2. Capturando triángulos

Diccionario

Área

Definición: Superficie comprendida dentro de un perímetro.
Ejemplo: ¿Cuál es el área de esta superficie?

Cateto

Definición: Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo.
Ejemplo: ¿Cuáles son los catetos de este triángulo?

Definición

Definición: Exposición con claridad y exactitud.
Ejemplo: Esa fotografía tiene una definición excelente.

Hipotenusa

Definición: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo.
Ejemplo: Vamos a averiguar la hipotenusa de este triángulo.

Mosaico

Definición: Desarrollar una cosa que requiere un proceso intelectual, como una idea, un escrito, y más.
Ejemplo: Vamos a confeccionar un documento que refleje lo que hemos estudiado.

Perímetro

Definición: Contorno de una superficie.
Ejemplo: Vamos a calcular el perímetro del aula.

Zócalo

Definición: Cuerpo inferior de un edificio u obra.
Ejemplo: El zócalo de mi casa es rústico.

¿Te ha gustado la propuesta?

A veces puedes pensar qué buscar elementos matemáticos en el entorno debe ser algo muy complicado, pero … verás qué fácil te resulta.

Te ayudo a identificarlos, verás cómo encuentras muchos cerca de tí y los puedes aplicar en tu guía matemática..

Lectura facilitada

¿Te ha gustado la propuesta?

A veces puedes pensar

que buscar elementos matemáticos en el entorno

debe ser algo muy complicado,

pero … verás qué fácil te resulta.

Te ayudo a identificarlos,

verás cómo encuentras muchos cerca de tí

y los puedes aplicar en tu guía matemática.

1. Cazamos triángulos

Organizamos los equipos y empieza la captura

Nos organizamos en equipos de 3 a 5 personas y elegimos a uno/a que haga de portavoz y otro/a componente que vaya anotando las ideas y los plazos de cada tarea.

Rectángulo dividido por la diagonal en dos triángulos azul y amarillo

En un día libre o bien en el camino al centro o a casa, se toman unas fotos (con buena definición y escala real) en las que aparezcan triángulos, completos o no.

Buscaremos objetos triangulares, aunque también puede servir un cuadrilátero, con la idea de encontrar dos triángulos en su interior.

Por ejemplo, la diagonal de un rectángulo lo divide en dos magníficos triángulos rectángulos iguales.

Triángulo imaginario ante Torre del Oro

En esta pequeña cacería de fotos, no dejemos de lado algún zócalo, mosaico o incluso un triángulo rectángulo imaginario: Observamos un monumento vertical (un cateto), la distancia desde nuestra posición al pie del mismo (el otro cateto) y la visual hasta su vértice superior (o sea, la hipotenusa).

Análisis de las imágenes

Se eligen tres imágenes por cada equipo, en las que aparezcan triángulos, y se formulan algunas preguntas con la idea de recordar algunas propiedades básicas:

a) En una de las formas triangulares, halla el cociente entre la base y la altura.
b) Clasifica dos de los triángulos que se aprecian según sus lados y según sus ángulos.
c) Localiza dos triángulos semejantes y explica por qué lo son.
d) Halla los perímetros y las áreas de esos dos triángulos.

Debate y conclusiones

Una vez finalizados los trabajos de los equipos, compartimos una reproducción de las imágenes en papel o en la pantalla y cada portavoz explica las características de una de ellas, la que han estudiado.

Al final, se lanzan unas preguntas (previamente preparadas en el equipo) y se intenta conseguir que se animen y busquen en lo que aprendieron años atrás.

Ejemplos: ¿Cómo se mide la diagonal de un rectángulo? Busca algún punto que equidiste de los vértices. ¿En esa figura se pueden observar otros triángulos? ¿Cómo se denominan?

Se puntúa la respuesta que da cada uno de los restantes equipos.

Lumen dice ¿Te ayudo a analizar las imágenes?

Un ejemplo: En la imagen vemos dos triángulos señalados en una zona central de la Puerta del Príncipe.

Dos triángulos señalados en un detalle de una foto de la Puerta del Príncipe.

