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4.3 Técnicas de conteo

Diccionario

Contigua

Contigua

Definición

Al lado.

Ejemplo

Ana está en la habitación contigua.

Extracción

Extracción

Definición

Sacar.

Ejemplo

Vamos a extraer 3 el número ganador.

Rétor dice...

Ya estamos casi a punto para poder empezar el proyecto final.

Antes queremos darte un par de herramientas que te ayudarán a contabilizar mejor los casos totales y favorables de cada situación.

Estamos hablando de los diagramas de árbol, que ya los has trabajado y además es una de las partes previas que tienes que desarrollar en el reto final.

También las tablas de doble entrada, son de gran utilidad para recoger y analizar la información obtenida de cada experimento aleatorio.

Estas herramientas serán fundamentales para elaborar el informe que presentaremos  a la empresa de moda.

¡Ánimo! 

Lectura facilitada

Ya estamos casi a punto para poder empezar el proyecto final.

Antes queremos darte un par de herramientas que te ayudarán

 a contabilizar mejor los casos totales y favorables de cada situación.

Estamos hablando de los diagramas de árbol, 

que ya los has trabajado 

y además es una de las partes previas 

que tienes que desarrollar en el reto final.

También las tablas de doble entrada, 

son de gran utilidad para recoger 

y analizar la información obtenida de cada experimento aleatorio.

Estas herramientas serán fundamentales

para elaborar el informe que presentaremos a la empresa de moda.

¡Ánimo! 

1. Técnicas de conteo

ábaco

Podríamos llamar Técnicas de conteo a aquellas herramientas matemáticas que nos permite conocer de forma rápida las agrupaciones que se pueden realizar con los diferentes elementos de un conjunto.

Por ejemplo, ¿Cuántas banderas diferentes de tres franjas podemos hacer con cinco colores distintos? o ¿ De cuántas formas distintas podemos agrupar nuestros libros de lengua, matemáticas y biología?

También, en el caso de experimentos compuestos, puede ser necesario utilizar técnicas adecuadas para conocer el espacio muestral.

Gracias a las técnicas de conteo, podemos responder a estas preguntas de forma rápida y eficaz. 

A continuación veremos algunas técnicas básicas de conteo.

Tablas de doble entrada

Empezaremos por un caso sencillo, un experimento en el que se combinan dos experimentos sencillos. 

En este caso, utilizaremos las tablas de doble entrada. Para que lo comprendas mejor, será mejor poner un ejemplo.

Supón que lanzamos dos monedas a la vez ¿qué posibles resultados podemos obtener?

En el primer lanzamiento tenemos dos posible resultados: (cara, cruz)=$\{(c\}$ o $\{+\}$. Empezamos construyendo la tabla:

Cara
No cara

En el segundo lanzamiento, el resultado también es: (cara, cruz)=$\{c\}$ o $\{+\}$. La tabla nos queda:

Cara  No cara
Cara
No cara

El espacio muestra se construye rellenando la tabla. 

Cara  No cara
Cara (c,c) (c,+)
No cara (+,c) (+,+)

El espacio muestral será: $E=\{(c,c),(c,+),(+,c),(+,+)\}$ 

Diagrama de árbol

En la fase "Más y más caracteres", trabajaste con los diagramas de árbol.

Vamos a utilizarlos ahora para el cálculo de probabilidades.

Cuando combinamos más de dos experimentos sencillos,

tenemos que usar la técnica de diagrama de árbol.

Vamos a ver en qué consiste con un ejemplo.

Tenemos una urna con bolas de colores azul, rojo.

El experimento consiste en hacer tres extracciones .

¿Cuál sería el espacio muestral?

extracciones

El espacio muestral estaría formado por ocho sucesos:  $E=\{(A,A,A),((A,A,R),(A,R,A),(A,R,R),(R,A,A),(R,A,R),(R,R,A),(R,R,R)\}$ 

Extracción

Definición

Sacar.

Ejemplo

Vamos a extraer 3 el número ganador.

Lectura facilitada

Podríamos llamar Técnicas de conteo

 a aquellas herramientas matemáticas que nos permite conocer

 de forma rápida las agrupaciones que se pueden realizar 

con los diferentes elementos de un conjunto.

Por ejemplo, 

¿Cuántas banderas diferentes de tres franjas

 podemos hacer con cinco colores distintos? 

 ¿ De cuántas formas distintas podemos agrupar nuestros libros 

de lengua, matemáticas y biología?

