En este apartado vamos a estudiar los principios de adición y multiplicación que aplicaremos en situaciones en las que debemos realizar una o más elecciones de elementos dentro de varios conjuntos.
Para explicar los principios de adición y multiplicación nos serviremos de dos ejemplos que además te ayudarán a distinguir cuándo debes utilizar cada uno de ellos.
Sean A y B dos conjuntos disjuntos, es decir, que no tienen elementos en común. Entonces siempre se cumple que:
card(A U B) = card(A) + cardB)
Recuerda que para expresar que A y B son disjuntos, escribimos A ∩ B = Ø
Veámoslo con un ejemplo.
Si A = {a, e, i} y B={o, u}, entonces A U B = {a, e, i, o, u} y se cumple que: card(A U B) = 5 = 3 + 2, siendo card(A)=3 y card(B)=2.
Ejemplo 1. Supongamos que Natalia tiene 3 vestidos de manga larga y dos de maga corta, todos diferentes. Si cada día se viste con un vestido distinto de manga larga o de manga corta, ¿cuántos días podrá vestir sin repetir indumentaria?
Sea A el conjunto formado por los vestidos de manga larga y B el formado por los de manga corta. Como cada día Natalia debe escoger entre un vestido de manga larga (conjunto A) o de manga corta (conjunto B), su elección es un elemento del conjunto A U B.
Como las opciones de elegir un vestido de manga largo o manga corta son excluyentes, y se cumple que A y B son disjuntos, tenemos que card(A U B) = 5 = 3 +2, pues card(A) = 3 y card(B) = 2.
Por consiguiente, Natalia podrá vestir diferente durante 5 días.
Principio de adición: si en un problema debemos realizar una elección de forma excluyente entre los elementos de dos conjuntos A y B (si elijo un elemento de A ya no podré elegir un elemento de B, y viceversa) y estos son disjuntos, entonces las posibles elecciones es igual a las suma de las opciones que ofrece A y que ofrece B. Es decir, si A tiene n elementos y B tiene m elementos, entonces disponemos de n+m posibles elecciones diferentes.
Es importante señalar que se tratan de situaciones en las que los elementos de A y B no se pueden combinar, es decir, son excluyentes.
Ejemplo 2. Álex tiene tres camisetas y dos pantalones de diferentes colores. Si cada día se viste combinando una camiseta y un pantalón, ¿cuántos días se podrá vestir sin repetir indumentaria?.
Sea A el conjunto formado por las camisetas y B por los pantalones. Cada día Álex debe elegir una camiseta y un pantalón, es decir, vamos a combinar elementos del conjunto A con elementos del conjunto B formando parejas de camiseta y pantalón. La operación matemática que realiza esta acción es el producto cartesiano de conjuntos A x B. Las posibles combinaciones que podemos realizar se corresponden con cada uno de los elementos del conjunto A x B y, por consiguiente, el número de elecciones diferentes viene dado por el cardinal de dicho conjunto.
Como card(A x B)= card(A) x card(B), tenemos que card(A x B) = 6 = 3 x 2, pues card(A) = 3 y card(B) = 2.
Así pues, Álex se podrá vestir durante 6 días con indumentaria diferente.
Principio de multiplicación: si en un problema debemos realizar dos elecciones, la primera de un elemento de un conjunto A y la segunda de un conjunto B, de manera que las vamos a emparejar, entonces el número de posibles emparejamientos es igual al número de opciones (elementos) de A por el número de opciones de B. Es decir, si A tiene n elementos y B tiene m elementos, entonces disponemos de n*m posibles emparejamientos (elecciones) diferentes.
Es importante señalar que se tratan de situaciones en las que los elementos de A y B se van a combinar, es decir, no son excluyentes.
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