Aquí tienes pistas para encontrar las respuestas a las cuatro cuestiones anteriores:

a) En una de las formas triangulares, halla el cociente entre la base y la altura.

Midiendo directamente en la imagen y dividiendo las dos longitudes del triángulo amarillo se obtiene 3.6 cm : 0.8 cm = 4.5.

Repitiendo la operación en el triángulo verde obtenemos \(\dfrac{6.3}{1.4} = 4,5\)

b) Clasifica dos de los triángulos que se aprecian según sus lados y según sus ángulos.

Ambos triángulos son isósceles, porque tienen un par de lados iguales.

Son obtusángulos, porque...

c) Localiza dos triángulos semejantes y explica por qué lo son.

Hay varias formas de comprobar la semejanza...

Como recordarás, la "razón de semejanza" es el cociente entre dos segmentos correspondientes (les llamamos "homólogos").

Por ejemplo, al dividir la base del triángulo verde entre la del amarillo se obtiene 1.75.

Es la razón de semejanza entre esa pareja de triángulos.

Si multiplicas cualquier segmento del amarillo por 1.75 se obtiene el correspondiente en el verde.

Haz la prueba con la longitud del lado de la izquierda, que es 2 cm en el amarillo.

¿Cuál será la del verde?

d) Halla los perímetros y las áreas de esos dos triángulos.

El perímetro del triángulo verde es la suma de 6.4 + 3.5 + 3.5 = 13.4 cm. El del amarillo es...

El área del amarillo es \( \dfrac{3.6\cdot0.8}{2} = 1.44 cm^2\) y la del verde es...

2. Llegar a una meta

Para llegar a una meta, es conveniente que seas un buen o buena estratega. Es decir, tener métodos, técnicas, “trucos” para llegar antes o de forma más fácil donde tú quieres.

Ahora te voy a enseñar una estrategia, ¡Aprovéchala para alcanzar tu reto!

Para construir nuestro aprendizaje, vamos a aprender a identificar las ideas principales y secundarias.

Echa un vistazo la Guía didáctica de aprender a aprender.

¡Ánimo, que lo harás genial!

3. Hay triángulos a la vista y otros están camuflados.

En las siguientes actividades vas a trabajar algunas propiedades que seguramente recuerdas de cursos anteriores, como la proporcionalidad de segmentos (el famoso teorema de Tales), las escalas, las simetrías y otros movimientos en el plano, la identificación y las características de triángulos a tu alrededor y, para los más creativos, los puntos notables del triángulo y la semejanza de triángulos.

¡Vamos!

Lectura facilitada

En las siguientes actividades vas a trabajar algunas propiedades

que seguramente recuerdas de cursos anteriores:

la proporcionalidad de segmentos (el famoso teorema de Thales)

las escalas
las simetrías y otros movimientos en el plano
la identificación y las características de triángulos a tu alrededor
los puntos notables del triángulo y la semejanza de triángulos.

¡Vamos!

Opción B: Aprendemos con la Giralda

Seguimos recordando algunas aplicaciones de la proporcionalidad de segmentos.

En esta actividad puedes elegir una de las cuatros secciones de que consta, tantas veces como quieras.

En REDUCCIÓN, mueve en horizontal el botón rojo para elegir el porcentaje de reducción. Por ejemplo, 0,5 es el 50% y reduce la altura de la Giralda a la mitad.

Si prefieres ESCALA NUMÉRICA, puedes comprobar la relación que existe entre el porcentaje de reducción y la escala, cuando la escribes en su forma habitual. Por ejemplo, 1 : 400.

Elige ESCALA GRÁFICA para ver la altura que quieras de un rascacielos y la de su maqueta a escala 1 : 1000.

También tienes ACTIVIDADES para practicar.

https://www.geogebra.org/m/v4ncseWZ (Ventana nueva)

Ceferino%20A.,https%3A//ggbm.at/2831241,Escala%20num%E9rica%20y%20gr%E1fica,0,Autor%EDa

💠 Como todas las actividades en Geogebra, puedes verla también a pantalla completa.

