Vamos a comenzar aprendiendo una herramienta básica para nuestra guía matemática: Las potencias y las raíces.
Las necesitaremos calcular algunas distancias y longitudes ocultas, que son son fáciles de medir.
¿Las repasamos?
Vas a comenzar aprendiendo una herramienta básica
para nuestra guía matemática:
Las potencias y las raíces.
Las necesitarás para calcular algunas distancias y longitudes ocultas.
¿Las repasamos?
Vamos a trabajar con las potencias,
que aparecen continuamente en nuestro aprendizaje y además nos ayudan a describir
de manera más fácil los grandes números y los números muy pequeños.
Recordaremos las potencias que tienen de exponente un número natural.
Son las únicas que responden al concepto de "multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el exponente".
Potencia
Llamamos potencia an de base a (un número cualquiera) y exponente n (nº natural) al resultado de multiplicar n veces la base a por sí misma:
Por ejemplo, \(5^2 = 5\cdot 5 = 25\), o bien \(0.2^3 = 0.2\cdot 0.2\cdot0.2 = 0.008\)
Los cálculos que podemos realizar con las potencias sirven también en el caso de que el exponente a sea positivo, negativo, cero, decimal, fracción, etc. Es decir, cualquier número real.
A continuación tenemos las fórmulas que corresponden a las operaciones:
Se deja la misma base y se suman los exponentes.
\(a^n\cdot a^m = a^{m+n}\)
Ejemplo:
\((-5)^5\cdot (-5)^{-3}\cdot (-5)^2\cdot (-5)^{-6} = (-5)^{4 +(-3)+2+ (-6)} =(-5)^{-3}\)
Se deja la misma base y se restan los exponentes.
\(a^n : a^m = a^{m-n}\)
Ejemplo:
\((-12)^7 : (-12)^2 =(-12)^{7-2}=(-12)^5\)
Se eleva la base al producto de los exponentes.
\((a^n)^m = a^{m\cdot n}\)
Ejemplo:
\((5^3)^6 = 5^{3\cdot 6}= 5^{18}\)
Se eleva cada factor al exponente y se escriben multiplicando.
\(a^N\cdot b^N = (a\cdot b)^N\)
Ejemplo:
\(60^2= [3\cdot 5\cdot 4]^2= 3^2\cdot 5^2\cdot 4^2\)
Es el cociente entre la potencia del numerador y la del denominador también elevado al mismo exponente.
\(a^N: b^N = (a : b)^N\)
Ejemplo:
\(18^4: 3^4 = (18 : 3)^4=6^4\)
Equivale a la fracción 1 dividido entre la potencia de la misma base y exponente cambiado de signo.
\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
Ejemplo:
\( \dfrac{1}{7776} = \dfrac{1}{6^5}=6^{-5} \)
Es exactamente uno (sólo se admite si la base no es también cero).
\(a^0 = 1\)
Ejemplo:
\((-24)^0 = 1\)
La raíz exacta es una operación matemática que es la inversa de la potencia.
Puedes imaginar que una raíz siempre va acompañada de una potencia. Una lleva a la otra, y viceversa.
Por tanto, y esto es una gran ventaja, podemos aprovechar las propiedades de las potencias para operar con raíces.
Una expresión radical (o más breve, una "raíz") consta de estos elementos:
Todo ese lío se traduce así: La raíz (o "el radical") de índice n de un radicando x es igual al resultado b.
Lo más importante es la relación que hay entre esas tres cantidades: el resultado b elevado al exponente n es igual al radicando x. Mira:
Por ejemplo: \(\sqrt[4]{16} = 2\) equivale a la expresión potencial \(2^4=16\).
¡Vaya descubrimiento!
Si aprendiste bien las propiedades de las operaciones con potencias, tienes premio. Te sirve para simplificar radicales:
\(\sqrt[n]{a^n} = a\), porque el radicando es \(a^n\) y coincide con el resultado a elevado al índice n.
A veces, te verás obligado a escribir el radicando en forma de potencia para aplicar todos estos conocimientos...
Ejemplos resueltos de raíces.
\(\sqrt{7^4} = 7^2\), porque el radicando \(7^4\) es igual al resultado \( 7^2\) elevado al índice 2: \((7^2)^2=7^{2\cdot 2}=7^4\).
Sería lo mismo que decir \(\sqrt{2401} = 49\)
Observa que nos conviene que el radicando \(2401\) esté en forma de potencia \(7^4\).
En el caso \(\sqrt{625}\), descomponemos 625 en factores primos: \(625=5^4\)
\(\sqrt{5^4}=5^2=25\), porque el radicando \(5^4\) es igual al resultado \( 5^2\) elevado al índice 2, \((5^2)^2\) y por la propiedad [3] de las potencias: \(5^{2\cdot 2}=5^4=625\)
Si nos piden \(\sqrt{1296}\), descomponemos \(1296\) en factores primos: \(1296=2^4\cdot 3^4\)
Entonces, \(\sqrt{1296}=\sqrt{2^4\cdot 3^4}\)
Es el momento de recordar la propiedad [4] de las potencias, la de la potencia de un producto de dos factores.
\(\sqrt{1296}=\sqrt{(2\cdot 3)^4}=(2\cdot 3)^2=6^2\)
Sería el mismo resultado que \(\sqrt{1296}=36\).
Ahora, con decimales y potencias de fracciones.
\(\sqrt{0.09}=\sqrt{\dfrac{9}{100}}=\sqrt{\dfrac{3^2}{10^2}}\)
Ahora bien, por la propiedad [5] de las potencias:
\(\sqrt{0.09}=\sqrt{(\dfrac{3}{10})^2}=\dfrac{3}{10}=0.3\)
Has visto la relación que hay entre potencias y raices, seguro que no la conocías. Verás que pronto dominas sus secretos ocultos y las utilizas en tu guía matemática.
Vamos a practicarlas en los ejercicios siguientes.
¿Te animás?
Lee y completa los recuadros en blanco:
Para comenzar "Pulse aquí para jugar".
Selecciona la única respuesta correcta y pulsa el tick verde o bien espera a que termine el tiempo.
A las raíces no exactas también se las conoce como enteras.
En esta actividad se trata de una raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto. Eso significa que es imposible encontrar un resultado que sea un número natural o una fracción. Como mucho, podemos dar el resultado y lo que "sobra".
Un ejemplo: La raíz cuadrada de 144, \(\sqrt {144}\) da exactamente 12, puesto que \(12^2=144\). Pero \(\sqrt {150}\) no es exacta. Su valor es algo más que 12, ya que de 144 a 150 hay un resto de 6 unidades.
Comprueba todo esto moviendo el deslizador y observando los puntitos que "sobran" tras cada cuadrado completo. Mira también cuántos puntitos tiene la figura en cada uno de sus lados.
¿Te has equivocado en algo al hacer la actividad?
Cuando queremos aprender algo, lo normal es equivocarse al principio. Fallar forma parte de aprender. ¿Recuerdas cuando montaste en bici por primera vez? ¿o cuando intentabas nadar en el agua? Seguro que al principio no fue fácil, pero cada vez que fallabas, lo intentabas de nuevo. Con cada fallo aprendemos del error y lo mejoramos para la vez siguiente.
Para aprender de tus errores sigue estos consejos:
1. Me doy cuenta de en qué parte he fallado.
2. Busco la forma de mejorar ese error.
3. Lo intento de nuevo.
4. Entiendo que el error es importante para aprender.
No lo olvides: cuando te equivocas una vez, aprendes para el siguiente intento
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