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4.2 Los polígonos en nuestra caseta

Diccionario

Friso

La imagen muestra una pared con azulejos de color gris.

Definición:

Banda horizontal de diferentes materiales con que se protege o adorna la parte inferior o superior de una pared.

Ejemplo:

El friso de aquel palacio estaba mal conservado.

Limitadas

La imagen muestra un triángulo cuyo interior únicamente se encuentra coloreado de rojo una porción pequeña en el lado del vértice.

Definición:

Poco o escaso.

Ejemplo:

Las entradas del concierto eran limitadas.

Loneta

La imagen muestra una tela de color morado.

Definición:

Tela delgada.

Ejemplo:

Para evitar que la pintura manchase el suelo, Ismael colocó una loneta.

Panales

La imagen muestra un panal de abejas, y delante de él una abeja.

Definición:

Conjunto de celdas hexagonales de cera, colocadas en series paralelas, que las abejas forman dentro de la colmena para depositar la miel.

Ejemplo:

Cuando fuimos de excursión a la granja, pudimos ver gran cantidad de panales.

Segmentos

La imagen muestra una recta finalizada en ambos extremos por un punto.

Definición:

Fragmento de la recta que está comprendido entre dos puntos.

Ejemplo:

Dibuja un segmento con la regla.

Útil

La imagen muestra dos manos presionando un círculo rojo.

Definición:

Que sirve para algo.

Ejemplo:

A Juan le resultó útil aquel curso de tecnología

Ya has comprobado cómo los cuadriláteros son formas geométricas planas que pueden formar parte de nuestra caseta, bien en la forma del terreno, de las paredes, o el techo de la misma.

En este apartado vas a comprobar cómo hay otras figuras geométricas, llamadas polígonos, que pueden formar parte también de nuestra caseta.

1. Los polígonos en el plano

Muchas de las figuras geométricas que aparecen en las casetas son formas muy conocidas y estudiadas dentro de las Matemáticas. Dentro de estas formas están los polígonos.

Los polígonos son figuras planas que están limitadas por un número de segmentos rectos (al menos tres) que encierran una región del plano. Los polígonos, por tanto, no tienen líneas curvas.

Hay muchos polígonos a nuestro alrededor, y por supuesto, como hemos dicho anteriormente, nos encontramos polígonos en las casetas de feria.

En la siguiente portada de caseta podríamos encontrar ejemplos de distintos polígonos como los que se muestran en la animación:

La imagen muestra la portada de una caseta con franjas en tonos rojos      La imagen muestra una animación con varios polígonos encontrados en una portada de caseta, como un rectángulo, un rombo, un cuadrado, un pentágono y un triángulo

Elementos de un polígono

Del siguiente modelo de caseta, nos vamos a fijar en su portada. La imagen muestra un modelo de estructura de caseta a dos aguas

Se trata de un polígono, ya que está formado por la unión de segmentos rectos, en este caso cinco.

La imagen muestra la portada del modelo de estructura de techo a dos aguasAnalizamos los distintos elementos que tiene este polígono:

La imagen muestra los elementos comunes de un polígono Lado: cada uno de los segmentos que forman el polígono

Vértice: punto de contacto de dos lados

Diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos

Ángulo: ángulo que forman dos lados consecutivos

Clasificación de los polígonos

Ya has visto que en las casetas pueden aparecer polígonos. Hay muchos tipos de polígonos. Los polígonos se clasifican atendiendo a alguna de sus características.

Atendiendo al número de lados que tengan, podemos establecer una clasificación de los polígonos.

Veamos los polígonos más comunes, según el número de lados:

La imagen muestra los distintos tipos de polígonos según sus lados, de 3 a 10 ladosIntenta localizar estos tipos de polígonos en la siguiente portada:

La imagen muestra una portada de caseta con ejemplos de distintos tipos de polígonos

Cuando lo tengas claro, pulsa en la siguiente animación para ver el resultado:



Polígonos regulares e irregulares

Un polígono es regular si todos sus lados miden lo mismo y todos sus ángulos también.

Si no cumple alguna de las dos condiciones anteriores se llama semirregular y si no cumple ninguna de las dos condiciones, se llamaría polígono no regular, o irregular.

Así pues, podríamos determinar otra clasificación de los polígonos atendiendo a esta característica, y obtendríamos así polígonos regulares, semirregulares o no regulares.

Veamos estos tipos de polígonos en la portada de nuestra caseta:

La imagen muestra una portada de caseta con ejemplos de polígonos regulares, semirregulares y no regulares

La imagen muestra un triángulo cuyo interior únicamente se encuentra coloreado de rojo una porción pequeña en el lado del vértice.