Opción C: Juego de los segmentos proporcionales

Observa las imágenes, construye la igualdad entre los cocientes de los segmentos proporcionales (igual que en el ejemplo de arriba) y despeja la longitud desconocida (puedes llamarle "x" o con cualquier letra).

Mira las posibles respuestas y selecciona la correcta, cuidando el cambio de centímetros a metros o viceversa.

Para comprobar si has acertado haz clic en el icono de abajo [✔].

Si tienes dudas en cómo resolver las cuestiones consulta esta información.

Ya sabemos que, según el teorema de Tales, encontramos segmentos proporcionales en muchas figuras.

Uno de los ejemplos más sencillos forma parte de la leyenda del sabio griego Tales de Mileto.

En pocas palabras y algunas imágenes: todos los objetos verticales

producen sombra en el suelo si están iluminados por una luz extensa,

como el sol (cuando el día no está nublado, claro).

Se admite que los rayos del sol inciden paralelos en todos los puntos de los objetos,

de forma que el objeto vertical y la sombra horizontal están en la misma relación.

Mira la foto de la Torre del Oro de Sevilla y luego el esquema de la imagen:

Segmentos ante torre

Esquema de los triángulos en la Torre

Se verifica que el cociente entre la altura de la torre 1 y la del objeto 2 coincide con el cociente entre

las longitudes de las sombras correspondientes, gracias a que los rayos de sol son paralelos.

Entonces, si suponemos que la sombra de la Torre del Oro se pudiera medir y fuese en ese momento de 62.46 metros,

¿cuál sería la altura h del primer cuerpo de la Torre, la que está marcada en azul?

El cálculo es:

\(\dfrac{h}{0.65}=\dfrac{62.46}{2.03}\rightarrow h = \dfrac{62.46}{2.03} \cdot 0.65 = 20 m\)

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No olvides que se trata de calcular un número desconocido en una proporción. Lo primero es igualar los productos cruzados y después despejar esa incógnita.

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Opción D: Escalas y mapas

El trabajo con mapas a escala va a ser muy importante en nuestra Guía.

Recordarás que la escala en un plano (o en un mapa, una maqueta) es la razón (cociente, fracción) entre la distancia entre dos puntos cualesquiera medida en el plano y la distancia correspondiente en la realidad. Se representa, por ejemplo, 1 : 600. Eso significa que una unidad en el plano corresponde a 600 unidades en la realidad.

Si tienes dudas en cómo resolver las cuestiones consulta esta información.

Supongamos que tenemos el plano de una barriada de nuestra localidad y que en una esquina aparece la escala 1 : 600.

¿Cuál será la distancia \(x\) de verdad entre los puntos A y B? Como la escala es \(1 : 600\) y hay \(2,5\) cm en el plano:

\( \dfrac{1}{600}=\dfrac{2,5}{x}\) \(\rightarrow \) \(x=2,5 · 600=1500\)

Por tanto, son \(1500\) cm en la realidad, es decir, \(15\) metros.

A ver ahora si lo has comprendido. Tendrás que ir rellenando los huecos que aparecerán tras la imagen.

Queremos saber los kilómetros de distancia en línea recta entre Sevilla y Córdoba (llamaremos x a ese número).

Para ello, disponemos de un mapa como el de la imagen, que está a escala 1 : 2000000.

Mapa de Andalucía con una distancia señalada

Hemos medido 6 cm en el mapa. Puedes usar el mismo procedimiento de antes, sabiendo que la escala es 1 : Rellenar huecos (1): .

Eso quiere decir que por cada cm en el mapa, la distancia real es 2000000 Rellenar huecos (2): JXUwMDNiJXUwMDBl . Igualamos las dos fracciones, que son

\(\dfrac{1}{2000000}\) y Rellenar huecos (3): JXUwMDZl partido por Rellenar huecos (4): JXUwMDIw

Ahora, tras despejar \(x\) y efectuar la multiplicación, obtienes el número de Rellenar huecos (5): de distancia que hay entre las dos capitales.

Por último, hay que cambiarla de unidad y el resultado es Rellenar huecos (6): JXUwMDY5JXUwMDAzJXUwMDAy km.

