Después de haber trabajado con los cuerpos geométricos y con las coordenadas geográficas, ya estáis preparados para lanzar vuestra empresa de paquetería.
Sólo falta un detalle, tenéis que aprender a diseñar los motivos matemáticos que aparecerán en los envoltorios de los paquetes. Este detalle geométrico dará un plus de calidad a nuestra empresa. En este aparto vamos a ver y aprender las matemáticas necesarias para diseñar unos envoltorios muy atractivos.
Empezaremos hablando de un elemento nuevo y que es imprescindible para poder entender y trabajar los movimientos y transformaciones. Se trata de los vectores.
Lectura facilitada
Has trabajado con los cuerpos geométricos
y con las coordenadas geográficas.
Estás preparado/a para lanzar
la empresa de paquetería.
Solo falta un detalle.
Tienes que diseñar motivos matemáticos
para los envoltorios de los paquetes.
Este detalle geométrico dará un plus de calidad
a la empresa.
Aquí vamos a ver y aprender
las matemáticas necesarias
para diseñar envoltorios atractivos.
Empezamos hablando de los vectores.
Elemento nuevo e imprescindible
para poder entender y trabajar
los movimientos y las transformaciones.
1. Vectores
¿Qué es un vector?
Un vector es un segmento entre dos puntos que tiene una orientación determinada.
Si el vector empieza en un punto A y termina en otro punto B, se dice que A es el origen y B el extremo.
En un vector hay que distinguir los siguientes aspectos:
Dirección: recta que contiene al vector, también puede ser cualquier recta paralela. Sentido: es la forma que tenemos de recorrer la dirección, puede ser de A hacia B, o de B hacia A.
Nos lo indica la flecha del vector.
Módulo: Es la longitud del vector.
En la imagen de la izquierda está representado el vector \( \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}\) .
Para calcular las coordenadas del vector, hay que restar las coordenadas del extremo menos las del origen.
Si las coordenadas de los puntos \(A\) y \(B\) son : \(A=(a_1,a_2)\) y el punto \(B=(b_1,b_2)\).
Las coordenadas del vector \( \overrightarrow{AB}\) serán: \( \overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)\)
Vemos un ejemplo:
Considera los siguientes puntos: \(A=(3,2)\) y el punto \(B=(5,4)\).
Las coordenadas del vector \( \overrightarrow{AB}\) son: \( \overrightarrow{AB}=(5-3,4-2)=(2,2)\)
Suma de vectores
La suma de dos vectores: \( \overrightarrow{u}\) y \( \overrightarrow{v}\) de coordenadas \( \overrightarrow{u}=(u_1,u_2)\) y \( \overrightarrow{v}=(v_1,v_2)\) es el vector \( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2)\).
Ejemplo:
La suma de los vectores \( \overrightarrow{u}=(-3,7)\) y \( \overrightarrow{v}=(8,-4)\), es el vector: \( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(-3+8,7-4)=(5,3)\)
2. Movimientos: Traslaciones, giros y simetrías
Antes de abordar este apartado en profundidad, es necesario hablar de dos conceptos que necesitarás: transformaciones y movimientos.
TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA
A partir de una determinada figura, una transformación geométrica hace corresponder a cada punto de la figura otro punto al que llamaremos homólogo. Lo que sucede es que la transformación convierta la figura original en otra figura. Observa el siguiente ejemplo:
Como puedes observar, una transformación geométrica amplia o reduce una imagen, la gira, la deforma, etc..
Hay muchos programas informáticos y aplicaciones de móvil que permiten editar imágenes de esta forma, todo eso son transformaciones geométrica.
MOVIMIENTOS
Un movimiento es una transformación geométrica que mediante la cual una figura se transforma en otra de la misma forma y tamaño. No cambian ni las distancias ni los ángulos.
Fíjate en el siguiente ejemplo:
Observa que en los movimientos las figuras mantienen el tamaño.
La transformación consiste en girar, trasladar o reflejar la figura original.
Estos movimientos son muy importantes y vamos a estudiarlos con detalle en este apartado.
Traslaciones
Las traslaciones son movimientos en el plano que están determinados por un vector \(\overrightarrow{v}\)
La traslación transforma un punto \(A\) en otro \(A´\) de forma que el vector \(\overrightarrow{AA´}=v\).
En el siguiente ejemplo se muestra la traslación de un triángulo \(ABC\) en otro \(A´B´C´\), trasladando punto a punto.
En las traslaciones se conservan todas las distancias y ángulos entre la figura original y la trasladada.
Giro
Los giros son movimientos del plano que están determinados por un punto que se llama centro de giro y un ángulo.
El centro de giro suele designarse por \(O\) y el ángulo mediante la letra griega \(\alpha\).
Si \(\alpha\) es positivo, el giro se realiza en el sentido contrario a las agujas del reloj y, si es negativo, en sentido horario.