También, en el caso de experimentos compuestos,

 puede ser necesario utilizar técnicas adecuadas

 para conocer el espacio muestral.

Gracias a las técnicas de conteo,

 podemos responder a estas preguntas de forma rápida y eficaz. 

A continuación veremos algunas técnicas básicas de conteo.

Tablas de doble entrada.

Empezaremos por un caso sencillo, 

un experimento en el que se combinan dos experimentos sencillos. 

En este caso, utilizaremos las tablas de doble entrada.

 Para que lo comprendas mejor, será mejor poner un ejemplo.

Supón que lanzamos dos monedas a la vez 

¿qué posibles resultados podemos obtener?

En el primer lanzamiento tenemos dos posible resultados:

 (cara, cruz)={(c} o {+}. 

Empezamos construyendo la tabla:

Cara
No cara

En el segundo lanzamiento, el resultado también es: (cara, cruz)=$\{c\}$ o $\{+\}$. La tabla nos queda:

Cara  No cara
Cara
No cara

El espacio muestra se construye rellenando la tabla. 

Cara  No cara
Cara (c,c) (c,+)
No cara (+,c) (+,+)

2. Tablas de doble entrada y diagramas de árbol para calcular probabilidades

¿Cómo utilizar las tablas de contingencia y los diagramas de árbol para calcular probabilidades?

En las siguientes pestañas vas a ver dos ejemplos que te enseñarán como utilizar estas herramientas en el cálculo de probabilidades.

Tabla de doble entrada

Retomemos el ejemplo de lanzar dos dados y sumar las puntuaciones,

los diferentes sucesos que se pueden dar,

se recogen fácilmente en una tabla de doble entrada.

Observa:

1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

a) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento aleatorio?

¿Cuántos sucesos elementales forman el espacio muestral?

Como puedes observar, al realizar la tabla, estamos recogiendo todos los posibles resultados del experimento, es decir, estamos obteniendo el espacio muestral.

$E=\{2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9,9,9,10,10,10,11,11,12\}$

Está formado por 36 sucesos elementales.

b) Escribe los sucesos $A=Obtener\;suma\;par$  $B=Obtener\;suma\;nº primo$   $C=Obtener\;suma\;mayor\;que\;5$.

Los sucesos pedidos son:

$A=\{2,4,6,8,10,12\}$  $B=\{2,3,5,7,11\}$   $C=\{6,7,8,9,10,11,12\}$  

c) Calcula las siguientes probabilidades: $P(A)$,$P(B)$,$P(C)$.

           Suceso $A$, hay 6 casos favorables de un total de 36, por tanto, según la ley de Laplace:  $P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\approx0,17$

           Suceso $B$, hay 5 casos favorables de un total de 36, por tanto, según la ley de Laplace:  $P=\dfrac{5}{36}=\approx0,14$

           Suceso $C$, hay 7 casos favorables de un total de 36, por tanto, según la ley de Laplace:  $P=\dfrac{7}{36}=\approx0,19$

Diagrama de árbol

Considera una urna que contiene 4 bolas de color azul y 6 bolas de color rojo.

Vamos a hacer dos extracciones, devolviendo en cada una de ellas la bola extraída a la urna. 

a) Dibuja un diagrama de árbol que represente la situación.

b) Denominamos al suceso "sacar bola azul" mediante $A$ y al suceso "sacar bola roja" por $R$.

Determina las siguientes probabilidades:

  1. Sacar en la primera extracción bola azul y en la segunda bola roja.
  2. Sacar en la primera y segunda extracción bola roja.
  3. Sacar bola roja en la primera extracción y azul en la segunda.
  4. Sacar bola azul en la primera y segunda extracción.

a) El diagrama de árbol que representa la situación del ejercicio sería:

diagrama árbol

Observa como sobre cada rama está indicada la probabilidad de cada suceso elemental.

b) Fíjate bien en que los sucesos de los que hay que calcular la probabilidad en cada caso, están en ramas contiguas,

eso quiere decir que para hallar las probabilidades de los sucesos de esa rama,

habría que multiplicar en tres si las probabilidades de cada suceso elemental.

$P(1ªA y 2ª R)=\dfrac{2}{5}·\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{25}=0.24$ 

$P(1ªR y 2ª R)=\dfrac{3}{5}·\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}=0.36$

$P(1ªR y 2ª A)=\dfrac{3}{5}·\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{25}=0.24$

$P(1ªA y 2ª A)=\dfrac{2}{5}·\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{25}=0.16$

Contigua

Definición

Al lado.

