Problema 1.
Definir las dimensiones del póster y del marco:
Ancho del póster: 46 cm
Altura del póster: 66 cm
Ancho del marco: x (esto es lo que queremos encontrar)
Ancho total del póster con el marco: 46 + 2x cm
Altura total del póster con el marco: 66 + 2x cm
Establecer la ecuación usando el área:
Área total del póster con el marco: 3500 cm²
Fórmula del área: ancho × altura
Ecuación: $(46 + 2x) · (66 + 2x) = 3500$
Desarrollar y simplificar la ecuación:
Expansión: $46 · 66 + 2x · 66 + 46 · 2x + 4x² = 3500$
Simplificación: $3036 + 132x + 92x + 4x² = 3500$
Combinar términos semejantes: $4x² + 224x + 3036 = 3500$
Resolver la ecuación cuadrática: $4x² + 224x - 464 = 0$
Resolver usando la fórmula cuadrática
Encontrar el valor positivo de $x$:
Soluciones: $x = -58$ y $x = 2$
Descartar $x = -58$ (no puede ser negativo)
Ancho del marco: $x = 2 cm$
Por lo tanto, el ancho del marco es de 2 cm.
Problema 2.
Para resolver este problema, necesitamos entender cómo se relaciona el número de saludos con el número de personas en la reunión. Si hay \( n \) personas en la reunión, cada persona saluda a \( n - 1 \) otras personas. Sin embargo, este conteo duplica cada saludo, ya que el saludo entre dos personas se cuenta dos veces (una vez por cada persona). Por lo tanto, el número total de saludos únicos es la mitad del producto de \( n \) y \( n - 1 \).
La fórmula para calcular el número de saludos únicos \( S \) es: \[S = \frac{n(n - 1)}{2}\]
Dado que el número de saludos es 276, podemos establecer la ecuación: \[276 = \frac{n(n - 1)}{2}\]
Ahora, vamos a resolver esta ecuación paso a paso.
Multiplicar ambos lados de la ecuación por 2: \[2 \times 276 = n(n - 1)\]
\[552 = n^2 - n\]
Reorganizar la ecuación para formar una ecuación cuadrática: \[n^2 - n - 552 = 0\]
Resolver la ecuación cuadrática:
Podemos usar la fórmula cuadrática para encontrar los valores de \( n \)
\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
donde \( a = 1 \), \( b = -1 \), y \( c = -552 \).
La ecuación cuadrática tiene dos soluciones: \( n = -23 \) y \( n = 24 \). Sin embargo, en este contexto, un número negativo de personas no tiene sentido, por lo que descartamos \( n = -23 \).
Por lo tanto, el número de personas que asisten a la reunión es 24.
Problema 3.
Para resolver este problema, necesitamos encontrar los valores de \( x \) para los cuales la presión \( P(x) \) es igual a cero. La ecuación dada es:
\[
P(x) = ax^4 + bx^2 + c
\]
Con los valores dados de \( a = 0.01 \, \text{Pa/m}^4 \), \( b = -0.3 \, \text{Pa/m}^2 \), y \( c = -2.5 \, \text{Pa} \), la ecuación se convierte en:
\[
P(x) = 0.01x^4 - 0.3x^2 - 2.5
\]
Ahora, necesitamos resolver la ecuación \( 0.01x^4 - 0.3x^2 - 2.5 = 0 \). Esta es una ecuación cuadrática en términos de \( x^2 \). Podemos hacer un cambio de variable para simplificarla:
Definamos \( y = x^2 \). Entonces, la ecuación se convierte en:
\[
0.01y^2 - 0.3y - 2.5 = 0
\]
Ahora, resolvamos esta ecuación cuadrática para \( y \).
Aplicar la fórmula cuadrática:
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
donde \( a = 0.01 \), \( b = -0.3 \), y \( c = -2.5 \).
Calcular los valores de \( y \):
Sustituyendo los valores en la fórmula cuadrática, obtenemos los valores de \( y \).
Volver a la variable original \( x \):
Recordemos que \( y = x^2 \). Por lo tanto, una vez que tengamos los valores de \( y \), debemos tomar la raíz cuadrada de estos valores para obtener los valores correspondientes de \( x \).
Es importante tener en cuenta que solo consideramos las raíces cuadradas reales y no negativas, ya que \( x \) representa una distancia y no puede ser negativa.
Las soluciones de la ecuación cuadrática son \( y = -6.794494717703369 \) y \( y = 36.794494717703365 \). Sin embargo, solo la solución positiva es físicamente significativa en este contexto, ya que \( y = x^2 \) y \( x^2 \) no puede ser negativo.
