Los sistemas de ecuaciones lineales son conjuntos de dos o más ecuaciones lineales que tienen variables en común. Si el sistema tiene 2 ecuaciones con 2 incógnitas, la forma general sería:

$ \Large{\left. ax+by=c \atop px+qy=r \right \} }$

donde $a, b, c, p, q, r$ son coeficientes conocidos y $x$ e $y$ las incógnitas.

Si el sistema tiene 3 ecuaciones con 3 incógnitas, la forma general sería:

  $ \large{\left. \begin{matrix} ax+by+cz=d \\ ex+fy+gz=h \\  mx+ny+pz=q \end{matrix} \right \} }$

donde $x, y$ y $z$ son las incógnitas. 

 La solución de un sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de valores para las variables que satisfacen todas las ecuaciones del sistema simultáneamente.

Por ejemplo, valores $x = 1$ y $y = 2$ es una solución del sistema de ecuaciones lineales:

$ \Large{\left. 2x-3y=-4 \atop 3x+y=5 \right \} }$

pues al sustituir estos valores en cada una de las ecuaciones, vemos que las igualdades se mantienen.

Sustituyamos $x = 1$ y $y = 2$ en cada ecuación:

Para la primera ecuación $2x - 3y = -4 \rightarrow 2(1) - 3(2) = 2 - 6 = -4$. La ecuación se mantiene, pues $-4 = -4$.
Para la segunda ecuación $3x + y = 5 \rightarrow 3(1) + 2 = 3 + 2 = 5$. Esta ecuación también se mantiene, pues $5 = 5$.
Dado que ambas ecuaciones se mantienen verdaderas con $x = 1$ y $y = 2$, podemos concluir que $x = 1$, $y = 2$ es de hecho una solución del sistema de ecuaciones. Esto significa que este par de valores satisface ambas ecuaciones simultáneamente.

Estas ecuaciones se representan con líneas rectas en un gráfico bidimensional. Los puntos donde estas líneas se intersectan representan las soluciones del sistema.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar según el número de soluciones que poseen:

1. Sistema Compatible Determinado: Este tipo de sistema tiene exactamente una solución. En un gráfico, las líneas se cruzan en un solo punto. Este punto de intersección representa la única solución del sistema.
2. Sistema Compatible Indeterminado: Este sistema tiene infinitas soluciones. En un gráfico, las líneas se superponen completamente, lo que significa que hay infinitos puntos de intersección. Todas estas intersecciones son soluciones del sistema.
3. Sistema Incompatible: Un sistema es incompatible cuando no tiene solución. En un gráfico, esto se representa con líneas que nunca se cruzan, como líneas paralelas. Dado que no hay puntos de intersección, no hay soluciones para este sistema.

Entender estos conceptos es fundamental en álgebra lineal y en la resolución de problemas que involucran múltiples variables y condiciones.

Para determinar si un sistema de dos ecuaciones lineales de la forma:

$ \Large{\left. ax+by=c \atop px+qy=r \right \} }$

es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible, se pueden usar las siguientes condiciones basadas en los coeficientes de las ecuaciones:

Sistema Compatible Determinado (S.C.D.)	\begin{equation} \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} \end{equation}	$ \Large{\left. 2x-y=1 \atop x+y=2 \right \} }$ Solución x=1, y=1 $\large{\frac{2}{1} \neq \frac{-1}{1}}$	El punto donde se cortan ambas rectas tiene de coordenadas  $(1,1)$. Este punto de intersección indica que $x=1$ y $y=1$ es la solución del sistema, ya que es el único punto que satisface ambas ecuaciones simultáneamente.
Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.)	\begin{equation} \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} \end{equation}	$ \Large{\left. 2x-y=1 \atop 4x-2y=2 \right \} }$ Infinitas soluciones $\large{\frac{2}{4} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}}$	En la gráfica, las dos ecuaciones se representan por líneas que coinciden exactamente, lo que indica que ambas ecuaciones representan la misma recta. Esto significa que el sistema de ecuaciones es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones, ya que cualquier punto sobre esta recta es una solución para ambas ecuaciones.
Sistema Incompatible (S.I.)	\begin{equation} \frac{a}{p} = \frac{b}{q} \neq\frac{c}{r} \end{equation}	$ \Large{\left. 2x-y=1 \atop 4x-2y=3 \right \} }$ No tiene solución $\large{\frac{2}{4} = \frac{-1}{-2} \neq\frac{1}{3}}$	En esta gráfica, las dos líneas son paralelas, lo que indica que no se intersecan en ningún punto. Esto significa que el sistema de ecuaciones es incompatible y no tiene soluciones, ya que no hay un punto que satisfaga ambas ecuaciones al mismo tiempo.

