Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones polinómicas de grado 4 en las que no aparecen los términos de grado 1 ni de grado 3. 

La forma general de una ecuación bicuadrada es: $ax^4 + bx^2 + c = 0$

Para resolver una ecuación bicuadrada, se sigue generalmente el siguiente proceso:

1. Sustitución: Se realiza una sustitución para simplificar la ecuación. Se introduce una nueva variable, por ejemplo $t$, donde $t=x^2$ y, por tanto, $t^2=x^4$.  Esto transforma la ecuación bicuadrada en una ecuación cuadrática $at^2 + bt + c = 0$.
2. Resolver la ecuación cuadrática: Ahora resolvemos esta ecuación cuadrática para $t$. La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática $t = {\large{\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}}$. Esto dará dos soluciones $t_1, t_2$.
3. Re-sustitución y resolución: Se reemplaza $t$ por $x^2$ en las soluciones encontradas. Esto nos da dos nuevas ecuaciones cuadráticas: $x^2=t_1$ y $x^2=t_2$. Cada una de estas ecuaciones puede tener dos soluciones (una positiva y una negativa), por lo que se resuelven para $x$ para encontrar las soluciones finales de la ecuación bicuadrada original.
4. Soluciones finales: Las soluciones finales serán las raíces cuadradas de $t_1$ y $t_2$​, tanto las positivas como las negativas, siempre y cuando sean números reales.

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación $x^4 -5x^2 + 4 = 0$.

1. Con el cambio de variable $t=x^2$ , se convierte en: $t^2 - 5t + 4 = 0$

2. Resolver la ecuación cuadrática: $t = {\large{\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}}}$

   $t ={\large{ \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}}}$, $t = {\large{\frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}}}$, $t = {\large{\frac{5 \pm 3}{2}}}$

   Las soluciones para $t$ son: $t_1 ={\large{ \frac{5 + 3}{2}}} = 4$ y $t_2 = {\large{\frac{5 - 3}{2} }}= 1$

3. Re-sustitución y resolución. Reemplazando $t$ por $x^2$: Para $t_1=1$, $x^2 = 1$, $x = \pm \sqrt{1}$, $x = \pm 1$, y $t_1=4$, $x^2 = 4$, $x = \pm \sqrt{4}$, $x = \pm 2$.

$ \Large {\left \{ t_1=1 \rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x = \pm \sqrt{1}\rightarrow x = \pm 1 \atop  t_2=4 \rightarrow x^2 = 4 \rightarrow x = \pm \sqrt{4}\rightarrow x = \pm 2  \right. }$

 
4. Las soluciones finales son: $x = 2, -2, 1, -1$

En el siguiente vídeo se explica cómo resolver ecuaciones bicuadradas a través de varios ejemplos.

Las ecuaciones con radicales (también llamadas irracionales) son aquellas en las que la incógnita (generalmente representada por $x$) se encuentra bajo el signo de la raíz cuadrada.

Para resolver estas ecuaciones procedemos de la siguiente manera:

1. Aislamos la raíz cuadrada en un miembro.
2. Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad. De esta forma conseguimos que desparezca la raíz cuadrada.

Es importante tener en cuenta que al elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación se pueden introducir soluciones que no son válidas en la ecuación original (conocidas como "soluciones extrañas" o "falsas"). Por eso, es crucial verificar todas las soluciones obtenidas en la ecuación original.

Ejemplo1:

Resolvamos la ecuación $\sqrt{1 + 2x} + 1 = x$

• Aislamos el radical: $\sqrt{1 + 2x} = x - 1$
• Elevamos al cuadrado ambos lados: $(\sqrt{1 + 2x})^2 = (x - 1)^2$. La raíz cuadrada desaparece.
• Aplicamos el producto notable relativo al cuadrado de un binomio: $1 + 2x = x^2 - 2x + 1$.
• Reordenamos la ecuación: $x^2 - 2x - 2x + 1 - 1 = 0$, es decir,  $x^2 - 4x = 0$
• Resolvemos $x^2 - 4x = 0$ obteniendo $x=4$ y $x=0$
• Verificamos las soluciones: Solo $x=4$ satisface la ecuación original, mientras que $x=0$ no lo hace.