Este movimiento transforma un punto \(A\) en otro \(A´\) de forma que la distancia entre el centro de giro y \(A\) es la misma que entre el centro de giro y \(A´\).
Esto se escribe en matemáticas de la siguiente forma:
\(d(O,A)=d(O,A´)\)
Lo veras mejor con un ejemplo:
Observa como el vértice \(A\), se ha transformado en el vértice \(A´\) mediante un giro de \(\alpha=150º\).
Fíjate también como la distancia entre el el punto \(O\) y los puntos \(A\) y \(A´\) es la misma.
Igual ocurre con el resto de vértices del polígono original, dando lugar al polígono girado que se observa en la imagen.
Simetría
Las simetrías son movimientos que conservan la forma y las distancias.
El efecto que producen es como si las figuras se "reflejaran".
Estudiarás dos tipos de simetría:
Simetría axial respecto de una recta a la que se llama eje de simetría.
Simetría central respecto a un punto que se llama centro de simetría.
SIMETRÍA AXIAL
Observa la siguiente imagen:
El punto simétrico de \(A\) respecto de la recta \(r\) es \(A´\), observa como la distancia entre \(A\) y \(r\), es la misma que entre \(A´\) y \(r\).
En otras palabras, se puede decir que la recta \(r\) es la mediatriz del segmento que une los puntos \(A\) y \(A´\).
El resto de puntos de la figura original también tienen su simétrico respecto de la recta \(r\).
El punto \(B´\) es el simétrico del punto \(B\) respecto al punto \(O\) El punto \(C´\) es el simétrico del punto \(C\) respecto al punto \(O\) El punto \(D´\) es el simétrico del punto \(D\) respecto al punto \(O\) El punto \(E´\) es el simétrico del punto \(E\) respecto al punto \(O\)
Se obtiene de esta forma la figura simétrica respecto de la recta \(r\).
SIMETRÍA CENTRAL
En la imagen puedes ver como el simétrico del punto \(A\) respecto del punto \(O\) es el punto \(A´\), observa como el centro de simetría es el punto medio entre \(A\) y \(A´\) .
El resto de puntos de la figura original también tienen su simétrico respecto del punto \(O\).
El punto \(B´\) es el simétrico del punto \(B\) respecto al punto \(O\)
El punto \(C´\) es el simétrico del punto \(C\) respecto al punto \(O\)
El punto \(D´\) es el simétrico del punto \(D\) respecto al punto \(O\)
El punto \(E´\) es el simétrico del punto \(E\) respecto al punto \(O\)
Se obtiene de esta forma la figura simétrica respecto del centro de simetría \(O\).
Lectura facilitada
Antes de profundizar,
necesitas saber dos conceptos:
transformaciones y movimientos.
Transformación geométrica
Partes de una figura.
La transformación geométrica hace corresponder
a cada punto de la figura, otro punto
al que llamaremos homólogo.
La transformación convierte
la figura original en otra figura.
Una transformación geométrica
amplía, reduce, gira y deforma una imagen.
Hay muchos programas informáticos y aplicaciones
que permiten editar de esta forma.
Todo eso son transformaciones geométricas.
Movimiento
Un movimiento es una transformación geométrica
mediante la cual una figura se transforma en otra
de la misma forma y tamaño.
No cambian ni las distancias
ni los ángulos.
3. Experimenta con las transformaciones en el plano
En este applet vas a ver claramente que es una traslación, un giro y una simetría. Selecciona una opción de la lista desplegable y después mueve el vector de traslación, usa el deslizador para girar la figura o cambia el eje o centro de simetría para ver figuras semejantes.
Cuando queremos aprender algo, lo normal es equivocarse al principio.
Fallar forma parte de aprender.
¿Recuerdas cuando montaste en bici por primera vez? ¿o cuando intentabas nadar en el agua?
Seguro que al principio no fue fácil, pero cada vez que fallabas, lo intentabas de nuevo. Con cada fallo aprendemos del error y lo mejoramos para la vez siguiente.
Para aprender de tus errores sigue estos consejos:
Me doy cuenta de en qué parte he fallado.
Busco la forma de mejorar ese error.
Lo intento de nuevo.
Entiendo que el error es importante para aprender.
No lo olvides: cuando te equivocas una vez, aprendes para el siguiente intento.
4. ¡Muévete!
Una parte del reto final del proyecto de aprendizaje es diseñar los envoltorios para los paquetes que llevará nuestra empresa.
Para poder hacer estos diseños, es necesario primero practicar con los movimientos del plano que has estudiado en este apartado.
En los siguientes ejercicios pondrás en práctica traslaciones, giros y simetrías, lo que te permitirá hacer unos diseños increíbles e innovadores.
Es un entramado de listones (de madera o hierro) que se ponen en las ventanas de los edificios para poder ver desde dentro sin ser vistos desde fuera. Las celosías también se utilizan en arquitectura como ventilación o elemento decorativo.