Existen diferentes técnicas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

En este apartados veremos dos de ellas:

1. Sustitución.
2. Reducción.

1. Sustitución

El método de sustitución es una técnica que consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra ecuación. Luego resolvemos la ecuación resultante.

Veamos un ejemplo:

$ \Large{\left. 3x+2y=12 \atop x-y=1 \right \} }$

Ahora, sigamos los pasos para resolverlo usando el método de sustitución:

• Paso 1: Despejar una variable en una de las ecuaciones Elijamos la segunda ecuación, $x - y = 1$, y despejemos $x$. Así obtenemos: $x = y + 1$
• Paso 2: Sustituir la variable despejada en la otra ecuación Ahora sustituimos $x$ en la primera ecuación $(3x + 2y = 12)$ con la expresión que encontramos $(y + 1)$. Esto nos da: $3(y + 1) + 2y = 12$
• Paso 3: Resolver la ecuación resultante Expandimos y simplificamos la ecuación: $3y + 3 + 2y = 12$;    $5y + 3 = 12$;     $5y = 9$;    $y = \frac{9}{5}$
• Paso 4: Sustituir el valor encontrado en la ecuación despejada Ahora sustituimos $y = \frac{9}{5}$ en la ecuación despejada $(x = y + 1)$:   $x = 9/5 + 1$;    $x = 9/5 + 5/5$;    $x = \frac{14}{5}$
• Paso 5: Comprobar las soluciones Finalmente, comprobamos las soluciones en las ecuaciones originales: En la primera ecuación $(3x + 2y = 12)$:     $3(14/5) + 2(9/5) = 42/5 + 18/5 = 60/5 = 12$.  En la segunda ecuación $(x - y = 1)$:  $14/5 - 9/5 = 5/5 = 1$

Ambas comprobaciones son correctas, por lo que las soluciones son $\large{x = \frac{14}{5}}$    $\large{y = \frac{9}{5}}$  

En el siguiente vídeo se muestran diferentes ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales resueltos por el método de sustitución.

2. Reducción

El método de reducción se basa en manipular las ecuaciones para eliminar una de las variables (ya sea $x$ o $y$). 

Pasos del Método de Reducción:

• Paso 1: Selecciona la variable a eliminar. Decides si quieres eliminar $x$ o $y$. Tu elección puede depender de cuál parece más fácil de eliminar en base a los coeficientes de las ecuaciones.
• Paso 2: Iguala los coeficientes de la variable elegida. Multiplicas o divides una o ambas ecuaciones por números adecuados para que los coeficientes de la variable que quieres eliminar sean iguales y de signo contrario. Por ejemplo, si los coeficientes de $x$ en las dos ecuaciones son $2$ y $3$, podrías multiplicar la primera ecuación por $3$ y la segunda por $2$, para obtener coeficientes de $6$ y $-6$ en $x$, respectivamente.
• Paso 3: Suma las ecuaciones para eliminar la variable. Una vez que los coeficientes son iguales y opuestos, sumas las dos ecuaciones. Esto eliminará la variable que elegiste.
• Paso 4: Resuelve la nueva ecuación. La suma de las ecuaciones te dará una ecuación con una sola variable (incógnita). Resuélvela para encontrar su valor.
• Paso 5: Sustituye y encuentra la otra variable: Con el valor encontrado, sustitúyelo en una de las ecuaciones originales y resuelve para encontrar el valor de la otra variable.

