4.4 Buscando el equilibrio

Diccionario

Cotidiano

La imagen muestra dinero en metálico, un libro y una llave.

Definición:

Algo de nuestro dia a día.

Ejemplo:

Es cotidiano desayunar antes de ir al instituto

Enigma

La imagen muestra la cara de una persona pensando y sobre ella su cabeza una hoja con un problema matemático y un signo de interrogación

Definición:

Pasatiempo que consiste en descifrar un mensaje.

Ejemplo:

Gana el juego el equipo que antes descigre el enigma

Húmedo

La imagen muestra un trapo tendido y de el caen gotas de agua

Definición:

Algo que está lleno de agua u otro líquido

Ejemplo:

El barro debe estar húmedo para poder realizar el jarrón

Incompatibles

La imagen muestra la señal de prohibición

Definición:

No compatible con alguien o con algo

Ejemplo:

Usar Internet para hacer el examen es incompatible

Infinitas

La imagen muestra un recipiente con muchos círculos rojos

Definición:

Muy numeroso o enorme

Ejemplo:

Juan comentó que las combinaciones de números eran infinitas

Resolver

La imagen muestra a una persona señalando su cabeza y sobre ella dos bocadillos pensantes con signos de exclamación e interrogación

Definición:

Solucionar un problema, una duda, una dificultad o algo que los entraña

Ejemplo:

Para resolver la adivinanza debíamos tener un lápiz y un papel.

1. Llegamos al final del camino, las ecuaciones

Con la chistera cargada de números y letras hemos aprendido a hacer muchos trucos hasta ahora. Hemos utilizado las expresiones algebraicas.

Cuando tenemos dos expresiones algebraicas que tienen que valer lo mismo, tenemos una ecuación.

Ahora vamos a aprender lo necesario sobre las ecuaciones para diseñar nuevos trucos que nos ayuden a resolver problemas cotidianos.

Ecuaciones

Las ecuaciones son igualdades de expresiones algebraicas donde hay valores desconocidos.

Hay muchos tipos de ecuaciones.

Nosotros vamos a ver las más sencillas.

Son las ecuaciones lineales de una incógnita.

En ellas tenemos un único valor desconocido, llamado incógnita, que hay que descubrir.

Se suele representar con la letra x, aunque podemos usar la letra que queramos.

Dos ecuaciones que tienen la misma solución se llaman equivalentes.

Aquí tienes un ejemplo:

Si lo escribes en lenguaje algebraico tendrías:

encuentra un valor x que cumpla: x + 5 = 12 → Ecuación

Soluciones

Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor de la incógnita que verifica la igualdad.

En el ejemplo anterior, la ecuación era x + 5 = 12.

Tenemos que encontrar un número que al sumarle 5, nos dé 12.

La imagen muestra dos manos contando hasta siete

Es fácil deducir que el número que cumple la igualdad es el número 7, ya que 7 + 5 = 12

Son trucos

Las ecuaciones son muy útiles para resolver problemas de la realidad cotidiana.

Por ejemplo, vamos a intentar resolver el siguiente problema:

La imagen muestra a Retor Magic proponiendo un problema de edades

Para ello, identificamos lo que nos pide el problema y asignamos la incógnita (valor desconocido)

Edad del hermano menor: x

Edad del hermano mayor: x+1

La igualdad que tenemos que establecer sería: x + x + 1 = 35

Si resolvemos la ecuación, conoceríamos el valor de x y sabríamos las edades de los hermanos, resolviendo así el problema planteado.

Podemos resolver mentalmente esta ecuación, resutando las edad del hermano menor 17 años y la edad del hermano mayor 18 años.

Pero siempre no podremos resolver mentalmente las ecuaciones, solo las sencillas.

En el siguiente apartado veremos cómo resolver cualquier ecuación.

Para resolverlas

En cada paso vamos obteniendo una ecuación equivalente a la anterior, es decir, que tiene la misma solución.

Sea la ecuación x+2(x-3)= 9. Vamos a seguir los pasos necesarios, en el citado orden, para resolverla.

En cada paso vamos obteniendo una ecuación equivalente (tiene la misma solución) a la anterior, pero más próxima a la solución.

1º Quitar paréntesis (si los hay): x+2x-6 = 9

2º Quitar denominadores (si los hay): -

3º Transponer términos (pasar los términos con x a un miembro de la igualdad y los términos sin x al otro miembro):

4º Reducir términos semejantes (que tengan la misma parte literal). Es decir, sumar y/o restar lo que tenga x con lo que tenga x y lo que no tenga x con lo que no tenga x.

Quedaría: 3x=15

5º Despejar la incógnita:

6º Comprobar que el resultado cumple la ecuación inicial x+2(x-3)= 9, sustutiyendo el resultado obtenido en ella.