Por lo tanto, la única solución válida es \( y = 36.794494717703365 \). Ahora, necesitamos encontrar los valores correspondientes de \( x \) tomando la raíz cuadrada de \( y \):
\[
x = \pm \sqrt{y}
\]
\[
x = \pm \sqrt{36.794494717703365}
\]
Los valores de \( x \) son \( \pm 6.065846578813494 \) metros. Sin embargo, dado que \( x \) representa una distancia entre las placas y no puede ser negativa, la única solución físicamente significativa es:\[
x = 6.065846578813494 \, \text{metros}
\]
Por lo tanto, la distancia entre las placas donde la presión del fluido es cero es aproximadamente 6.07 metros.
Problema 4.
Para determinar cuándo la pelota toca el suelo, necesitamos encontrar el(los) valor(es) de \( t \) para el cual la altura \( h(t) \) es igual a cero. La ecuación dada es:
\[
h(t) = -5t^2 + 3t + 2
\]
Queremos encontrar los valores de \( t \) para los cuales \( h(t) = 0 \). Esto significa resolver la ecuación cuadrática:
\[
-5t^2 + 3t + 2 = 0
\]
Vamos a resolver esta ecuación cuadrática paso a paso.
Aplicar la fórmula cuadrática:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
donde \( a = -5 \), \( b = 3 \), y \( c = 2 \).
Calcular los valores de \( t \):
Sustituyendo los valores en la fórmula cuadrática, obtenemos los valores de \( t \).
La ecuación cuadrática tiene dos soluciones: \( t = -\frac{2}{5} \) y \( t = 1 \). Sin embargo, un tiempo negativo no tiene sentido en este contexto, ya que estamos buscando un momento después de que la pelota es lanzada. Por lo tanto, descartamos \( t = -\frac{2}{5} \).
La solución válida es \( t = 1 \) segundo. Esto significa que la pelota toca el suelo 1 segundo después de ser lanzada por Marta.
Problema 5.
Para determinar el tiempo \( t \) cuando la temperatura \( T \) alcanza los 30 grados Celsius, necesitamos resolver la ecuación dada para \( t \). La ecuación es:
\[
T = \sqrt{25 + t}
\]
Queremos encontrar el valor de \( t \) cuando \( T = 30 \) grados Celsius. Sustituyendo \( T = 30 \) en la ecuación, obtenemos:
\[
30 = \sqrt{25 + t}
\]
Ahora, vamos a resolver esta ecuación paso a paso.
Elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación:
Para deshacernos de la raíz cuadrada, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
\[
(30)^2 = (\sqrt{25 + t})^2
\]
\[
900 = 25 + t
\]
{Despejar \( t \):
Ahora, despejamos \( t \) restando 25 de ambos lados de la ecuación:
\[
900 - 25 = t
\]
\[
t = 875
\]
Por lo tanto, el tiempo \( t \) cuando la temperatura alcanza los 30 grados Celsius es 875 minutos desde el inicio del experimento.
Problema 6.
Para resolver este problema, necesitamos establecer una ecuación que represente la suma de las alturas de ambas plantas y luego resolverla para encontrar el valor de \( x \), que representa el número de días desde que comenzó el experimento. La suma de estas alturas es de 13 cm, por lo que la ecuación a resolver es:
\[
\sqrt{8x + 4} + \sqrt{12x + 1} = 13
\]
Ahora, vamos a resolver esta ecuación paso a paso.
Aislar uno de los términos de raíz cuadrada:
Primero, aislamos uno de los términos de raíz cuadrada. Por ejemplo, podemos aislar \( \sqrt{12x + 1} \):
\[
\sqrt{12x + 1} = 13 - \sqrt{8x + 4}
\]
Elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación:
Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
\[
(\sqrt{12x + 1})^2 = (13 - \sqrt{8x + 4})^2
\]
\[
12x + 1 = 169 - 26\sqrt{8x + 4} + 8x + 4
\]
Simplificamos la ecuación:
\[
12x + 1 = 173 - 26\sqrt{8x + 4} + 8x
\]
\[
4x + 1 = 173 - 26\sqrt{8x + 4}
\]
Aislamos el término de raíz cuadrada:
\[
26\sqrt{8x + 4} = 172 - 4x
\]
Elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación nuevamente:
Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación para eliminar la raíz cuadrada: \[
(26\sqrt{8x + 4})^2 = (172 - 4x)^2
\] \[
676(8x + 4) = (172 - 4x)^2
\]
Expandimos y simplificamos la ecuación para obtener una ecuación cuadrática en términos de \( x \).