Ejemplo:
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

$ \Large{\left. 3x+2y=6 \atop 4x-3y=12 \right \} }$

Paso 1: Decidimos eliminar $x$.

Paso 2: Igualamos los coeficientes de x. Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por 3:

$ \Large{\left. 4(3x+2y)=4(6) \atop 3(4x-3y)=3(12) \right \} }$

Esto nos da:

$ \Large{\left. 12x+8y=24 \atop 12x-9y=36 \right \} }$

Paso 3: Restamos la segunda ecuación de la primera (ya que los coeficientes de x son iguales):

$(12x + 8y) - (12x - 9y) = 24 - 36$
$17y = -12$

Paso 4: Resolvemos para y:  $y = -12/17$

Paso 5: Sustituimos y en una de las ecuaciones originales:

$3x + 2(-12/17) = 6$
$3x = 6 + 24/17$
$x = 6/3 + 8/17$
$x = 2 + 8/17= 42/17$

Por lo tanto, la solución al sistema es $\large{x = \frac{42}{17}}$,   $\large{y = \frac{-12}{17}}$.

En el siguiente vídeo se muestran diferentes ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales resueltos por el método de reducción.

El método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales es una técnica que permite encontrar la solución de un sistema de ecuaciones al representar las ecuaciones como rectas en un gráfico de coordenadas. Es especialmente útil, ya que es visual y bastante intuitivo.

Estos son los pasos básicos a seguir:

Supongamos que las ecuaciones vienen dadas en la forma general:

$ \Large{\left. ax+by=c \atop px+qy=r \right \} }$

1. Construcción de la Tabla de Valores: Para cada ecuación, construyes una tabla de valores eligiendo diferentes valores para x y calculando los correspondientes valores de y, o viceversa. Esto te dará pares de puntos (x, y) que satisfacen la ecuación. Por ejemplo, para la ecuación $ax + by = c$:  Eliges un valor para $x$ y calculas el correspondiente $y$. Repites este proceso para al menos dos valores diferentes de x (o y).
2. Representación de los Puntos en un Gráfico de Coordenadas: Luego, tomas los puntos obtenidos de las tablas de valores y los representas en un gráfico de coordenadas. Cada punto se dibuja en su respectiva posición en el plano XY.
3. Unión de los Puntos: Después de representar los puntos de cada ecuación, trazas una línea recta a través de los puntos de cada ecuación. Estas líneas son la representación gráfica de las ecuaciones.
4. Intersección de las Rectas y Solución del Sistema:
   • Si las rectas se cruzan en un punto, este punto de intersección es la única solución del sistema, lo que significa que el sistema es consistente y determinado.
   • Si las rectas son paralelas y no se cruzan, no hay un punto de intersección y el sistema no tiene solución, siendo un sistema inconsistente.
   • Si las rectas son coincidentes, se superponen completamente y el sistema tiene infinitas soluciones, siendo un sistema consistente e indeterminado.
5. Interpretación del Punto de Intersección: Las coordenadas del punto de intersección $(x, y)$ son los valores que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. Este punto da la solución al sistema de ecuaciones.

Este método gráfico es una herramienta excelente para entender visualmente cómo diferentes ecuaciones lineales interactúan y cómo sus soluciones se relacionan en el plano XY. Sin embargo, es importante recordar que este método puede ser menos práctico para encontrar soluciones exactas, especialmente cuando las intersecciones no caen en puntos claramente definidos en el gráfico.

Ejemplo.

Tomemos las siguientes ecuaciones:

$ \Large{\left. 2x+3y=6 \atop x-y=1 \right \} }$

Paso 1: Construir las Tablas de Valores:

Para 2x + 3y = 6:

Si x = 0, entonces 3y = 6 y y = 2. Un punto es (0, 2).
Si x = 3, entonces 6 + 3y = 6 y y = 0. Otro punto es (3, 0).
Para x - y = 1:

Si x = 0, entonces -y = 1 y y = -1. Un punto es (0, -1).
Si x = 2, entonces 2 - y = 1 y y = 1. Otro punto es (2, 1).