5+2(5-3)=9 ; 5+2·2=9 ; 5+4 =9 ; 9=9

Ecuaciones trucadas

Las ecuaciones que tienen solución se llaman compatibles. Pero hay ecuaciones que aparentemente no sabemos dar una solución a las mismas.

-Por ejemplo, si nos dicen:

La imagen muestra a Retor Magic con un problema de ecuaciones con sumas y restas

Al comprender el problema a través del lenguaje algebraico tendríamos:

Número buscado → x

La ecuación sería: x - 4 = x + 3

Al resolver, obtendríamos: x - x = 4 + 3; es decir: 0=7

Estas ecuaciones se llaman incompatibles y no tienen solución.

-Por otro lado si tenemos el problema:

Al trasladar el problema al lenguaje algebraico, tendríamos:

Número buscado → x

x + x + 1 = 2x + 1 Al resolver obtendríamos: x + x - 2x = 1 - 1; es decir: 0=0

Estas ecuaciones se llaman indeterminadas y tienen infinitas soluciones, de forma que cualquier número es solución.

Lectura facilitada

A continuación vamos a utilizar todo lo que has aprendido hasta ahora para saber resolver ecuaciones y crear tus propios trucos de magia.

Las ecuaciones son números y letras unidos en los que hay que averiguar el valor de una o varias incógnitas para poder realizar la operación.

Por ejemplo:

x + 5 = 12 → Ecuación

Saber resolver ecuaciones te ayudará también a solucionar problemas de la vida cotidiana.

Para resolver una ecuación deberás seguir los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis (si los hay)

2º Quitar denominadores (si los hay)

3º Transponer términos (pasar los términos con x a un miembro de la igualdad y los términos sin x al otro miembro)

4º Reducir términos semejantes (sumar y/o restar lo que tenga x con lo que tenga x y lo que no tenga x con lo que no tenga x)

5º Despejar la incógnita

6º Comprobar que el resultado cumple la ecuación

¿Ecuación o misterio?

La imagen muestra una persona preguntando por algo amarillo y redondo y un niño que contesta que es el sol

Las ecuaciones son acertijos donde aparecen cantidades de algún tipo.

Un acertijo es un cierto tipo de reto, juego o pasatiempo mental, en el que se le ofrece a alguien un enigma, formulado de manera puntual y específica, para que intente dar con su solución.

2. Tenemos que dominar los conceptos para afrontar los trucos

Ahora vamos a repasar todos los elementos de una ecuación, antes de resolverla.

Opción A: Ecuaciograma

Opción B: Busca la palabra por arte de magia

Lee y completa:

En toda ecuación debe haber un signo Rellenar huecos (1): . A ambos lados del signo igual están los Rellenar huecos (2): JXUwMDNjJXUwMDBiJXUwMDFj Rellenar huecos (3): de la ecuación. Cada miembro está constituido por una serie de Rellenar huecos (4): . A la Rellenar huecos (5): de la ecuación se le suele designar con la letra Rellenar huecos (6): JXUwMDIw y es el valor desconocido que pretendemos averiguar resolviéndola.

Habilitar JavaScript

Opción C: Escoge la opción correcta

Retroalimentación

Falso

Una ecuación es una igualdad de expresiones algebraicas donde hay un valor desconocido que queremos encontrar.

Retroalimentación

Verdadero

Retroalimentación

Verdadero

Retroalimentación

Verdadero

Opción D: Para resolver una ecuación...

Opción E: ...y como truco final, el rosco

Observa las letras, identifiqua y rellena las palabras que faltan.

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3. Las ecuaciones son "puro truco"

Vamos a trabajar el siguiente truco donde pondremos en práctica la resolución de ecuaciones.

Opción A: Nos llevamos el problema a nuestro terreno

¿Sabrías resolver el problema que te planteó Retor Magic?. Vamos a ver un parecido.

Asignamos la incógnita

La incógnita casi siempre hay que asignarla a la cantidad desconocida que nos preguntan.

En este caso, por ejemplo, podemos llamar x al precio del sandwich.

Como la botella de agua vale un euro menos,

el precio de la botella será x-1

Planteamos la ecuación

Como tenemos 2 sandwich, nos costarán 2·x euros.

Como tenemos 3 botellas, nos costarán 3·(x-1) euros.

En total nos gastamos 2x + 3(x-1) euros.

