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4.2. Interés compuesto

Diccionario

Capital

Capital

Definición

Recursos y bienes.

Ejemplo

El capital de la familia crece.

Reinvertir

Reinvertir

Definición

Aplicar los beneficios de una actividad productiva al aumento de su capital (dinero).

Ejemplo

Hemos reinvertido las ganancias y hemos ganado más dinero.

Rétor dice...

Has visto lo útiles que son las progresiones aritméticas para el cálculo del interés simple.

Pero esto no es suficiente, vas a estudiar ahora cómo el calculo de los intereses puede ir un poco más lejos.

Vas a  utilizar las progresiones geométricas para aprender a manejar el interés compuesto.

Este cálculo será esencial para culminar con éxito el reto que te planteamos.

Lectura facilitada

Has visto lo útiles que son las progresiones aritméticas 

para el cálculo del interés simple.

Pero esto no es suficiente, ahora vas a estudiar 

cómo el cálculo de los intereses 

puede ir un poco más lejos.

Vas a utilizar las progresiones geométricas 

para aprender a manejar el interés compuesto.

Este cálculo será esencial 

para culminar con éxito el reto que te planteamos.

¿Recuerdas las progresiones geométricas?

Definición

Ya eres un experto en sucesiones.

Así que vamos a intentar ampliar tus conocimientos.

Observa la siguiente secuencia de números:

  \( 3,9,27,81,243,.......\)  

Ya sabes que los términos de las sucesiones los nombramos de la siguiente manera: \( a_{1}=3 \), \( a_{2}=9 \), \( a_{3}=27 \), \( a_{4}=81 \), \(a_{5}=243 \).....     

¿Sabrías calcular \( a_{7}\)?

 Observa que cada término se obtiene del anterior multiplicando por tres.

Esto dicho de otra manera, es: si dividimos un término concreto entre el inmediatamente anterior, obtenemos tres.

\( \dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{9}{3}=3 ; \dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\dfrac{27}{9}=3 ; \dfrac{a_{4}}{a_{3}}=\dfrac{81}{27}=3 ;\dfrac{a_{5}}{a_{4}}=\dfrac{243}{81}=3 \)

Una sucesión cuyos términos se obtienen multiplicando por una cantidad fija r, se llama Progresión Geométrica de razón r.


En nuestro ejemplo, tendríamos una progresión geométrica de  razón 3.


Como puedes observar, los términos de una progresión geométrica son infinitos.

Esquema piramidal

Término General de una Progresión Geométrica

Partiendo del primer término de una progresión geométrica a1, y conociendo la razón, podemos obtener los siguientes términos.

\( a_{1}= a_{1}\)

\( a_{2}= a_{1}·r\)

\( a_{3}= a_{2}·r=a_{1}·r^2\)

Si generalizamos esta secuencia, obtenemos: \( a_{n}= a_{1}·r^{n-1}\)

A esta expresión le llamamos término general de la progresión, ya que conociendo el primer término y la razón, podemos obtener cualquier otro.

Cálculo de un término a partir del término general

Vamos a aplicar el término general que acabamos de aprender para calcular términos de la progresión.

\(\rightarrow \) Calcular el quinto término de una progresión geométrica de \( r=-2\)  y \(a_{1}=5\)

El término general sería: \(a_{n}=5·(-2)^{n-1}\) , luego el quinto término: \(a_{5}=5·(-2)^{5-1}=5·(-2)^4=5·16=80\)

\(\rightarrow \) Calcular el primer término de una progresión geométrica de razón 4, cuyo cuarto término es 128.

El término general de esta progresión sería: \(a_{n}=a_{1}·4^{n-1}\) , luego el cuarto término: 

\(a_{4}=a_{1}·4^{4-1}=a_{1}·4^3\)

Se indica que el cuarto término es igual a 128, luego: \(a_{4}=a_{1}·4^3=128\) \(\rightarrow \) \(a_{1}·64=128\)

 expresión de la que se puede calcular el primer término: \( \dfrac{128}{64}=2\)

La progresión tendría el siguiente término general: \(a_{n}=2·4^{n-1}\)

\(\rightarrow \) La razón de una progresión geométrica también puede ser una fracción. Estudia el siguiente ejemplo:

Calcula el quinto término de una progresión geométrica de razón \( r=\dfrac{1}{2}\)  y \(a_{1}=32\)

El término general de esta progresión sería: \(a_{n}=32·\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}\)

El quinto término lo podemos calcular de la siguiente manera: 

\(a_{5}=32·\left( \dfrac{1}{2} \right)^{5-1}=32·\left( \dfrac{1}{2} \right)^4=32·\dfrac{1}{2^4}=32·32·\dfrac{32}{16}=2\)

Suma de n términos

En determinadas situaciones, puede resultarnos útil conocer la suma de los primeros términos de una progresión geométrica, por ejemplo los 10 primeros términos, o los 6 primeros términos. 