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Opción E: Encajar el mapa de Andalucía en una hoja A4

Queremos presentar un mapa a escala de Andalucía en una hoja de formato A4, cuyas dimensiones son 21 x 29,7 cm.

La idea es determinar la escala necesaria para que tengamos a la vista todo el territorio andaluz, pero sin que se desperdicie mucho hueco a los lados de la hoja.

mapa

(Si no ves bien los nombres, puedes consultar un mapa político de Andalucía en tus libros o en Internet).

Para ello, localizamos dos ciudades que están en posiciones más o menos extremas a izquierda y derecha del mapa, como son Rellenar huecos (1): al oeste y Rellenar huecos (2): al este. Entre ellas hay una distancia en línea recta de 492 km.

Por otro lado, elegimos otras dos localidades cercanas a los bordes superior e inferior, como Rellenar huecos (3): en la parte norte y Rellenar huecos (4): por el sur. Están separadas 272 km en línea recta.

Para poder encajar el mapa en nuestra hoja, es fundamental elegir la escala. Pongamos por caso que tomamos "uno, un millón", 1 : 1000000. Entonces, para representar los 492 km en horizontal (o incluso un poco más), el lado mayor del papel tendría que medir (le llamamos "a"):

\( \dfrac{1}{1000000}=\dfrac{a}{49200000}\) \(\rightarrow \) \(a = \dfrac{49200000}{1000000} = 49,2\) cm

No puede ser, porque esa longitud máxima es 29,7 cm.

Si haces los cálculos con 1 : Rellenar huecos (5): , encaja perfectamente.

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Opción F: Para saber más... Simetrías axiales

Pregunta

La foto nos muestra la fachada de la Iglesia de San Román, situada en la plaza del mismo nombre del casco antiguo de Sevilla.

Fachada de la iglesia de San Román, Sevilla.

Observa las figuras planas marcadas en colores. Mira también el resto de polígonos e imagina alguno más.

Podrás reflexionar fácilmente y señalar la/s respuestas correctas.

Recuerda:

Simetría axial: la figura se repite a un lado y otro de una recta, el "eje de simetría". Si imaginamos que es un papel y lo doblamos por el eje, ambas figuras deben coincidir exactamente punto a punto.

Respuestas

Opción 1

La ventana roja y la verde son simétricas respecto a un eje que pasa por la vertical de la cruz y el centro de la ventana azul.

Opción 2

El eje de simetría de las ventanas roja y azul pasa por el centro de la verde.

Opción 3

Las dos ventanas estrechas de estilo mudéjar son simétricas respecto a una vertical que pasa por la cruz y por la pequeña estatua del vértice superior de la puerta.

Opción 4

El triángulo imaginario formado por los centros de las tres ventanas circulares marcadas en colores es isósceles obtusángulo.

Opción 5

La altura vertical del triángulo de las tres ventanas es el eje de simetría que lo divide en dos triángulos equiláteros iguales.

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Motus dice ¡Oye!

¿Te has dado cuenta de la cantidad de cosas que has tenido que hacer para completar la actividad?

Al realizar esta actividad has tenido que poner en juego todo lo que sabes. A veces para aprender tenemos que trabajar de forma constante. Cuando nos esforzamos mucho nuestro trabajo es valorado por nuestros profes y familiares. Pero lo más importante es que nos sentimos muy contentos por el trabajo realizado.

Te animo a que sigas trabajando para que puedas aprender y seguir mejorando.

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento No comercial Compartir igual 4.0

Área

Cateto

Definición

Hipotenusa

Mosaico

Perímetro

Zócalo

Organizamos los equipos y empieza la captura

Análisis de las imágenes

Debate y conclusiones

a) En una de las formas triangulares, halla el cociente entre la base y la altura.

b) Clasifica dos de los triángulos que se aprecian según sus lados y según sus ángulos.

c) Localiza dos triángulos semejantes y explica por qué lo son.

d) Halla los perímetros y las áreas de esos dos triángulos.

Pregunta

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Pregunta

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Pregunta

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