Definición:

Poco o escaso.

Ejemplo:

Las entradas del concierto eran limitadas.

La imagen muestra una recta finalizada en ambos extremos por un punto.

Definición:

Fragmento de la recta que está comprendido entre dos puntos.

Ejemplo:

Dibuja un segmento con la regla.

Lumen dice: ¡...y los polígonos regulares tienen más elementos!

Los polígonos regulares tienen unos elementos añadidos a los elementos comunes para todo tipo de polígonos. ¿Sabes cuáles son? Te los mostramos en el siguiente ejemplo de hexágono regular.

La imagen muestra el centro, el radio y la apotema de un hexágono de color verde

Centro: punto que está a la misma distancia de todos los vértices

Apotema: segmento que une el centro y el punto medio de un lado

Radio: segmento que une el centro y un vértice

2. Tomamos medidas para la caseta

Triángulos

Ya has visto cómo los triángulos aparecen con frecuencia en las portadas de las casetas.

Si necesitamos saber la superficie que ocupan, necesitaremos conocer su área.

El área de un triángulo es el producto de su base por su altura dividido entre dos.

El borde de ese triángulo, su perímetro, se calcula como la suma de sus tres lados.

¿Cómo calcularías la superficie del friso del frontal de la caseta siguiente con forma de triángulo?

La imagen muestra la fachada de Mi Caseta con medidas La imagen muestra el friso de Mi Caseta con medidas

Conocemos su base que mide 12 cm, y su altura la podemos calcular restando 15-10=5cm.

 Luego el área pedida es A=(12x5)/2=30cm2

Polígono regular

El área de un polígono regular es el producto de su perímetro por la apotema (que designamos por ap) dividido entre dos.

El perímetro se calcula sumando todos los lados o multiplicando la medida de un lado por el número de lados que tenga.

Vamos a intentar calcular el área del adorno con forma de pentágono regular que aparece en este frontal de caseta:

La imagen muestra un friso con figuras simétricas, entre ellas un círculo verde, dos círculos azules y dos triángulos

Los datos que nos aportan es que su radio mide 5 cm y que el lado mide 6 cm.

Para calcular el perímetro, basta hacer: Perímetro= 6+6+6+6+6= 6x5= 30cm

Para calcular su área, como sabemos que el área sigue la fórmula A=(P x ap)/2 debemos calcular anteriormente su apotema.

La imagen muestra un pentágono de color morado con radio 5cm, lado 6cm y apotema desconocida

Estamos en la situación del Teorema de Pitágoras, teniendo como hipotenusa el radio del pentágono, y como catetos la apotema y la mitad del lado.

52=ap2+32 →  25=ap2+9 → ap2=16 → ap=4cm.    Luego el área sería A=(30 x 4)/2=60cm2

Polígono no regular

En el caso de que tengamos un polígono no regular de más de 4 lados, para hallar su área tendríamos que descomponer en figuras más sencillas (triángulos o cuadriláteros fundamentalmente), que sabemos calcular su área.

El perímetro se hallaría sumando todos los lados del polígono.

Por ejemplo, si quisiéramos hallar el área y el perímetro de la fachada de la caseta siguiente:

La imagen muestra un modelo de estructura de caseta a dos aguas con medidas

La imagen muestra una portada de caseta a dos aguas dividida con medidas

Tendríamos que descomponer en un triángulo por una parte y un cuadrado por otra parte y calcular sus áreas.

Área total= área del cuadrado + área del triángulo= (10 x 10) + (10 x altura del triángulo)/2

La imagen muestra un triángulo rectángulo de altura desconocida y de hipotenusa 8cm y el otro cateto 5cm

La altura del triángulo (h), la calculamos con el Teorema de Pitágoras, ya que es un cateto del triángulo rectángulo

82=h2+52 → 64=h2+25 → h2=64-25=39 → h= 6'24cm

Luego: Área total=(10 x 10) + (10 x altura del triángulo)/2=100+31'2= 131'2cm2

Por otro lado, y mucho más fácil y cómodo de calcular, el perímetro sería: P= 8+8+10+10+10= 46cm

La imagen muestra una pared con azulejos de color gris.

Definición:

Banda horizontal de diferentes materiales con que se protege o adorna la parte inferior o superior de una pared.

Ejemplo:

El friso de aquel palacio estaba mal conservado.

clavis dice ¿Quieres conocer una propiedad que tienen los hexágonos?

El hexágono regular es el único polígono regular donde el radio y el lado miden lo mismo.

