Si en la radicación te preguntabas que un número elevado a 3 da como resultado 8, ahora vas a plantearte a qué número debemos elevar 2 para obtener 8. Es decir, en la radicación resolviste la ecuación x3 =8, mientras que ahora deseas hallar la incógnita x en esta igualdad 2x =8. A la solución x de esta ecuación, le llamarás logaritmo en base 2 de 8 y se expresa así: $x=\log _{2}8=3$. Efectivamente, 23 =8. Mira la definición general de logaritmo.
Se dice que el logaritmo en base a de N es igual a x, y se escribe $\log _{a}N=x$, si al calcular a elevado a x obtienes N. Es decir, $\log _{a}N=x$ $\Leftrightarrow a^{x}=N$. Al número a se le llama base del logaritmo y N es el argumento. Supón siempre que a>0.
Ejemplos: $\log _{3}9=2$ ya que 32 =9; $\log _{5}\frac{1}{5}=-1$ pues 5-1 =$\frac{1}{5}$; $\log _{3}\sqrt{3}=\frac{1}{2}$ pues $3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$. Sin embargo $\log _{2}\left( -4\right)$ no existe, ya que la igualdad $2^{x}=-4$ no se cumple para ningún número real x.
En el siguiente vídeo se explica el concepto de logaritmo y se plantean, para que practiques, algunos ejercicios con la solución.
Cuando la base del logaritmo es 10 recibe el nombre de logaritmo decimal y, en este caso, no se escribe la base. Por ejemplo, el logaritmo en base 10 de 5 se expresaría: $\log 5$.
Existe una base de logaritmos especialmente interesante que viene dada por el número e = 2.718281..... Este número es de gran importancia en matemáticas pues aparece de forma natural en procesos donde se produce un crecimiento continuo. El logaritmo cuya base es el número e recibe el nombre de logaritmo neperiano en honor al matemático escocés John Napier que fue quien lo definió. El logaritmo en base e de 5 se expresaría: $\ln 5$.
Conoce algunas propiedades que cumplen los logaritmos.
| Propiedad 1 | Solo se puede calcular el logaritmo de N si N > 0 | $\log _{8}\left( -5\right)$ no existe |
| Propiedad 2 | $\log _{a}\left( xy\right) =\log _{a}x+\log _{a}y$ | $\log _{3}\left( 2\cdot 10\right) =\log _{3}2+\log _{3}10$ |
| Propiedad 3 | $\log _{a}\left( \frac{x}{y}\right) =\log _{a}x-\log _{a}y$ | $\log _{10}\left( \frac{20}{100}\right) =\log _{10}20-\log _{10}100$ |
| Propiedad 4 | $\log _{a}x^{n}=n\log _{a}x$ | $\log _{2}2^{5}=5\log _{2}2=5\cdot 1=5$ |
| Propiedad 5: Cambio de base | $\log _{a}N=\dfrac{\log _{b}N}{\log _{b}a}$ | $\log _{2}5=\dfrac{\log _{10}5}{\log _{10}2}$ ≈ 2.3219... |
Las calculadoras científicas tienen incorporadas las funciones logaritmo decimal (tecla log) y logaritmo neperiano (tecla ln). Si deseas calcular logaritmos en otras bases debes usar la Propiedad 5 "Cambio de base".
Para obtener logaritmo neperiano de 5, pulsa la tecla ln, a continuación 5, y la tecla igual. Para hallar $\log _{2}5$ puedes pasar a logaritmo decimal (base 10) que está disponible en la calculadora $\log _{2}5=\dfrac{\log _{10}5}{\log _{10}2}$ ≈ 2.3219...
En las siguientes imágenes se muestra cómo hallar estos valores con la calculadora.
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| ln(5) ≈ 1.6094... | $\log _{2}5=\dfrac{\log _{10}5}{\log _{10}2}$ ≈ 2.3219... |
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En calculadoras más recientes se ha incorporado también la función logarítmica de cualquier base, como puede verse en la imagen de la izquierda con un recuadro en rojo, mientras que en verde verás los botones tradicionales, con la salvedad de que para el logaritmo decimal (log) hay que pulsar previamente la tecla shift porque esté en amarillo. Al pulsar la tecla de logaritmo de cualquier base nos permite poner en la calculadora tanto el valor de la base, como del argumento del logaritmo, como puede verse en las dos capturas inferiores, en el ejemplo se puede calcular directamente el $log_{2}(5)$ |
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(CC BY-NC-SA) |
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La función logaritmo
La función logaritmo es de la forma f(x)=loga(x), con "a" un número real positivo.
Por ejemplo, f(x) = log2(x) se denomina función logaritmo en base 2 de "x".
En la imagen de abajo se muestra su gráfica obtenida a partir de la tabla de valores que aparece al lado.
Sus propiedades son:
Dominio o campo de existencia: la función sólo está definida para valores de x > 0.
Recorrido: la función puede tomar cualquier valor real, es decir, toda la recta real (- ∞, ∞).
Asíntota: la función presenta una asíntota vertical en el eje OY, es decir, en la recta de ecuación x = 0.
En esta actividad tendrás que aplicar la definición de logaritmo, sus propiedades y usar la calculadora.
Cuando se produce un terremoto se libera una gran cantidad de energía debida a la deformación de los materiales que conforman el terreno. Parte de la energía se irradia en forma de onda sísmica, cuya magnitud superficial se mide a través de una escala conocida como Escala sismológica de Richter.
La relación entre la magnitud de un terremoto M en la escala Richter y la energía liberada E (en ergios) viene dada por la expresión:
log E = 11.8 +1.5 · M (log indica logaritmo decimal).
Teniendo en cuenta la expresión anterior, puedes plantearte las siguientes cuestiones:
Cuestión 1.
¿Qué energía se libera en un terremoto de magnitud 5.5 en la escala Richter?
Cuestión 2.
Si mides la fuerza de un terremoto a partir de la energía liberada, ¿cuántas veces es más fuerte un terremoto de magnitud 7.5 que otro de 5.5?
Cuestión 3.
Si trasladas la energía liberada por la bomba atómica lanzada sobre Hiroshima en 1945 que fue de 8.9 * 1020 ergios, a la liberada por un terremoto, ¿qué magnitud le correspondería en la escala Richter?
Como sabes, los terremotos son movimientos bruscos y violentos de la corteza terrestre causados por la actividad tectónica de placas que dan lugar a la liberación de energía acumulada en la corteza o en el manto superior de la Tierra. Estos movimientos generan vibraciones que se propagan en forma de ondas sísmicas a través del suelo y pueden causar daños significativos a estructuras y seres humanos.
En Andalucía son debidos al choque entre la placa tectónica africana y la ibérica.
En promedio, se registran varios miles de pequeños terremotos en Andalucía cada año. Sin embargo, la mayoría de estos terremotos son de baja magnitud y pasan desapercibidos para la población.
El Instituto Andaluz de Geofísica y Prevención de Desastres Sísmicos (IAG) es un centro de investigación de la Universidad de Granada dedicado a sismología.
En su web de Red sísmica de Andalucía puedes consultar los terremotos registrados en los últimos 7 días, 15 días o un mes, así como la ubicación y magnitud de los mismos.
El logaritmo en base a de N es igual a x, si al calcular a elevado a x obtenemos N, es decir, $\log _{a}N=x$ $\Leftrightarrow a^{x}=N$.
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