Como sabemos que nos gastamos 8 euros, la ecuación será:

2x + 3(x-1) = 8

Quitamos paréntesis

Si quitamos los paréntesis a la ecuación 2x + 3(x-1) = 8 nos quedará:

2x + 3x - 3 = 8

Transponemos términos

Si dejamos las incógnitas en el primer miembro y pasamos los números al segundo nos quedará:

2x + 3 x = 8 +3

Reducimos términos semejantes

Si realizamos las operaciones de las incóngnitas en el primer miembro y de los números en el segundo, nos quedará:

5x = 11

Despejamos la incógnita

Para despejar la incógnita, pasamos el 5 que multiplica a todo el primer miembro, dividiendo a todo el segundo miembro, y queda:

x = 11/5

Dividimos y obtenemos el resultado

Si hacemos la división de 11 entre 5, tenemos que el valor de x es 2,2

Expresamos las soluciones

El sandwich valdrá 2 euros y 20 céntimos y la botella de agua un euro menos, es decir:

La botella de agua valdrá 1 euros y 20 céntimos

Opción B: Hay que ser ordenados para plantear y resolver trucos

Ordena las siguientes líneas que representan las distintas ecuaciones equivalentes que se van obteniendo para dar con la solución al problema planteado.

Asignamos el valor "x" al precio del sandwich
Planteamos la ecuación: 2x+3(x-1)=10
Quitramos paréntesis: 2x+3x-3=10
Transponemos términos: 2x+3x=10+3
Reducimos términos semejantes: 5x=13
Despejamos la incógnita: x=13/5
Dividimos y obtenemos el resultado: x=2'6
Un sandwich cuesta 2 euros y 60 céntimos
Una botella de agua cuesta 1 euro y 60 céntimos

Opción C: ¿Y si cambiamos los datos?

Opción D: Encuentra el código secreto

De los siguientes tres problemas, uno de ellos conduce a una ecuación compatible determinada, otro a una ecuación compatible indeterminada, y otro a una ecuación incompatible. Deberás averiguar qué problema conduce a cada ecuación y luego poner como código de acceso los números de problemas según el orden dicho anteriormente.

Por ejemplo, el código 321 quiere decir que el problema 3 da lugar a una ecuación compatible determinada, el problema 2 da lugar a una ecuación compatible indeterminada y que el problema 1 genera una ecuación incompatible.

Problema 1

Si dos sandwiches y una botella de agua cuestan lo mismo que tres botellas, y la botella cuesta un euro menos que el sandwich, ¿cuánto cuesta un sandwich?¿y una botella?

Problema 2

Si dos sandwiches y una botella de agua cuestan 5 euros, y la botella cuesta un euro menos que el sandwich, ¿cuánto cuesta un sandwich?¿y una botella?

Problema 3

Si un sandwich y una botella de agua cuestan 1 euro menos que dos sandwiches, y la botella cuesta un euro menos que el sandwich, ¿cuánto cuesta un sandwich?¿y una botella?

Problema 1

Si dos sandwiches y una botella de agua cuestan lo mismo que tres botellas, y la botella cuesta un euro menos que el sandwich, ¿cuánto cuesta un sandwich?¿y una botella?

Solución:

Llamando x al precio del sandwich el del bocadillo sería x-1

2x+(x-1)=3(x-1); 3x-1=3x-3; 3x-3x=-3+1; 0=-2 → Ecuación incompatible

Problema 2

Si dos sandwiches y una botella de agua cuestan 5 euros, y la botella cuesta un euro menos que el sandwich, ¿cuánto cuesta un sandwich?¿y una botella?

Solución:

Llamando x al precio del sandwich el del bocadillo sería x-1

2x+(x-1)=5; 2x+x-1=5; 2x+x=5+1; 3x=6; x=2 → Ecuación compatible determinada

Problema 3

Si un sandwich y una botella de agua cuestan 1 euro menos que dos sandwiches, y la botella cuesta un euro menos que el sandwich, ¿cuánto cuesta un sandwich?¿y una botella?

Solución:

Llamando x al precio del sandwich el del bocadillo sería x-1

x+(x-1)=2x-1; x+x-1=2x-1; 2x-2x=1-1; 0=0 → Ecuación compatible indeterminada

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4. Ecuaciones ¿Desde cuándo?

La historia de las ecuaciones es muy antigua, ya existían ecuaciones en una tablilla de barro húmedo llamada Plimpton 322, encontradas en Babilonia en el año 3700 antes de Cristo.

¡Qué antiguas son las ecuaciones!

Motus dice: ¿Cómo fue todo?

Si has resuelto todos los trucos con ecuaciones, quiere decir que estás haciendo todo lo necesario para convertirte en el gran mago que llevas dentro.

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento No comercial Compartir igual 4.0

Cotidiano

Enigma

Húmedo

Incompatibles

Infinitas

Resolver

Ecuaciones

Soluciones

Son trucos

Para resolverlas

Ecuaciones trucadas

Pregunta 1

Retroalimentación

Pregunta 2

Retroalimentación

Pregunta 3

Retroalimentación

Pregunta 4

Retroalimentación

Asignamos la incógnita

Planteamos la ecuación

Quitamos paréntesis

Transponemos términos

Reducimos términos semejantes

Despejamos la incógnita

Dividimos y obtenemos el resultado

Expresamos las soluciones