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Ya sabemos todos los secretos que esconden las aproximaciones.
Pero… si aproximas un número no estás usando su valor exacto.
¿Cómo sabes si es válida la aproximación?
¿Es lo mismo equivocarse en un centímetro midiendo tu altura que midiendo la altura de un edificio?
En tu trabajo vas a realizar muchas aproximaciones.
Es necesario que sepas si son adecuadas.
Lo sabrás cuando realices las siguientes actividades.
El error absoluto de una aproximación es la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.
Es decir, el error absoluto es en cuánto nos equivocamos al usar la aproximación en lugar del valor real.
Para obtener el error relativo se calcula el valor absoluto de la resta del valor real menos el valor aproximado. Se nota $E_a$.
$\mbox{Error absoluto} = E_a =|\mbox{Valor real} - \mbox{Valor aproximado}|$
Ejemplos:
Un folio A4 mide 29.7 cm de alto, si aproximamos a 29 cm, el error absoluto es:
$E_a =|29,7 \ cm -29 \ cm|=0.7\ cm$
La altura del Mulhacén es 3479 m, si aproximamos a 3500 m, el error absoluto es:
$E_a=|3479 \ m -3500 \ m|=21 \ m$
Observa como el error absoluto se mide en la misma unidad que la aproximación.
Si aproximas la altura de un folio a4 a 29 cm y la altura del Mulhacén a 3500 m.
¿Qué aproximación es más precisa?
Podrías pensar en usar el error absoluto para decidirlo,
el error absoluto en la altura del folio es 0.7 cm y el error absoluto en la altura del Mulhacén es 21 m.
Está claro que el error absoluto de la altura del Mulhacén es mucho mayor,
es incluso mayor que la altura del a4.
Pero eso no significa que la aproximación sea menos precisa,
puesto que la altura del Mulhacén también es mucho mayor que la altura del a4.
Para poder comparar se utiliza el error relativo.
El error relativo es el cociente del error absoluto entre el valor real, y se nota $E_r$.
$E_r = \dfrac{\mbox{Error absoluto}}{\mbox{Valor real}}=\dfrac{E_a}{V_r}$
En la altura del folio a4:
$E_r=\dfrac{0.7 \ cm}{29.7 \ cm}\approx 0.023569$
En la altura del Mulhacén:
$E_r =\dfrac{21 \ m}{3479\ m}\approx 0.006036$
Observa como el error relativo no tiene unidad de medida.
Eso nos permite comparar las aproximaciones.
Como el error relativo en la aproximación de la altura del Mulhacén es más pequeño,
eso significa que esa aproximación es más precisa que la de la altura del folio a4.
Una cota del error es un valor que sabemos que es mayor que el error.
Se usan cotas del error porque son más fáciles de calcular,
a veces, incluso, el error es imposible calcularlo de forma exacta.
Por ejemplo, cuando se dice que la altura del Mulhacen es 3479 m, estamos haciendo una aproximación,
es muy difícil creer que mide eso exactamente.
Sin embargo, si estamos seguros que mide más de 3478 m y menos de 3480 m, por tanto, podemos afirmar que el error absoluto es menor que 1 m.
En este caso, 1 m es una cota del error absoluto.
Y se escribe $E_a < 1 \ m$
Para calcular una cota del error basta con encontrar un número que sepas seguro que es mayor que el error.
La cota del error es más útil cuanto más cercano al error sea.
Aquí tienes formas sencillas de calcular una cota del error.
En una aproximación por truncamiento el error absoluto siempre es menor que una unidad de la última cifra que se utiliza en la aproximación.
Ejemplo
Si al aproximar por truncamiento obtienes 4.57, entonces $E_a < 0.01$
Si al aproximar por truncamiento obtienes 2.8321, entonces $E_a < 0.0001$
En una aproximación por redondeo el error absoluto siempre es menor que media unidad de la última cifra que se utiliza en la aproximación.
Ejemplo
Si al aproximar por redondeo obtienes 4.57, entonces $E_a < 0.005$
Si al aproximar por redondeo obtienes 2.8321, entonces $E_a < 0.00005$
Para poder calcular una cota del error relativo necesitas una cota del error absoluto, y se calcula usando la fórmula del error relativo.