Finalmente, resolvemos la ecuación cuadrática resultante para encontrar el valor de \( x \).
La ecuación cuadrática resultante tiene dos soluciones: \( x = 4 \) y \( x = 420 \). Estos valores representan el número de días desde que comenzó el experimento.
Sin embargo, dependiendo del contexto del experimento, es posible que uno de estos valores no sea razonable. Por ejemplo, si el experimento comenzó hace poco tiempo, es más probable que el valor correcto sea \( x = 4 \) días. En cambio, si el experimento ha estado en curso durante un período más largo, \( x = 420 \) días podría ser una posibilidad.
Por lo tanto, el valor de \( x \) que representa el número de días desde que comenzó el experimento es 4 o 420, dependiendo del contexto específico del experimento.
Problema 7.
Para resolver este problema, primero necesitamos establecer las áreas de cada tipo de baldosa y luego usar la información proporcionada para encontrar la superficie total de la cocina.
Área de las baldosas:
Tipo A (cuadradas): Cada baldosa tiene un lado de 2 dm, por lo que su área es \( 2 \, \text{dm} · 2 \, \text{dm} = 4 \, \text{dm}^2 \).
Tipo B (rectangulares): Cada baldosa tiene dimensiones de 1 dm por 3 dm, por lo que su área es \( 1 \, \text{dm} · 3 \, \text{dm} = 3 \, \text{dm}^2 \).
Relación entre el número de baldosas: si se necesitan \( x \) baldosas del Tipo A, entonces se necesitarían \( x + 120 \) baldosas del Tipo B.
Igualar las áreas totales: la superficie total de la cocina es la misma independientemente del tipo de baldosa que se use. Por lo tanto, el área total cubierta por las baldosas Tipo A es igual al área total cubierta por las baldosas Tipo B.
Establecemos la ecuación basada en esta relación:
\[
\text{Área total con Tipo A} = \text{Área total con Tipo B}
\]\[
x · 4 \, \text{dm}^2 = (x + 120) · 3 \, \text{dm}^2
\]Ahora, resolvamos esta ecuación para \( x \) y luego calculemos la superficie total de la cocina.
Desarrollar y simplificar la ecuación:
\[
4x = 3(x + 120)
\] \[
4x = 3x + 360
\]
Despejar \( x \): \[
4x - 3x = 360
\] \[
x = 360
\]
Calcular la superficie total de la cocina: usando baldosas Tipo A: \[
\text{Superficie total} = x · 4 \, \text{dm}^2 = 360 · 4 \, \text{dm}^2
\]
Calculamos este valor para obtener la superficie total.
La superficie total de la cocina es \( 1440 \, \text{dm}^2 \). Esto se calcula utilizando las baldosas Tipo A, donde se necesitan 360 baldosas, cada una con un área de \( 4 \, \text{dm}^2 \).
Problema 8.
Para resolver este problema, necesitamos calcular cuántas veces la pelota rebota alcanzando una altura que es el 80\% de la altura desde la que cayó en el rebote anterior, hasta que esta altura sea menor que 1 metro.
La altura a la que rebota la pelota después de cada caída se puede calcular como una fracción de la altura desde la que cayó. Si la pelota cae desde una altura \( h \), entonces rebota a una altura de \( 0.8h \) (ya que rebota el 80% de la altura desde la que cae).
Podemos representar la altura después de cada rebote como una secuencia:
Primer rebote: \( 20 · 0.8 \) metros.
Segundo rebote: \( (20 · 0.8) · 0.8 \) metros.
Tercer rebote: \( ((20 · 0.8) · 0.8) · 0.8 \) metros.
Y así sucesivamente.
En términos generales, la altura después del \( n \)-ésimo rebote es \( 20 · 0.8^n \) metros.
Necesitamos encontrar el primer valor de \( n \) para el cual \( 20 · 0.8^n < 1 \) metro.
Establecer la desigualdad: \[
20 \times 0.8^n < 1
\]
Resolver para \( n \): para resolver esta desigualdad, primero dividimos ambos lados de la desigualdad por 20: \[
0.8^n < \frac{1}{20}
\]
Luego, aplicamos logaritmos a ambos lados de la desigualdad para resolver para \( n \). La base del logaritmo debe ser 0.8 para despejar \( n \): \[
\log_{0.8}(0.8^n) < \log_{0.8}\left(\frac{1}{20}\right)
\] \[
n < \log_{0.8}\left(\frac{1}{20}\right)
\]
Calcular el valor de \( n \): calculamos el valor de \( n \) usando un logaritmo base 0.8. El valor de \( n \) que obtenemos será un número decimal, y dado que estamos buscando el número de rebotes (que debe ser un número entero), redondeamos este número hacia arriba al entero más cercano.