Paso 2: Representar los Puntos en un Gráfico:

Para 2x + 3y = 6, dibujamos los puntos (0, 2) y (3, 0).
Para x - y = 1, dibujamos los puntos (0, -1) y (2, 1).

Paso 3: Trazar las Rectas:

Dibujamos una línea recta a través de los puntos de cada ecuación.

Paso 4: Encontrar el Punto de Intersección:

Observamos dónde se cruzan las rectas. Este punto es la solución al sistema de ecuaciones.

Paso 5: Interpretar la Solución:

Si las líneas se cruzan en un punto, ese punto nos da las coordenadas x e y que son la solución al sistema. En este caso, gráficamente parece que se cruzan cerca del punto (2,1).

Este ejemplo muestra cómo el método gráfico puede ayudar a visualizar las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Sin embargo, para encontrar la solución exacta, especialmente en casos donde la intersección no es clara visualmente, podríamos necesitar usar métodos algebraicos como la sustitución o la eliminación.

Veamos el procedimiento general para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones con tres incógnitas aplicando el método de sustitución:

• Paso 1: Elige y despeja de una incógnita. Elige una de las ecuaciones y despeja una incógnita. Es recomendable elegir la ecuación y incógnita que facilite el despeje, es decir, aquella que tenga el coeficiente más simple (como 1 o -1).
• Paso 2: Sustitución en las otras dos ecuaciones. Sustituye la expresión obtenida en las otras dos ecuaciones. Esto reducirá el sistema original de tres ecuaciones con tres incógnitas a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
• Paso 3: Simplificación y resolución del sistema reducido. Simplifica y resuelve el nuevo sistema de dos ecuaciones. Para resolverlo puedes aplicar cualquiera de los métodos estudiados anteriormente (sustitución o reducción).
• Paso 4: Sustitución para encontrar la tercera incógnita. Usa los valores encontrados para las dos incógnitas y sustitúyelos en la expresión despejada originalmente para encontrar la tercera incógnita.
• Paso 5: Comprobación de la solución. Verifica la solución sustituyendo los valores de las tres incógnitas en las ecuaciones originales. Si todos los valores satisfacen todas las ecuaciones, entonces la solución es correcta.

Ejemplo.

Dado el sistema:

$ \large{\left. \begin{matrix} x+y+z=6 \\ 2x-y+3z=14 \\  -x+4y-z=-2 \end{matrix} \right \} }$

Paso 1: Despeje de  $x$:

\[ x = 6 - y - z \]

Paso 2: Sustitución en las ecuaciones:

$ \Large{\left. 2(6 - y - z) - y + 3z = 14 \atop -(6 - y - z) + 4y - z = -2 \right \} }$

Paso 3: Simplificación y agrupamiento de términos:

$ \Large{\left. 12 - 2y - 2z - y + 3z = 14 \atop -6 + y + z + 4y - z = -2 \right \} }$

$ \Large{\left.  - 3y + z = 2 \atop  5y = 4 \right \} }$

En este caso, el sistema resultante con dos ecuaciones y dos incógnitas nos ha quedado de manera que en la segunda ecuación sólo queda una incógnita que podemos despejar, en el caso general aquí quedarán dos ecuaciones con dos incógnitas que resolveremos por cualquiera de los métodos vistos en el punto anterior.

Despeje de y:    \[y = \frac{4}{5} \]

Sustitución para encontrar $z$:

\[-3\left(\frac{4}{5}\right) + z = 2 \Rightarrow z = 2 + \frac{12}{5} = \frac{22}{5} \]

Paso 4: Sustitución para encontrar  $x$:

\[x = 6 - \frac{4}{5} - \frac{22}{5} = \frac{4}{5} \]

Paso 5: Solución y comprobación:

\[ x = \frac{4}{5}, \ y = \frac{4}{5}, \ z = \frac{22}{5}\]

En el siguiente vídeo se muestra otro ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales resueltos por el método de sustitución.