Gracias a esta propiedad, conociendo solo uno de estos tres elementos: el lado, el radio, o la apotema, y utilizando el Teorema de Pitágoras, podríamos hallar el área y el perímetro del hexágono regular.

La imagen muestra un hexágono de color verde y donde se señala un radio y un lado

radio = lado

3. ¿Mucha información para que tu caseta sea de las mejores?

Has recibido mucha información hasta el momento para ayudarte a crear una de las mejores casetas de la feria. 

Es posible que hayas olvidado información importante, para ello te recomendamos que anotes cualquier tipo de idea que creas que te puede resultar útil.

Te servirá visitar el siguiente enlace para conocer cómo hacer un resumen de toda la información que tienes hasta el momento.

¡Continúa así, tu caseta será realmente alucinante!

La imagen muestra un libro abierto, en la página derecha aparecen diferentes círculos con flechas que se derivan de él.

La imagen muestra dos manos presionando un círculo rojo.

Definición:

Que sirve para algo.

Ejemplo:

A Juan le resultó útil aquel curso de tecnología

4. Manos a la obra y a calcular para fabricar nuestra caseta

Rétor dice:Llega la hora de saber si eres capaz de calcular las áreas y perímetros de los polígonos que puedes utilizar para montar tu caseta.

Manejar estos cálculos te permitirá conocer el material necesario para construirla, pintarla, etc.

Así pues, vamos a diseñar un modelo de caseta y calcular las medidas que se esconden bajo sus formas geométricas.

Opción A: Elige la estructura adecuada

Pregunta

Imagínate que quieres realizar una maqueta con una portada como esta:

La imagen muestra la portada de una caseta con franjas en tonos verdes¿Qué estructura y cálculos necesitarías para completarla?

Necesitarás contar con una estructura acorde a esa forma de portada. Recuerda los tipos de estructuras que han aparecido y la forma que tienen sus portadas. También necesitarás reconocer las formas geométricas que aparecen, los polígonos, y calcular sus áreas.

Elige las opciones que estimes correctas:

Respuestas

Necesito disponer de una estructura como esta:

La imagen muestra un modelo de estructura de caseta a dos aguas

La portada tiene forma de hexágono regular y su área es (Perímetro x apotema)/2

Tengo que tener en cuenta todas las formas geométricas que aparecen y calcular sus áreas.

En la portada aparecen varios tipos de polígonos, entre ellos los círculos.

Los adornos geométricos de la parte superior son simétricos a izquierda y derecha.

La portada tiene una estructura con forma de pentágono:

La imagen muestra la portada del modelo de estructura de techo a dos aguas

Retroalimentación

Opción B: Organízate y planifica los cálculos

Imagina que vas a decorar con loneta todo el frontal de la siguiente caseta y que vas a colocar un adorno colgante por toda su puerta. Necesitarás saber cuántos metros cuadrados de tela de cada color hay en la fachada y cuánto mide el perímetro que vas a adornar. Te planteamos los pasos que debes seguir para ello. Ordénalos de forma correcta para conseguir el fin que persigues.

Pulsa el botón para comprobar si los has hecho correctamente.

La imagen muestra una portada de caseta verde y amailla con adornos y medidas

La imagen muestra una tela de color morado.

Definición:

Tela delgada.

Ejemplo:

Para evitar que la pintura manchase el suelo, Ismael colocó una loneta.

  • Calculo primero el área del rectángulo de color amarillo de base 12 y altura 10 y multiplico 12 por 10
  • Tras el área del rectángulo amarillo calculo el área de color azul de la puerta multiplicando la base por la altura, es decir, 4 por 5
  • Resto el área del rectángulo al de la puerta para saber la tela de color amarillo, 120-20=100cm2
  • Calculo, después de conocer la tela amarilla que necesito, el área del triángulo de color verde multiplicando su base 12 por su altura 4 y dividiendo el resultado por 2, obteniendo de resultado 24cm2
  • Calculo el área de rombo, multiplicando sus diagonales y dividiendo el resultado por 2, obteniendo 4cm2
  • Despúes del rombo, calculo el área de los cuadrados azul y naranja de lado 1, multiplicando lado por lado
  • Resto el área del triángulo verde al del rombo y cuadrados pequeños para conocer la tela que necesito verde, que resulta 24-6=18cm2
  • Y para terminar, realizo los cálculos sobre la puerta para saber los metros de adornos que necesito 5+4+5+4=18cm

Comprobar

¡Correcto!