Para calcular el logaritmo base 0.8 puedes usar la fórmula del cambio de base \(\log_{b}(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)}\)
La pelota rebotará 14 veces antes de alcanzar una altura menor que 1 metro. Esto se calcula utilizando logaritmos para determinar el número de veces que la pelota puede rebotar alcanzando el 80% de la altura del rebote anterior, hasta que esta altura sea menor que 1 metro.
Problema 9.
Para resolver este problema, vamos a utilizar incrementos y decrementos porcentuales para relacionar el número de visitantes en cada mes y luego encontrar el total de visitantes durante los tres meses. Denotemos el número de visitantes en marzo como \( M \).
Número de visitantes en abril:
En abril, hubo un aumento del 15% en comparación con marzo. Por lo tanto, el número de visitantes en abril es \( M + 0.15M = 1.15M \).
Número de visitantes en mayo:
En mayo, hubo una disminución del 10% en comparación con abril. Por lo tanto, el número de visitantes en mayo es \( 1.15M - 0.10 · 1.15M = 1.15M · (1 - 0.10) = 1.15M · 0.90 \).
Relación entre marzo y mayo:
Se nos dice que en marzo hubo 70 personas menos que en mayo. Esto se puede expresar como \( M = 1.15M · 0.90 - 70 \).
Ahora, resolvamos esta ecuación para encontrar \( M \), el número de visitantes en marzo.
Desarrollar la ecuación: \[
M = 1.15M · 0.90 - 70
\] \[
M = 1.035M - 70
\]
{Despejar \( M \)}: \[
M - 1.035M = -70
\] \[
-0.035M = -70
\] \[
M = \frac{-70}{-0.035}
\]
Calcular el número de visitantes en marzo, abril y mayo:
Una vez que tengamos \( M \), podemos calcular el número de visitantes en abril y mayo utilizando las relaciones establecidas anteriormente.
Finalmente, sumamos los visitantes de los tres meses para obtener el total.
El número total de personas que visitaron la galería de arte durante los meses de marzo, abril y mayo es aproximadamente 6370.
Este total se calculó encontrando primero el número de visitantes en marzo, luego utilizando este número para calcular los visitantes en abril y mayo, y finalmente sumando los visitantes de los tres meses.
Problema 10.
Para resolver este problema, vamos a establecer un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Denotemos el consumo de agua en el hogar como \( H \) millones de litros por año, en la agricultura como \( A \) millones de litros por año, y en la industria como \( I \) millones de litros por año. Las ecuaciones se basan en la información proporcionada:
Consumo total de agua. El consumo total de agua es la suma del consumo en el hogar, la agricultura y la industria, que es 100 millones de litros por año:
\[
H + A + I = 100
\]
Relación entre el consumo en la agricultura y el hogar. El consumo de agua en la agricultura es el doble del consumo en el hogar:
\[
A = 2H
\]
Relación entre el consumo en la industria y el hogar: el consumo de agua en la industria es 20 millones de litros más que el consumo en el hogar:
\[
I = H + 20
\]
Ahora, tenemos un sistema de tres ecuaciones:
$ \large{\left. \begin{matrix} H + A + I = 100 \\ A = 2H \\ I = H + 20 \end{matrix} \right \} }$
Vamos a resolver este sistema paso a paso.
Sustituir \( A \) y \( I \) en la primera ecuación.
Sustituimos \( A = 2H \) y \( I = H + 20 \) en la primera ecuación:
\[
H + 2H + (H + 20) = 100
\]Simplificar y resolver para \( H \):
Simplificamos y resolvemos la ecuación para \( H \):
\[
4H + 20 = 100
\]
\[
4H = 80
\]
\[
H = 20
\]Calcular \( A \) y \( I \):
Ahora que conocemos \( H \), podemos calcular \( A \) y \( I \):
\[
A = 2H = 2 · 20 = 40
\]
\[
I = H + 20 = 20 + 20 = 40
\]
Por lo tanto, el consumo de agua en el hogar es de 20 millones de litros por año, en la agricultura es de 40 millones de litros por año, y en la industria es también de 40 millones de litros por año.