La expresión matemática para realizar este cálculo es:   \(S_{n}=\dfrac{a_{1}·r^n-a_{1}}{r-1}\) 



Apoyo visual

Infografía progresión geométrica

1. Interés compuesto

En el estudio del interés simple, hemos visto como los beneficios que se van obteniendo cada año, no se reinvierten.

¿Qué crees que ocurriría si al final de cada año, los beneficios obtenido se suma al capital y de este modo se reinvierte? Vamos a verlo.

Reinvertir

Definición

Aplicar los beneficios de una actividad productiva al aumento de su capital (dinero).

Ejemplo

Hemos reinvertido las ganancias y hemos ganado más dinero.

Capital

Definición

Recursos y bienes.

Ejemplo

El capital de la familia crece.

En general, la expresión para calcular el capital final de una determinada cantidad inicial $C_i$, sujeta aun interés compuesto de rédito $r$, durante un tiempo $t$ años, es:

$C_f=C_i·(1+\dfrac{r}{100})^t$

Si el tiempo va expresado en meses, la expresión sería: 

$C_f=C_i·(1+\dfrac{r}{12·100})^{12·t}$

También se podría plantear capitalizar los intereses de forma trimestral, luego, como un año tiene 4 trimestres: 

$C_f=C_i·(1+\dfrac{r}{4·100})^{4·t}$

2. Practicamos el interés compuesto

Rétor dice...

 En las siguientes actividades vas poner en practica lo que has aprendido sobre interés compuesto.

Te permitirá saber si esa reinversión te produce suficientes beneficios.

¡A por ello!

Opción A: Ahorrando

Opción C: Valorando opciones

Completa la siguiente tabla aplicando un interés compuesto

IMPORTANTE: Introduce el resultado redondeando al número entero más cercano.

Capital Rédito Años Capital final
4000 € 2 % 4416 €
30000 € 0,5 % 31534 €
10000 € % 15 20789 €
3 % 20 216733 €

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Opción D: ¿De dónde viene la fórmula?

Al igual que hiciste con el interés simple, vamos a intentar averiguar de dónde viene la expresión matemática con la que calculamos el interés compuesto. Para ello sigue las siguientes indicaciones:

Imagina que tienes un capital C, y lo inviertes a un rédito r durante t años.

Calcula la sucesión formada por los capitales totales al final del  primer año , al final del segundo año , al final del  tercer año,......., al final del año t.

¿Qué tipo de sucesión es? ¿Cuál es la razón?

A partir de tus cálculos, ¿visualizas la expresión general?

  • Realiza en tu cuaderno como quedaría cada año el capital total en función del capital inicial $C$ y el rédito $r$.
  • Hazlo para tantos años como necesites, identificando cada letra con su año, por ejemplo: Capital final después del primer año: $C_1$
  • Sustituye en cada año, los resultados de los años anteriores.

Esta lista de cotejo te ayudará a comprobar si has deducido correctamente la fórmula.

Motus dice Reflexiona

¿Cuántas veces te has distraído al hacer la actividad?

Seguro que cuando estabas haciendo esta actividad ha ocurrido algo que te ha hecho parar. Puede que alguien pegase a la puerta, que el profe haya hablado con alguien, que hayas oído un ruido en la calle, que te hayas acordado de algo que hiciste ayer…

Cuando aprendemos estamos rodeados de cosas que nos pueden distraer. Al volver a la actividad te cuesta más trabajo centrarte.

Por eso es importante que aprendas a controlar tus distracciones. Te doy algunos consejos:

- Concéntrate bien en la actividad que tienes que realizar.

- Si tiene muchos pasos o es muy difícil, haz descansos cortos para descansar.

- Si te molesta lo que hay a tu alrededor trata de ver si puedes reducirlo: cierra las ventanas, pide silencio.

- Piensa que si te distraes tardarás más tiempo en terminar.