Ejemplo

Ana está en la habitación contigua.

PASO 3: Reviso lo que aprendo

Reflexiona un momento sobre todo lo que has aprendido hasta llegar aquí. Y completa el PASO 3 de tu Diario de Aprendizaje (Reviso lo aprendido)

Recuerda

  • Pregunta a tu profesor o profesora si la rellenarás en papel o en el ordenador.
  • Si la rellenas en el ordenador, ¡no te olvides de guardarla en tu ordenador cuando la termines!

¡Ánimo, que lo harás genial!

3. Unificamos ideas

Rétor dice...

Vamos a integrar todo lo trabajado en contextos diferentes para ello te proponemos las siguientes actividades.

Presta mucha atención y realiza cada ejercicio con cuidado, ya que todo lo que vas a poner en práctica te será de utilidad en el reto final, que por cierto, está a la vuelta de la esquina.

Opción A: Aclárate

Pregunta 1

Las tablas de doble entrada nos ayudan a describir experimentos aleatorios que combinan más de dos experimentos sencillos.

Pregunta 2

Un diagrama de árbol es útil para estudiar las probabilidades de un experimento aleatorio que combina 3 o más experimentos sencillos.

Pregunta 3

Las tablas de doble entrada son útiles porque permiten visualizar claramente el espacio muestral del experimento, lo nos facilita la aplicación de la ley de Laplace.

Pregunta 4

Para calcular probabilidades a partir de un diagrama de árbol, multiplicamos las probabilidades que están en la misma rama y sumamos las que van por ramas diferentes.

Pregunta 5

Al igual que con los diagramas de árbol, para averiguar las probabilidades utilizando tablas de doble entrada, hay que multiplicar las probabilidades que están en la misma fila.

Opción B: Comienza la carrera

carreraLas reglas para desarrollar la carrera son las siguientes:

  • Se lanzan dos dados de seis caras.
  • Se restan los resultados.
  • Avanza una casilla el coche cuyo número coincide con el del resultado.
  • Hay que seguir tirando los dados hasta que todos los caballos lleguen a la meta.

Coge dos dados y juega varias veces, anotando en que puesto queda cada coche.

Responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Qué coche ha ganado más veces? ¿Siempre ocurrirá lo mismo?

b) Explica qué ocurre con el coche 6.

c) ¿Por qué el coche 1 gana más que el cero?

Opción C: Registrando resultados

1. Tira de nuevo los dados, y elabora una tabla de doble entrada en tu cuaderno con todos los posibles resultados del experimento de lanzar dos dados y restar los resultados. 

1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

2. 

Opción D: Matemáticas para ganar

Tira dos dados entre 100 y 150 veces, resta los resultados de cada tirada, y copia y completa la siguiente tabla: 

Resultado Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
1
2
3
4
5
6

 Asigna una probabilidad aproximada a cada resultado.

Opción E: Equipaciones

Vamos a ver qué opciones tienen los pilotos de formar su indumentaria.

Como puedes ver en la imagen, hay cuatro colores disponibles. 

Se trata de saber cuántas posibles combinaciones hay sin repetir color, es decir, si la camiseta es azul, el pantalón no puede ser de ese color.

a) Realiza en tu cuaderno un diagrama de árbol para averiguar las opciones disponibles.

b) ¿Cuál sería el espacio muestral de esta situación? ¿Cuántas opciones diferentes tiene el piloto para vestirse?

c) Calcula las probabilidades de cada una de las combinaciones.

Motus dice ¡Ojo!

¿Te has equivocado en algo al hacer la actividad?

Cuando queremos aprender algo, lo normal es equivocarse al principio. Fallar forma parte de aprender. ¿Recuerdas cuando montaste en bici por primera vez? ¿o cuando intentabas nadar en el agua? Seguro que al principio no fue fácil, pero cada vez que fallabas, lo intentabas de nuevo. Con cada fallo aprendemos del error y lo mejoramos para la vez siguiente.

Para aprender de tus errores sigue estos consejos:

1. Me doy cuenta de en qué parte he fallado.

2. Busco la forma de mejorar ese error.

3. Lo intento de nuevo.

4. Entiendo que el error es importante para aprender.

No lo olvides: cuando te equivocas una vez, aprendes para el siguiente intento.