• Por lo tanto, la solución final es: $x=4$

Ejemplo2:

Resolvamos la ecuación $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 4$

• Aislamos el radical: $\sqrt{x-2} = 4 - \sqrt{x+6}$
• Elevamos al cuadrado ambos lados: $(\sqrt{x-2})^2 = (4 - \sqrt{x+6})^2$
• Aplicamos el producto notable relativo al cuadrado de un binomio: $x - 2 = 16 - 8\sqrt{x+6} + x + 6$  ; 
• Reordenamos la ecuación: $0 = 24 - 8\sqrt{x+6}$   ;   $8\sqrt{x+6} = 24$   ;  $\sqrt{x+6} = 3$
• Elevamos al cuadrado ambos lados y resolvemos: $(\sqrt{x+6})^2 = 3^2$   ;   $x + 6 = 9$  ;   $x = 9 - 6$   ;   $x = 3$
• Verificamos la solución: $\sqrt{3-2} + \sqrt{3+6} = 1 + 3 = 4$ 
• Por lo tanto, la solución final es: $x=3$

Una ecuación racional es aquella en la que las variables aparecen en el numerador o denominador de fracciones. En otras palabras, es una ecuación que involucra al menos una fracción cuyo numerador y/o denominador contiene una variable (usualmente $x$). Estas ecuaciones se resuelven encontrando un denominador común para combinar las fracciones, y luego resolviendo la ecuación resultante.

Es importante recordar que cuando se trabaja con ecuaciones racionales, nunca se puede tener un denominador igual a cero, ya que dividir por cero no está definido en matemáticas.

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación

\begin{equation*}
    \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x + 2}
\end{equation*}

Paso 1: Encontrar el denominador común

El denominador común es \( x(x - 3)(x + 2) \).

Paso 2: Multiplicar cada término por el denominador común

Multiplicamos cada término por \( x(x - 3)(x + 2) \):
\begin{equation*}
    x(x - 3)(x + 2) \left( \frac{1}{x} \right) + x(x - 3)(x + 2) \left( \frac{2}{x - 3} \right) = x(x - 3)(x + 2) \left( \frac{3}{x + 2} \right)
\end{equation*}

Paso 3: Simplificar, si lo hemos hecho bien, no deben quedar denominadores, si alguno no se va es que el m.c.m. no era correcto.

La ecuación se simplifica a:
\begin{equation*}
    (x - 3)(x + 2) + 2x(x + 2) = 3x(x - 3)
\end{equation*}

Paso 4: Expandir y simplificar

Expandimos y combinamos términos semejantes:
\begin{equation*}
    x^2 - x - 6 + 2x^2 + 4x = 3x^2 - 9x
\end{equation*}
\begin{equation*}
    3x^2 + 3x - 6 = 3x^2 - 9x
\end{equation*}

Paso 5: Resolver la ecuación

Restamos \( 3x^2 \) y simplificamos:
\begin{equation*}
    3x - 6 = -9x
\end{equation*}
\begin{equation*}
    12x - 6 = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
    12x = 6
\end{equation*}
\begin{equation*}
    x = \frac{6}{12}
\end{equation*}
\begin{equation*}
    x = \frac{1}{2}
\end{equation*}

Solución:

La solución de la ecuación es $ x = {\large{\frac{1}{2}}} $.

Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita (generalmente representada por $x$) aparece en el exponente de una potencia. Estas ecuaciones son comunes en situaciones que involucran crecimiento o decaimiento exponencial, como el interés compuesto en finanzas o el crecimiento de poblaciones en biología.

Resolver una ecuación exponencial implica encontrar el valor de la incógnita que hace que la ecuación sea verdadera. A menudo, esto se hace igualando las bases de las potencias en ambos lados de la ecuación, ya que si las bases son iguales, entonces los exponentes también deben ser iguales.

Ejemplo 1: 

Resolvamos: $9^{x-3} = 3^{x+2}$.

• Reescribimos 9 como 3², lo que nos da: $(3^2)^{x-3} = 3^{x+2}$
• Aplicamos la propiedad de las potencias que dice que: $(a^b)^c = a^{bc}$;   $3^{2(x-3)} = 3^{x+2}$
  
  Expandimos el exponente en el lado izquierdo: $3^{2x-6} = 3^{x+2}$
• Igualamos los exponentes y resolvemos para  $x$: 
• $\begin{align*}
  2x - 6 &= x + 2 \\
  2x - x &= 2 + 6 \\
  x &= 8
  \end{align*}$

Luego la solución es $x = 8$

En el siguiente vídeo se enseña cómo resolver ecuaciones con la misma base.

Si en la ecuación exponencial aparecen productos de potencias con diferentes bases, tomaremos logaritmos en ambos lados de la igualdad para despejar la incógnita $x$. 

Recordemos que el logaritmo en base $a$ de $N$ es igual a $x$, y se escribe $\log _{a}N=x$, si al calcular $a$ elevado a $x$ obtenemos $N$.

