \Large\frac{7x+2}{x^2-4} \)
También es solución porque se cumple la igualdad.
Las soluciones de la ecuación son: \( x=0 \) y \( x=3\)