Si no conoces el valor real se usa el valor aproximado.
$E_r<\dfrac{E_a}{\mbox{Valor real}} \ \ \ \mbox{o} \ \ \ E_r<\dfrac{E_a}{\mbox{Valor aproximado}}$
Al realizar esta división lo normal es que salga un número con muchas cifras decimales, por lo que harás una aproximación. Esta aproximación siempre se hace por exceso, para asegurar que el error es menor que el número que indicas.
Ejemplo:
Si al aproximar por redondeo obtienes 4.57, entonces $E_a < 0.005$.
Una cota del error relativo es $E_r <\dfrac{0.005}{4.57} = 0.00109409190371991247264... <0.0011$
Ya sabes aproximar un número y calcular el error o una cota del error que estás cometiendo.
Sin embargo, si realizas operaciones con esa aproximación es muy fácil obtener resultados con un error muy grande.
Ejemplo:
Una camiseta vale 9,99 euros.
Podemos aproximar el precio a 10 euros, y el error absoluto es 0.01 euro que es un error que podemos tolerar.
Imagina que un club quiere comprar 10000 camisetas,
si usa el precio aproximado el coste de las camisetas será $10000\cdot 10 = 100000$ euros.
Sin embargo, el precio exacto de las camisetas es $10000\cdot 9.99=99900$, es decir, el error absoluto es de 100 euros, que es muy grande,
se pueden comprar 10 camisetas más.
Para controlar el error que se comete al realizar cálculos debes hacerlos siempre con el valor exacto,
si usas una calculadora u ordenador no tienes problemas,
y realizar la aproximación sólo cuando tengas el resultado final.
Si compras en la carnicería 0.225 kg de carne que tiene un precio de 5.95 €/kg, tienes que pagar:
$0.225 \cdot 5.95 =1.33875 \approx 1.34$ €.
Si no puedes realizar las operaciones con el valor exacto, por ejemplo por que no dispongas de una calculadora, debes de realizar los cálculos con al menos dos cifras decimales más de las que vas a usar en la aproximación final.
Calcula aproximando a las centésimas de centímetro la longitud de una circunferencia de radio 3 cm.
La longitud de una circunferencia es dos veces $\pi$ por el radio. $\pi$ tiene infinitas cifras decimales, si no podemos usar la calculadora, como el resultado lo vas a dar con dos cifras decimales usas la aproximación de $\pi$ con cuatro cifras decimales. $\pi = 3.141592653589793238462643... \approx 3.1416$
$l=2\pi r=2\cdot 3.1416 \cdot 3=18.8496 \approx 18.85 cm$
Reflexiona un momento sobre todo lo que has aprendido hasta llegar aquí.
Y completa el PASO 3 de tu Diario de Aprendizaje (Reviso lo aprendido).
¡Ánimo, que lo harás genial!
Para poder analizar como nos afectará la desaparición de las monedas de céntimo es fundamental conocer los errores y sus cotas.
¡¡Lo practicamos!!
Comprueba que has comprendido las explicaciones anteriores realizando la siguiente actividad.
Ahora practica el cálculo del error absoluto y del error relativo
Redondea cada valor a un máximo de 5 cifras decimales.
En esta actividad vas hacer lo contrario, vas a realizar una aproximación sabiendo una cota del error que puedes calcular.
Recuerda: Las aproximaciones pueden ser números tanto mayores como menores al real.
¿Eres capaz de superar diez niveles?
Calcular una cota del error absoluto es muy fácil cuando se trunca o redondea un número.
Si se trunca el número, una cota del error es una unidad de la última cifra decimal de la aproximación. Por ejemplo, si trunco el número 3.7859 a las centésimas, 3.78, el error absoluto es menor que una centésima, $E_a<0.01$.
Si se redondea el número, una cota del error es la mitad de la última cifra decimal de la aproximación. Por ejemplo, si redondeo el número 3.7859 a las centésimas, 3.79, el error absoluto es menor que media centésima, $E_a<0.005$
Escribe un texto en el que expliques detalladamente por qué es correcta esta forma de calcular una cota del error absoluto.
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