No es correcto... Respuesta correcta:

Opción C: Realiza los cálculos y prepara el material

Imagina que quieres montar tu caseta de feria y preparas una maqueta a escala 1:100* con la siguiente fachada:

La imagen muestra la portada de una caseta de color rojo a dos aguas con medidas

Quieres empezar comprando el material para realizar el rombo azul de la parte superior y loneta para la puerta de entrada. También quieres adornar el perímetro de la puerta con una guirnalda de colores. Realiza los cálculos necesarios y responde completando los huecos con las cantidades que faltan (ten en cuenta la escala):

Necesitaré m2 de tela celeste para la puerta de la caseta, m2 de material para el rombo azul, y ' m aproximadamente de guirnalda para la puerta.

* Escala 1:100→ Quiere decir que 1cm de la maqueta equivale a 100cm, es decir, 1m, de la caseta real. Cuando queremos relacionar áreas de figuras semejantes, como la maqueta y la caseta, el área de una región en la la caseta es 10000 veces el área de la parte correspondiente de la maqueta

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Opción D: Personaliza tu modelo y calcula el gasto

Ahora vas a calcular el gasto básico que supone la realización de la caseta, teniendo como referencia nuestra maqueta y la escala de referencia que ya ha aparecido 1:100.

En la siguiente animación puedes escoger tu modelo de caseta personalizado. A continuación, debes realizar los cálculos necesarios para hallar la superficie de todas las formas geométricas que aparecen en tu maqueta (techos, paredes, puerta, ventanas,...).




Se trata de que calcules cuánto te costaría fabricar la caseta si el material para las paredes laterales y traseras cuesta 5 euros el m2, el material para el techo cuesta 6 euros el m2, el material para la fachada  4 euros el m2, y el material para puertas y ventanas sería de 7 euros el m2.

Las dimensiones de los modelos son las siguientes:

La imagen muestra un modelo de estructura de caseta con techo redondeado con medidasLa imagen muestra un modelo de estructura de caseta con techo formado por tres rectángulos con medidas

Y las medidas de las formas geométricas que aparecen:

En la imagen se muestra un rombo, un rectángulo, un cuadrado, un hexágono y un círculo

Sobre las escalas

Recuerda que en una escala 1:100 ocurre que:

-Un segmento que mida 1cm en la maqueta equivale a 100cm en la realidad (multiplicamos por 100), es decir, 1 metro

-Una región que tenga 1cm2 de área en la maqueta equivale a 10000 cm2 en la realidad (multiplicamos por 10000), es decir, 1m2

Motus dice: ¿Has tenido confianza en ti mismo al realizar la actividad?

Cuando tenemos que hacer alguna actividad podemos tener dudas sobre si seremos capaces de hacerlo.


Para poder vencer a estos miedos en las nuevas actividades que tengas que hacer sigue estos consejos:

1. Hay cosas que haces muy bien. Úsalas para hacer la actividad.
2. Hay cosas que te cuestan un poco hacerlas. Inténtalo y cree en ti mismo o en ti misma. Seguro que te sorprende lo que puedes conseguir.
3. Hay cosas que son muy difíciles. Fíjate en algún ejemplo, pregunta a tu compañero o compañera. Pide ayuda a tu profe.

5. ¿Sabías por qué las abejas hacen sus panales utilizando celdas hexagonales?

En este apartado hemos hablado de polígonos y, entre ellos, de los hexágonos regulares.

¿Te habías planteado alguna vez por qué las abejas realizan sus panales con celdas con esta forma geométrica?

¿Será fruto del azar o hay una razón detrás de ello?

Piensa en ello y cuando lo tengas decidido, pulsa en la respuesta.

La imagen muestra una abeja en un panal de abejas

La imagen muestra un panal de abejas, y delante de él una abeja.

Definición:

Conjunto de celdas hexagonales de cera, colocadas en series paralelas, que las abejas forman dentro de la colmena para depositar la miel.

Ejemplo:

Cuando fuimos de excursión a la granja, pudimos ver gran cantidad de panales.

Respuesta

Pues hay una explicación para ello.

Las abejas utilizan hexágonos regulares porque así almacenan la miel de la forma más útil  y utilizando la menor cantidad de recursos posibles.

Las abejas parecen ser unas expertas en geometrías y su propia intuición les hace reconocer a esta figura geométrica, el hexágono regular, como la figura más adecuada para almacenar su miel, consiguiendo generar una estructura sólida y estable que garantice una colmena firme y duradera.

Motus dice: ¿Qué tal va todo?

Ya has dado un paso más para el diseño de tu caseta y has comprobado cómo los polígonos aparecen en las portadas de las casetas. En el siguiente apartado descubrirás nuevas figuras planas que podemos encontrar en las casetas y que no pertenecen al grupo de los polígonos.