4.3 Error, no fallo

Ya sabemos todos los secretos que esconden las aproximaciones.
Pero… si aproximas un número no estás usando su valor exacto.
¿Cómo sabes si es válida la aproximación?
¿Es lo mismo equivocarse en un centímetro midiendo tu altura que midiendo la altura de un edificio?
En tu trabajo vas a realizar muchas aproximaciones.
Es necesario que sepas si son adecuadas.
Lo sabrás cuando realices las siguientes actividades.
1. Error absoluto
El error absoluto de una aproximación es la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.
Es decir, el error absoluto es en cuánto nos equivocamos al usar la aproximación en lugar del valor real.
Para obtener el error relativo se calcula el valor absoluto de la resta del valor real menos el valor aproximado. Se nota E_a.
\mbox{Error absoluto} = E_a =|\mbox{Valor real} - \mbox{Valor aproximado}|
Ejemplos:
Un folio A4 mide 29.7 cm de alto, si aproximamos a 29 cm, el error absoluto es:
E_a =|29,7 \ cm -29 \ cm|=0.7\ cm
La altura del Mulhacén es 3479 m, si aproximamos a 3500 m, el error absoluto es:
E_a=|3479 \ m -3500 \ m|=21 \ m
Observa como el error absoluto se mide en la misma unidad que la aproximación.
2. Error relativo
Si aproximas la altura de un folio a4 a 29 cm y la altura del Mulhacén a 3500 m.
¿Qué aproximación es más precisa?
Podrías pensar en usar el error absoluto para decidirlo,
el error absoluto en la altura del folio es 0.7 cm y el error absoluto en la altura del Mulhacén es 21 m.
Está claro que el error absoluto de la altura del Mulhacén es mucho mayor,
es incluso mayor que la altura del a4.
Pero eso no significa que la aproximación sea menos precisa,
puesto que la altura del Mulhacén también es mucho mayor que la altura del a4.
Para poder comparar se utiliza el error relativo.
El error relativo es el cociente del error absoluto entre el valor real, y se nota E_r.
E_r = \dfrac{\mbox{Error absoluto}}{\mbox{Valor real}}=\dfrac{E_a}{V_r}
En la altura del folio a4:
E_r=\dfrac{0.7 \ cm}{29.7 \ cm}\approx 0.023569
En la altura del Mulhacén:
E_r =\dfrac{21 \ m}{3479\ m}\approx 0.006036
Observa como el error relativo no tiene unidad de medida.
Eso nos permite comparar las aproximaciones.
Como el error relativo en la aproximación de la altura del Mulhacén es más pequeño,
eso significa que esa aproximación es más precisa que la de la altura del folio a4.
3. Cotas del error
Una cota del error es un valor que sabemos que es mayor que el error.
Se usan cotas del error porque son más fáciles de calcular,
a veces, incluso, el error es imposible calcularlo de forma exacta.
Por ejemplo, cuando se dice que la altura del Mulhacen es 3479 m, estamos haciendo una aproximación,
es muy difícil creer que mide eso exactamente.
Sin embargo, si estamos seguros que mide más de 3478 m y menos de 3480 m, por tanto, podemos afirmar que el error absoluto es menor que 1 m.
En este caso, 1 m es una cota del error absoluto.
Y se escribe E_a < 1 \ m
Para calcular una cota del error basta con encontrar un número que sepas seguro que es mayor que el error.
La cota del error es más útil cuanto más cercano al error sea.
Aquí tienes formas sencillas de calcular una cota del error.
Cota del error absoluto en una aproximación por truncamiento.
En una aproximación por truncamiento el error absoluto siempre es menor que una unidad de la última cifra que se utiliza en la aproximación.
Ejemplo
Si al aproximar por truncamiento obtienes 4.57, entonces E_a < 0.01
Si al aproximar por truncamiento obtienes 2.8321, entonces E_a < 0.0001
Cota del error absoluto en una aproximación por redondeo.
En una aproximación por redondeo el error absoluto siempre es menor que media unidad de la última cifra que se utiliza en la aproximación.
Ejemplo
Si al aproximar por redondeo obtienes 4.57, entonces E_a < 0.005
Si al aproximar por redondeo obtienes 2.8321, entonces E_a < 0.00005
Cota del error relativo.
Para poder calcular una cota del error relativo necesitas una cota del error absoluto, y se calcula usando la fórmula del error relativo.
Si no conoces el valor real se usa el valor aproximado.
E_r<\dfrac{E_a}{\mbox{Valor real}} \ \ \ \mbox{o} \ \ \ E_r<\dfrac{E_a}{\mbox{Valor aproximado}}
Al realizar esta división lo normal es que salga un número con muchas cifras decimales, por lo que harás una aproximación. Esta aproximación siempre se hace por exceso, para asegurar que el error es menor que el número que indicas.
Ejemplo:
Si al aproximar por redondeo obtienes 4.57, entonces E_a < 0.005.
Una cota del error relativo es E_r <\dfrac{0.005}{4.57} = 0.00109409190371991247264... <0.0011
4. Controlando el error
Ya sabes aproximar un número y calcular el error o una cota del error que estás cometiendo.
Sin embargo, si realizas operaciones con esa aproximación es muy fácil obtener resultados con un error muy grande.
Ejemplo:
Una camiseta vale 9,99 euros.
Podemos aproximar el precio a 10 euros, y el error absoluto es 0.01 euro que es un error que podemos tolerar.
Imagina que un club quiere comprar 10000 camisetas,
si usa el precio aproximado el coste de las camisetas será 10000\cdot 10 = 100000 euros.
Sin embargo, el precio exacto de las camisetas es 10000\cdot 9.99=99900, es decir, el error absoluto es de 100 euros, que es muy grande,
se pueden comprar 10 camisetas más.
Para controlar el error que se comete al realizar cálculos debes hacerlos siempre con el valor exacto,
si usas una calculadora u ordenador no tienes problemas,
y realizar la aproximación sólo cuando tengas el resultado final.
Ejemplo
Si compras en la carnicería 0.225 kg de carne que tiene un precio de 5.95 €/kg, tienes que pagar:
0.225 \cdot 5.95 =1.33875 \approx 1.34 €.
Si no puedes realizar las operaciones con el valor exacto, por ejemplo por que no dispongas de una calculadora, debes de realizar los cálculos con al menos dos cifras decimales más de las que vas a usar en la aproximación final.
Ejemplo
Calcula aproximando a las centésimas de centímetro la longitud de una circunferencia de radio 3 cm.
La longitud de una circunferencia es dos veces \pi por el radio. \pi tiene infinitas cifras decimales, si no podemos usar la calculadora, como el resultado lo vas a dar con dos cifras decimales usas la aproximación de \pi con cuatro cifras decimales. \pi = 3.141592653589793238462643... \approx 3.1416
l=2\pi r=2\cdot 3.1416 \cdot 3=18.8496 \approx 18.85 cm
5. Reviso lo que aprendo
Reflexiona un momento sobre todo lo que has aprendido hasta llegar aquí.
Y completa el PASO 3 de tu Diario de Aprendizaje (Reviso lo aprendido).
Lumen dice Recuerda
- Pregunta a tu profesor o profesora si la rellenarás en papel o en el ordenador.
- Si la rellenas en el ordenador, ¡no te olvides de guardarla en tu ordenador cuando la termines!
¡Ánimo, que lo harás genial!
6. ¿Acotamos?

Para poder analizar como nos afectará la desaparición de las monedas de céntimo es fundamental conocer los errores y sus cotas.
¡¡Lo practicamos!!
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