En el apartado anterior has aprendido a utilizar e identificar los movimientos del plano más comunes.
Es el momento de que esos movimientos los apliques para crear elementos geométricos de interés, tanto matemático como artístico. Estamos hablando de frisos y mosaicos, diseños que tendrás que utilizar al final del tema, para crear los elementos que decorarán los envoltorios de los paquetes de tu empresa.
Para inspirarte, vamos a hacer un viaje por la Alhambra de Granada y conocerás algunos de los magníficos mosaicos que decoran sus paredes.
¡Ánimo, va a ser alucinante!
Lectura facilitada
Has aprendido a utilizar e identificar
los movimientos del plano más comunes.
Ahora vas a aplicar esos movimientos
para crear elementos geométricos de interés.
Hablamos de frisos y mosaicos,
diseños que utilizarás al final del tema para crear
los elementos de los envoltorios de los paquetes.
Para inspirarte,
mira los magníficos mosaicos que decoran
las paredes de la Alhambra en Granada.
¡Vas a alucinar!
1. Frisos
¿Qué es un friso?
Un friso es un elemento formado a partir de traslaciones sucesivas de un dibujo básico, que llamaremos "loseta básica" y que cubre una determinada zona del plano comprendida entre dos rectas paralelas. Esta loseta básica puede ser un dibujo geométrico o figura. Los frisos son muy utilizados en decoración y su uso es muy antiguo, el que ves en la imagen es del palacio NIK-AN ubicado en Perú y que data del siglo IX.
En las paredes de la Alhambra de Granada también encontramos frisos. El siguiente ejemplo es uno de los más conocidos:
Observa como la loseta básica está formada por el primer "castillo verde" que se traslada una y otra vez hacia la derecha.
Los frisos son utilizados como elemento decorativo en paredes, cornisas, rodapiés, etc, pueden ser creados con diferentes formas y colores. A continuación puedes ver otros dos ejemplos de frisos:
¿Cómo se hace?
Para crear un friso, primero debes diseñar la loseta básica para posteriormente trasladarla mediante el vector adecuado.
Vamos a ver los pasos necesarios para diseñar uno de los frisos que hemos visto.
Puedes seguir estos pasos tanto para realizar el friso en papel como en geogebra.
FRISO DE LOS CASTILLO
Paso 1: Dibuja el motivo que se ve en la imagen.
Paso 2: Traza el eje de simetría del friso y las rectas que harán de guías.
Paso 3: Realiza la simetría axial respecto al eje que has trazado en el paso anterior.
Con esto tienes lo que llamamos loseta básica del friso.
Paso 4: Define el vector de traslación que va a generar el friso.
Para hacerlo correctamente, la longitud del vector debe ser igual al ancho de la loseta básica
Si lo estas haciendo en Geogebra, puedes ocultar los puntos y el eje de simetría.
Paso 5: Realiza la traslación de la loseta básica mediante el vector.
2. Experimenta con frisos
En este Applet vas a poder ver cómo se genera un friso mediante traslaciones. Selecciona una opción de la lista desplegable y mueve el deslizador para generar el friso. En la opción "a tu gusto", además puedes cambiar el diseño del friso, para ello mueve los puntos rojos. También puedes ver cómo se forma el friso de forma automática, para verlo dale al botón de play que se encuentra en la parte inferior de la pantalla.
En la imagen puedes observar un mosaico que se encuentra en la Alhambra.
Durante este apartado, aprenderás a diseñar tus propios mosaicos.
Se define como mosaico o teselado a todo el recubrimiento del plano mediante piezas que llamaremos teselas.
Este recubrimiento debe cumplir dos condiciones:
Las piezas o teselas no pueden superponerse.
No pueden quedar huecos sin cubrir.
Al igual que los frisos, los mosaicos parten de un dibujo o figura "mínima" compuesta de una o varias piezas.
Estas piezas pueden ser iguales o diferentes y a partir de las cuales, se puede generar todo el mosaico mediante traslaciones de dos vectores con direcciones diferentes.
Por ejemplo, la loseta básica
desarrollo general mediante traslaciones el mosaico:
Mosaicos regulares
Un mosaico es regular, si todas sus teselas son el mismo polígono regular y tienen sus vértices en contacto con vértices de otras teselas.
Esta condición, unida a que no puede haber huecos en un mosaico, implica que los ángulos interiores de todos los polígonos que se unen en un vértice deben sumar \(360º\).
Vamos a ver un ejemplo con un triángulo equilátero:
El ángulo interior de un triángulo equilátero es de \(60º\), hemos visto que para teselar el plano, se necesita cubrir un ángulo de 360º, por tanto: \(\dfrac{360}{60}=6\), luego necesitamos que coincidan en un mismo vértice seis triángulo equiláteros.
Un ejemplo de teselación con triángulo sería:
Teniendo en cuenta esto, y suponiendo que \(\alpha\) es el ángulo interior de un polígono, el número de figuras que rodean un vértice es
\(m=\dfrac{360}{\alpha}\)
¿Podrías decir con qué otros polígonos regulares podemos teselar todo el plano?
Mosaicos semirregulares
Un mosaico es semirregular si está formado por dos o más polígonos regulares unidos vértice a vértice y en todos ellos aparecen los mismo polígonos en el mismo orden. Además no olvides que en cada vértice la suma de los ángulos interiores de los polígonos que concurren en él, deben sumar \(360º\). Observa la siguiente imagen:
Este mosaico está formado por tres polígonos regulares, el triángulo, el cuadrado y el hexágono. Observa como en cada vértice, lo ángulos interiores de cada polígono suman \(360º\) y además, en todos los vértices concurren los mismo polígonos y en el mismo orden.
Además de este mosaico, existen otros siete mosaicos semirregulares.
Lectura facilitada
Mosaicos regulares
Si todas las teselas de un mosaico
son el mismo polígono regular
y tienen sus vértices en contacto
con vértices de otras teselas,
el mosaico es regular.
Los ángulos interiores de todos los polígonos
que se unen en un vértice,
deben sumar 360.
Ejemplo de un triángulo equilátero:
El ángulo interior de un triángulo equilátero es de 60.
Para teselar el plano
hay que cubrir un ángulo de 360
Por tanto 360/60= 6
Necesitas que coincidan en un mismo vértice
6 triángulos equiláteros.
Un ejemplo de teselación es:
Teniendo en cuenta esto,
si @ es el ángulo interior de un polígono
el número de figuras que rodean un vértice es
m= 360/@
¿con qué otros polígonos regulares
podemos teselar todo el plano?
Mosaico semirregulares
Un mosaico es semirregular si está formado
por 2 o más polígonos regulares unidos vértice a vértice
y en todos ellos aparecen
los mismos polígonos en el mismo orden.
Recuerda que en cada vértice
la suma de los ángulos interiores
de los polígonos que concurren en él,
deben sumar 360.
4. Mosaicos de la Alhambra
En este Applet vas a aprender a diseñar uno de los mosaicos más característicos de la Alhambra, la Pajarita Nazarí. Para ver la construcción utiliza la lista desplegable y utiliza los botones de anterior y avance para visualizar los pasos necesarios. En cada pantalla debes prestar especial atención al texto que describe que hacer en cada momento y en las pantallas con deslizadores realiza la acción que se indica.
Como sabes, una parte del producto final es que diseñes los mosaicos que van a estar en los diferentes envoltorios que utilizará vuestra empresa de paquetería. Para poder garantizar unos diseños atractivos, es necesario practicar antes. En las siguientes actividades vas a tener la oportunidad aprender a diseñar mosaicos dándole tu propio toque personal.
¡Vamos a ello!
Opción A: Trasladando conceptos
Opción B: ¿Qué polígonos regulares teselan el plano?
Ya hemos visto en la explicación teórica de como con un triángulo equilátero podemos cubrir todo el plano. Recuerda que el ángulo interior de este polígono es de 60º y en cada vértice tiene que cubrirse 360º, luego necesitamos seis triángulos equiláteros.
¿Hay más polígonos con los que se pueda teselar el plano? En caso afirmativo, ¿Cuáles son?
Responde a las preguntas de forma razonada en tu cuaderno y completa la siguiente tabla incluyendo los polígonos que has encontrado que sí teselan todo el plano y al menos uno con él que no se puede.
Nombre del polígono
Medida del ángulo interior
¿Tesela el plano?
Sí/No
¿Por qué?
Número de polígonos necesarios
Observaciones
Tienes que argumentar tu respuesta utilizando el concepto de ángulo interior de un polígono.
Recuerda que un polígono de \(n\) lados, se puede descomponer en \(n-2\) triángulos. La suma de los ángulo interiores será entonces \( 180º·(n-2)\).
Si el polígono es regular, con \(n\) lados, el valor de un ángulo interior es: \( \dfrac{180º·(n-2)}{n}\). Aquí tienes el ejemplo del hexágono:
Opción C: Mosaico de corta y pega
En esta actividad tienes que diseñar un mosaico de forma manipulativa a base de cortar y pegar.
Observa el siguiente applet y fíjate bien cómo se forma el mosaico. A partir del cuadrado, se obtiene la loseta básica y a partir de ella todo el mosaico.
Dibuja en cartulina o goma eva un cuadrado (o el polígono que más te guste) y al igual que se hace en el applet, dibuja las deformaciones que quieras. A continuación recórtalas y pégalas para formar tu loseta básica. Hazlo con cuidado y pensando bien lo que haces, porque tendrás que explicar qué tipo de movimiento has realizado.
Cuando termines, responde a las siguientes preguntas.
1. ¿Qué tipo de simetría aparece en tu figura? Indica los ejes y/o centros de simetría.
2. Explica los movimientos que has aplicado para formar la loseta básica.
3. Explica los movimientos que has aplicado para formar el mosaico.
4. Dibuja en tu cuaderno un pequeño croquis que represente el mosaico que has hecho. Dibuja también los vectores de traslación que has utilizado.
En el siguiente applet tienes la construcción de uno de los mosaicos más conocidos de la Alhambra, se trata de el "Hueso". Sigue los pasos descritos a continuación a la vez que los vas observando en el applet y recrea la construcción en tu cuaderno. Para ello puedes descargarte el documento de trabajo que se enlaza a continuación.
Paso 3: Marcar el punto medio del lado inferior, punto A.
Paso 4: Trazar dos rectas perpendiculares, una por el punto medio del segmento JA y otra por el punto medio del segmento KA. Ambas rectas al cortar a las diagonales, generan los puntos C,D,E,F.
Paso 5: Realizar la simetría axial de los puntos C,D respecto al lado inferior del cuadrado y la simetría axial de los puntos E,F respecto al lado superior del cuadrado. Se obtienen así los puntos C´,D´,E´,F´.
Paso 6: Unir los puntos obtenidos para formar la figura del "Hueso".
Paso 7: Girar la figura obtenida en el paso anterior respecto al punto K 90º en sentido horario, hasta obtener 4 figuras. Con esto se forma la loseta básica del mosaico. Además se define el vector de traslación.
Paso 8: Traslación de la loseta básica para formar el mosaico
Observa la siguiente figura con atención y contesta a las preguntas.
1. Indica dónde tiene el centro de giro la figura.
2. ¿Cuántas veces hay que girar la figura sobre sí misma para que vuelva a coincidir con la figura original?
3. ¿Qué tipo de simetría observas?
4. Indica los ejes y/o centros de simetría.
5. Esboza con un pequeño dibujo la loseta básica del mosaico.
Opción F: Crea tu mosaico
En el apartado "Mosaicos de la Alhambra" has visto como diseñar uno de los mosaicos más conocidos, la "Pajarita Nazarí". Este mosaico se obtiene a partir de la deformación de un triángulo equilátero.
En ese mismo apartado, has aprendido a construir un mosaico de este estilo a partir de la deformación de un cuadrado pero dándole un toque personal. Como habrás observado, ambas construcciones son muy similares.
En esta actividad debes diseñar tu propio mosaico a partir de la deformación de un triángulo equilátero, el mosaico final, debe poder ser modificable por un punto libre en el interior del triángulo y que al moverlo modifique la loseta básica y por tanto el mosaico.
Algunos ejemplos de lo que puedes obtener:
Descarga el documento de trabajo y complétalo a medida que avanzas en la construcción.
Reflexiona un momento sobre todo lo que has aprendido hasta llegar aquí. Y completa el PASO 3 de tu Diario de Aprendizaje (Reviso lo aprendido) Recuerda:
Pregunta a tu profesor o profesora si la rellenarás en papel o en el ordenador.
Si la rellenas en el ordenador, ¡no te olvides de guardarla en tu ordenador cuando la termines.
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