Puedes ver algunos ejemplos:
En esta actividad vamos a ver cómo puedes construir una celosía con los movimientos del plano que has aprendido.
Indicaciones
Puede resultarte útil fijarte en los vértice del cuadrado y marcar los puntos que consideres importantes de la figura, después aplica los movimientos sobre ellos.
No olvides los siguientes aspectos:
TRASLACIONES
Para hacer una traslación, debes sumar o restar, según el sentido del vector, las coordenadas del vector a las coordenadas de los puntos que vas a trasladar, obteniendo de esta forma los puntos de la nueva figura. Representa las nuevas coordenadas y podrás dibujar la figura trasladada. Observa en la imagen que B´ es la traslación de B por el vector v. Comprueba como las coordenadas de B´ salen de sumar las del vector a las de B.
Aplica esto al resto de puntos importantes de la figura y podrás dibujar la figura trasladada.
GIROS
Para los giros necesitarás el transportador de ángulos, coloca el centro sobre el punto que has elegido como "centro de giro", a continuación selecciona el ángulo que vas a girar en el sentido horario o antihorario y representa el punto girado. Realiza esto con todos los puntos de la figura y podrás dibujar la nueva figura girada. Observa el ejemplo:
Observa como el punto B´ está girado 90º respecto del punto D, que sería el centro de giro. Todos los demás puntos están girados de la misma forma. Para realizar este movimiento en el papel, necesitaras un transportador de ángulos. ¿Serías capaz de colocar los puntos A y C?
SIMETRÍA AXIAL
Para la simetría axial, debes tener en cuenta que el punto original y el simétrico deben estar a la misma distancia y formando el mismo ángulo respecto del eje de simetría. Fíjate en el siguiente ejemplo:
Puedes ver como el punto B´ es el simétrico de B respecto del eje de simetría, puedes comprobar también como la distancia entre B y el eje de simetría es la misma que entre B` y el mismo eje.
SIMETRÍA CENTRAL
Para la simetría central, debes tener en cuenta que el punto original y el simétrico deben estar a la misma distancia y formando el mismo ángulo respecto del centro de simetría. Puedes comprobarlo en la siguiente imagen:
Tu turno
Aplica en el siguiente motivo los movimientos que has estudiado para crear una pequeña celosía. Necesitarás herramientas de dibujo y transportador de ángulos para los giros.
Para ayudarte a realizar mejor la actividad, descarga el documento adjunto.
a) ¿Qué movimiento se aplica al cuadrado superior izquierdo para que se trasforme en el de la derecha?
b) ¿Qué movimientos relacionan a los cuadrados inferiores con los superiores?
c) Encuentra los, si los hay, ejes de simetría
Ejercicio 2
Fíjate en la figura 2
a) ¿Qué movimiento se aplica al cuadrado superior izquierdo para que se transforme en el de la derecha? ¿Y para que se repita hacia abajo?
b) ¿Qué movimientos relacionan a los cuadrados inferiores con los superiores?
c) Encuentra los, si los hay, ejes de simetría
Opción F: Construye tu celosía con Geogebra
En esta actividad tienes que aplicar los mismos movimientos que has hecho sobre el papel, pero usando Geogebra. Verás que es mucho más fácil y rápido.
Ánimo ¡saca el artista que llevas dentro!
Para hacer movimientos con Geogebra, necesitas tener en cuenta lo siguiente:
Para acceder a las herramientas de movimientos tienes que hacer clic en el tercer botón de la barra de herramientas empezando por la derecha.
Como puedes ver, una vez seleccionado te aparece el listado con los diferentes movimientos posibles.
Para aplicar uno, simplemente haz clic en él.
Cuando seleccionas un movimiento, siempre te pide el programa que indiques el objeto y luego sus puntos importantes.
Por ejemplo: si vas a hacer una traslación, tienes que hacer clic en "Traslación", luego elegir el "objeto" que vas a trasladar y por último el "vector de traslación".
Si el movimiento va a ser un giro, tendrás que hacer clic en "Rotación", a continuación seleccionar el centro de giro, y por último indicar los grados y el sentido del giro.
Si el objeto al que vas a aplicar el movimiento esta formado por varios objetos, como ocurre en este caso, debes seleccionar con el ratón todos los objetos a la vez. En la siguiente imagen se ilustra este aspecto:
Como puedes observar, una transformación geométrica amplia o reduce una imagen, la gira, la deforma, etc..
Observa que en los movimientos las figuras mantienen el tamaño.
El punto simétrico de \(A\) respecto de la recta \(r\) es \(A´\), observa como la distancia entre \(A\) y \(r\), es la misma que entre \(A´\) y \(r\). 
En la imagen puedes ver como el simétrico del punto \(A\) respecto del punto \(O\) es el punto \(A´\), observa como el centro de simetría es el punto medio entre \(A\) y \(A´\) .
Para acceder a las herramientas de movimientos tienes que hacer clic en el tercer botón de la barra de herramientas empezando por la derecha.