Es decir, $\log _{a}N=x$ $\Leftrightarrow a^{x}=N$. Al número $a$ se le llama base del logaritmo y $N$ es el argumento. 

Ejemplos:

$\left\{ \begin{array} \text{}  \log _{3}{9}=2 & \text{ ya que } 3^{2} =9 \\  \log _{5}\frac{1}{5}=-1 & \text{ ya que }  5^{-1} =\frac{1}{5} \\ \log _{3}\sqrt{3}=\frac{1}{2} & \text{ ya que } 3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}  \end{array} \right. $

También debemos tener presente las propiedades de los logaritmos:

• Solo se puede calcular el logaritmo de N si N > 0
• $\log _{a}\left( xy\right) =\log _{a}x+\log _{a}y$
• $\log _{a}\left( \frac{x}{y}\right) =\log _{a}x-\log _{a}y$
• $\log _{a}x^{n}=n\log _{a}x$

Ejemplo 2:

Resolvamos la ecuación exponencial: $2^{x+3} · 3^{2x} = 5$

• Aplicamos el logaritmo decimal a ambos lados: $\log(2^{x+3} · 3^{2x}) = \log(5)$
• Usamos la propiedad del logaritmo del producto: $\log(2^{x+3}) + \log(3^{2x}) = \log(5)$
• Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia: $(x+3)\log(2) + 2x\log(3) = \log(5)$
• Reorganizamos la ecuación: $x\log(2) + 3\log(2) + 2x\log(3) = \log(5)$
• Sumamos los términos con $x$:   $x(\log(2) + 2\log(3)) = \log(5) - 3\log(2)$
• Despejamos $x$: $x ={\large{ \frac{\log(5) - 3\log(2)}{\log(2) + 2\log(3)}}}$

En el siguiente vídeo se enseña cómo resolver ecuaciones con distintas bases.

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece dentro de un logaritmo. Para resolver estas ecuaciones, se utiliza la definición de logaritmo y sus propiedades, como la propiedad del producto y del cociente.

Ejemplo 1: 

Resolvamos la ecuación logarítmica: $\log(x) = 2$

• Aquí, el logaritmo está en base 10, que es lo usual cuando no se especifica la base. La pregunta es: ¿qué valor de $x$ hace que esta ecuación sea verdadera?
• Para resolverla, aplicamos la definición de logaritmo: \( 10^2 = x \). Esto nos da \( x = 100 \).
• Así, la solución de la ecuación logarítmica \( \log(x) = 2 \) es \( x = 100 \)

Ejemplo 2: 

Resolvamos la ecuación logarítmica: $\log(x) + \log(x + 1) = \log(6)$

Para resolver esta ecuación, utilizamos las propiedades de los logaritmos. La propiedad clave aquí es la propiedad del producto de logaritmos, que dice que la suma de dos logaritmos (con la misma base) es igual al logaritmo del producto de sus argumentos. 

Aplicando esta propiedad, la ecuación se convierte en:

\[
\log(x(x + 1)) = \log(6)
\]

Esto se simplifica a:

\[
\log(x^2 + x) = \log(6)
\]

Ahora, como los logaritmos son iguales, sus argumentos deben ser iguales. Entonces, establecemos:

\[
x^2 + x = 6
\]

Reorganizando la ecuación para formar una ecuación cuadrática, obtenemos:

\[
x^2 + x - 6 = 0
\]

Ahora, resolvemos esta ecuación cuadrática. La ecuación cuadrática general es \( ax^2 + bx + c = 0 \), y sus soluciones se dan por la fórmula:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

En nuestro caso, \( a = 1 \), \( b = 1 \), y \( c = -6 \). Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos las soluciones para \( x \):

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}
\]

Calculando dentro de la raíz cuadrada:

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}
\]

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2}
\]

\[
x = \frac{-1 \pm 5}{2}
\]

Entonces, tenemos dos soluciones:

$ \large{ x_{1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 }$
$ \large{ x_{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 }$

Sin embargo, debemos verificar si estas soluciones son válidas en la ecuación logarítmica original, ya que los logaritmos solo están definidos para argumentos positivos. 

- Para \( x = 2 \), los argumentos de los logaritmos en la ecuación original son positivos (\( \log(2) \) y \( \log(3) \)), por lo que \( x = 2 \) es una solución válida.
- Para \( x = -3 \), el argumento es negativo en \( \log(-3) \) y el logaritmo no está definido, por lo que \( x = -3 \) no es una solución válida.

Por lo tanto, la única solución válida para la ecuación logarítmica original es \( x = 2 \).

En el siguiente vídeo se muestran algunos ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas: